初中数学方程与不等式25道典型题(含答案和解析)

初中数学方程与不等式25道典型题
（含答案和解析）
1. 楠楠老师在解方程
2x−13
＝
x ＋a 2
−1去分母时，因为手抖发作，将方程右侧的－1漏乘了，因
而求得的方程的解为x ＝2，请帮助楠楠老师求出正确的解. 答案：x ＝－3. 解析：漏乘后方程为：
2(2X －1)＝3（x ＋a ）－1. 4x －2＝3x ＋3a －1. x ＝3a ＋1 .
∵ x ＝2.
∴ a ＝1
3.
∴ 原方程去分母后得： 2(2X －1)＝3（x ＋1
3）－6. 4x －2＝3x ＋1－6. X ＝－3.
考点：方程与不等式—一元一次方程—含字母参数的一元一次方程—错解方程.
2. 已知关于x 的方程3[x −2（x −a
2）]＝4x 与
3x ＋a 12
−
1−5x 8
＝1有相同的解，求 a 的值及方程
的解.
答案：a ＝27
11，方程的解为x ＝81
77.
解析：把a 当作常数，方程3[x −2（x −a
2
）]＝4x 的解为x ＝3
7
a .
方程
3x ＋a 12
−
1−5x 8
＝1的解为x ＝
27−2a 21
.
故3
7a ＝
27−2a 21.
解得a ＝27
11，所以x ＝81
77.
考点：方程与不等式—一元一次方程—同解方程—同解方程求参数.
3. 解方程组.
（1）{m ＋n
3−
n−m
4＝24m ＋n 3
＝14 （2）{1−0.3(y −2)＝x ＋15
y−14
＝4x ＋9
20
−1
答案：（1）{m ＝
18
5
n ＝−65
.
（2）{x ＝4
y ＝2
.
解析：（1）化简方程组得，{7m ＋n ＝24
12m ＋n ＝42，加减消元可解得答案为{m ＝
18
5
n ＝−
65
.
（2）化简方程组得，{
2x ＋3y ＝144x −5y ＝6，加减消元可解得答案为{x ＝4
y ＝2
.
考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.
4. 回答下列小题.
（1）当k ＝ 时，方程组{
4x ＋3y ＝1
kx ＋(k −1)y ＝3的解中，x 与y 的值相等．
（2）关于x ，y 的方程组{ax ＋by ＝2cx −7y ＝8，甲正确的解得{x ＝3
y ＝−2
，乙因为把c 看错了，解得
{x ＝−2
y ＝2，求a ，b ，c 的值. （3）若方程组{
2x ＋3y ＝7
ax −by ＝4与方程组{ax ＋by ＝6
4x −5y ＝3有相同的解，则a ，b 的值为（ ）.
A.{a ＝2b ＝1
B. {a ＝2b ＝−3
C. {a ＝2.5b ＝1
D. {a ＝4
b ＝−5 答案：（1）11.
（2）a ＝4，b ＝5，c ＝－2. （3）C ．
解析：（1）因为x 和y 的值相等，所以x ＝y ，代入1式可得x ＝y ＝1
7
，再代入2式可得k ＝
11.
（2）乙看错了c ，说明乙的解只满足1式；甲是正确的解，说明甲的解满足两个等式．
将解代入方程可得{3a −2b ＝2
3c ＋14＝8−2a ＋2b ＝2
，解得a ＝4，b ＝5，c ＝－2.
（3）由题中条件：有相同的解可知，这两个方程组可以联立，即{
2x ＋3y ＝7
ax−by ＝4ax ＋by ＝6
4x−5y ＝3
，由1式
和4式可以解得{
x ＝2
y ＝1，代入2式和3式可得{2a −b ＝4
2a ＋b ＝6
. 解得{a ＝2.5
b ＝1
，故选C.
考点：方程与不等式—二元一次方程组—同解方程组.
5. 台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，
2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．
答案：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 解析：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．
依题意，列方程组得：{x ＋y ＝245
x ＝2y ＋50.
解得{x ＝180y ＝65
．
答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的解.
6.如图所示，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面
积为 cm2.
答案：400.
解析：设一个小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组{x＋y＝50
x＋4y＝2x
.
解得{x＝40
y＝10
．
则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．
考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的应用.
7.高新区某水果店购进800千克水果，进价每千克7元，售价每千克12元，售出总量一半后，
发现剩下的水果己经有5﹪受损（受损部分不可出售），为尽快售完，余下的水果准备打折出售．
（1）若余下的水果打6折出售，则这笔水果生意的利润为多少元？
（2）为使总利润不低于2506元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客（限整数折，例如：5折、6折等）？
答案：（1）这笔水果生意的利润为1936元．
（2）营业员最多能打8折优惠顾客．
解析：（1）根据题意得：
400×12＋（400－400×5﹪）×0.6×12－800×7＝1936（元）.
答：这笔水果生意的利润为1936元．
（2）设余下的水果应按原出售价打x折出售，根据题意列方程：
400×12＋（400－400×5﹪）×0.1x×12－800×7＝2506.
解方程得：x＝7.25．
答：营业员最多能打8折优惠顾客．
考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用.
