人教版高中数学选修4-5《第二讲证明不等式的基本方法：比较法》

f(
n
)
40 .琴生不等式推广形式：设 q1 , q2 ,, qn R , q1 q2 qn 1 ， f ( x) 是[a, b] 上的下凸函数， 则 x1 , x2 ,
, xn [a, b] 都有： f (q1x1 q2 x2
qn xn )
，
当且仅当 x1 x2 xn 时
例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 v1 行走，另一半 时间以速度 v 2 行走；乙有一半路程以速度 v1 行走，另一半路程以速度 v 2 行走. 如果 v1 v2 ， 问甲、乙两人谁先到达指定地点.
例5
设 f ( x) 2x 2 1, pq 0, p q 1. 求证；对任意实数 a , b ，恒有 pf (a) qf (b) f ( pa qb).
证明 考虑（1）式两边的差。
pf (a) qf (b) f ( pa qb).
＝ p(2a 1) q(2b 1) [2( pa qb) 1]
2 2 2
＝ 2 p(1 p)a 2q(1 q)b 4 pqab p q 1.
2 2
（2）
p q 1, pq 0, (2) 2 pqa2 2 pqb2 4 pqab 2 pq(a b) 2 0.
即（1）成立。
探索推广 10 . 在例 5 中, pq 0, p q 1 p 0, q 0. 特别地, 令 p 1 , q 1 , 则得 2 2
f(
2
)
2
再结合函数的图象, 这数和形 20 .琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数 f ( x) 定义域为[a, b] ，如果 x1 , x2 [a, b] ，都有
• 除了把不等式两边相减，通过比较差与0的大小来证明不等式外，有 时也通过把不等式两边相除，转化为考察所得的商式与 1的大小关系。
例 3 已知 a, b R , 求证 a b a b .
a b b a

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时， 常采用作商比较法， 用作商比较法时， 如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与 1 比较．
2 2
例 2 若实数 x 1 ，求证： 3(1 x x ) (1 x x ) .
2 4 2
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用 考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有 效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为 一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法 判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．
前面已经学习了一些证明不等式的方法。我们知道，关于数的大 小关系的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等 式的规律等，都可以作为证明不等式的出发点。 • 要证明 a b ，最基本的方法就是证明 a b 0 ，即把不等式两边 相减，转化为比较差与0的大小。
例 1 设 a b ，求证： a 3b 2b(a b) .
. 若 f ( x) 是上凹函数，则上述不等式反向.
把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.
课时小结： 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作 差（或作商） 、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑 成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问 题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用 不等关系问题时， 常用比较法来判断数的大小关系， 若是选择