打折销售问题—经济利润问题.
8. 二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（﹪）达到100时，轮胎就报废了，
当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（﹪）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示.
（1）线段OB 表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自
变量的取值范围）．
（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米． （3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a
百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你确定方案中a 、b 的值． 答案：（1）1．甲.
2．y ＝20x. （2）OA 的解析式是y ＝1003
x ，这辆自行车最多可骑行3百万米．
（3）{a ＝
15
8
b ＝154
.
解析：（1）∵ 线段OB 表示的是甲，设OB 的解析式是y ＝kx.
∴ 1.5k ＝30. ∴ 解得：k ＝20. ∴ OB 的表达式是y ＝20x. ∴ 答案是：甲，y ＝20x ．
（2）∵ 设直线OA 的表达式为
y ＝mx.
∴ 根据题意得：1.5m ＝50. ∴ 解得：m ＝
1003
.
∴ 则OA 的解析式是y ＝1003
x .
∵ 当y ＝100时，100＝1003
x .
∴ 解得：x ＝3.
答：这辆自行车最多可骑行3百万米．
（3）∵ 根据题意，得：{1003
a ＋20(
b −a )＝100
20a ＋100
3(b −a )＝100
. ∴ 解这个方程组，得{a ＝15
8
b ＝154
.
考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.
函数—一次函数—待定系数法求正比例函数解析式—一次函数的应用—一次函数应用题.
9. 若关于x 的一元二次方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则k 的取值范围为 ．
答案：k ＞1.
解析：若方程（x ＋1）2
＝1－k 无实根，则1－k ＞0.
∴k ＞1.
考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—一元二次方程的相关概念.
10. 小明在探索一元二次方程2x2－x －2＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数
据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）．
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：D.
解析：根据表格中的数据，可知：
方程的一个解x的范围是：1＜x＜2.
所以方程的其中一个解的整数部分是1．
考点：方程与不等式—一元二次方程—估算一元二次方程的近似解.
11.已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．
（1）求证：关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．
（2）若x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根，且Rt△ABC的周长为√2＋2，求Rt△ABC的面积.
答案：（1）证明见解析．
（2）1．
解析：（1）∵ m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．
∴ p2＝m2＋n2.
∴ b2－4ac＝2p2－4mn＝2(m2＋n2)－4mn＝2(m－n)2≥0.
∴关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．
（2）∵ x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根.
∴ m－√2p＋n＝0 ①.
∵ Rt△ABC的周长为2√2＋2.
∴ m＋n＋p＝2√2＋2②.
由①、②得：m＋n＝2√2，p＝2.
∴（m＋n）2＝8.
∴ m2＋2mn＋n2＝8.
又∵ m2＋n2＝p2＝4.
∴ 2mn＝4.
∴1
＝mn＝1.
2
∴ Rt△ABC的面积是1．
考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.
根与系数的关系—韦达定理应用.
三角形—三角形基础—三角形面积及等积变换.
12.关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围为．
答案：k＜4且k≠3.
解析：∵关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根.
∴ {k−3≠0
△＝4−4（k−3）＞0.
∴ k＜4且k≠3.
考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—根据一元二次方程求参数值.
根的判别式—已知一元二次方程根的情况，求参数的取值范围.
13.设a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为．
答案：8.
解析：∵ a是方程x2＋x－9＝0的根.
∴ a2＋a＝＝9.
由根与系数的关系得：a＋b＝－1.
∴ a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b）＝9＋（－1）＝8．
考点：方程与不等式—一元二次方程—根与系数的关系—韦达定理应用.
14.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12cm的住房墙．另外三边用25cm
长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．
（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
（2）能否围成一个面积为100 m2的矩形猪舍？如能，说明了围法；如不能，请说明理由．答案：（1）矩形猪舍的长为10m，宽为8m．
（2）不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．
解析：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m.
由题意得：x（26－2x）＝80.
解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去）.
当x＝8时，26－2x＝10＜12.
答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．
（2）由题意得：x（26－2x）＝100.
整理得：x2－13x＋50＝0.
∵△＝（－13）2－4×1×50＝－31＜0.
∴方程无解.
故不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．
考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.
一元二次方程的应用.
15.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为 120元时，每天可售出
20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售__________件，每件盈利__________元（用x的代数式表示）．
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
答案：（1）（20＋2x），（40－x）.
（2）20元或10元．
（3）不可能，理由见解析．
解析：（1）根据题意得：每天可销售（20＋2x）；每件盈利（40－x）.
（2）根据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200.
解得：x1＝20，x2＝10．
答：每件童装降价20元或10元时，平均每天赢利1200元．
（3）（40－x）（20＋2x）＝2000.
整理得：x2－30x＋600＝0.
△＝62－4ac＝（－30）2－4×1×600＝900－2400＜0.
∴方程无解．
答：不可能做到平均每天赢利2000元．
考点：式—整式—代数式.
方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的解.
根的判别式—判断一元二次方程根的情况—一元二次方程的应用.
16.若a＞b，则下列不等式中正确的是．（填序号）
① a－2＜b－2 ② 5a＜5b ③－2a＜－2b ④a
3＜b
3
答案：③.
解析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—不等式的基础—不等式的性质.
17.解不等式：2−x＋2
3＞x＋x−1
2
．
答案：x＜1.
解析：12－2（x＋2）＞6x＋3（x－1）.
12－2x－4＞6x＋3x－3.
－11x＞－11.
X＜1.
考点：方程与不等式—不等式与不等式组—解一元一次不等式.
18.解不等式组{2x＋4≤5（x＋2）
x−1<2
3
x
，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
答案：原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．解析：由2x＋4≤5（x＋2）得x≥－2.
由x−1<2
3
x得x＜3．
不等式组的解集在数轴上表示如下.
∴原不等式组的解集为－2≤x＜3．
∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．
考点：方程与不等式—不等式与不等式组—在数轴上表示不等式的解集—一元一次不等式组的整数解.
19.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两
种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表.
已知可供建造沼气池的占地面积不超过370m2，该村农户共有498户．
（1）满足条件的方案共有哪几种？写出解答过程．
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？造价最低是多少万元？
答案：（1）方案共三种：分别是A型6个，B型14个．
A型7个，B型13个．
A型8个，B型12个．
（2）A型建8个的方案最省，最低造价52万元．
解析：（1）设A型的建造了x个，得不等式组：{15x＋20（20−x）≤370 18x＋30（20−x）≥498
.
解得：6≤x≤8.5.
三方案：A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）当x＝6时，造价2×6＋3×14＝54.
当x＝7时，造价2×7＋3×13＝53.
当x＝8时，造价2×8＋3×12＝52.
故A型建8个的方案最省，最低造价52万元．
考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式组的应用—最优化方案.
20.服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，
售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？
（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能
获得最大利润？
答案：（1）甲种服装最多购进75件．
（2）当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件.
当a＝10时，按哪种方案进货都可以.
当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．
解析：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知.
80x＋60（100－x）≤7500，解得：x≤75．
答：甲种服装最多购进75件．
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.
W＝（40－a）x＋30（100－x）＝（10－a）x＋3000.
方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，w随x的增大而增大.
所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件.
方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以.
方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，w随x的增大而减小.
所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式的应用—一元一次不等式组的应用—最优化方案.
21.解答下列问题：
（1）计算：2x
x＋1−2x＋6
x2−1
÷x＋3
x2−2x＋1
．
（2）解分式方程：3
x＋1＋1
x−1
＝6
x2−1
.
答案：（1）2
x＋1
.
（2）x＝2．
解析：（1）原式＝2x
x＋1−2（x＋3）
(x＋1)（x−1）
÷（x−1）
2
x＋3
．
＝2x
x＋1−2（x−1）
x＋1
＝2
x＋1
.
（2）3（x－1）＋x＋1＝6.
3x－3＋x＋1＝6.
4x＝8.
x＝2.
检验：当x＝2时，x2＋1≠0.
故x＝2是该分式方程的解．
考点：式—分式—分式的加减法—简单异分母分式的加减.
方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.
22.解下列方程：
（1）5x−4
x−2＝4x＋10
3x−6
−1．
（2）x−2
x＋2−x＋2
x−2
＝8
x2−4
.
答案：（1）x＝2是方程的增根，原方程无解．
（2）x＝－1.
解析：（1）等式两边同乘以3（x－2）得，3（5x－4）＝4x＋10.
解得x＝2.
检验x＝2时，2（x－2）＝0.
∴ x＝2是方程的增根，原方程无解．
（2）两边同乘x2－4.
得：－8x＝8.
X＝－1.
经检验x＝－1是原方程的解.
考点：方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.
分式方程解的情况—分式方程有解—分式方程有增根.
23.若分式方程2x
x＋1−m＋1
x2＋x
＝x＋1
x
产生增根，则m的值为．
答案：－2或1.
解析：方程两边都乘x（x＋1）.
得x2－（m＋1）＝（x＋1）2.
∵原方程有增根.
∴最简公分母x（x＋1）＝0.
解得x＝0或－1.
当x＝0时，m＝－2.
当x＝－1时，m＝0.
故m的值可能是－2或0.
考点：方程与不等式—分式方程—分式方程解的情况—根据增根求参数.
24.在“春节”前夕，某花店用13000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市
场需求情况，该花店又用6000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一
批所购鲜花的1
2
，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
答案：第二批鲜花每盒的进价是 120元．
解析：设第二批鲜花每盒的进价是x元．
依题意有：6000
x ＝1
2
×13000
x＋10
.
解得x＝120．
经检验：x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：第二批鲜花每盒的进价是120元．
考点：方程与不等式—分式方程—分式方程的应用.
25.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任
务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天？
（2）若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队
再单独施工多少天？
答案：（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）甲队再单独施工10天．
解析：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x＋10）天.
由题意可得：1
x ＝ 1.5
x＋10
.
解得：x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解.
∴x＋10＝30（天）.
答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．
（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：(1
30＋1
20
)×4＋2
30
×a＝1.
解得：a＝10.
答：甲队再单独施工10天．
考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用—工程问题.
分式方程—分式方程的应用.。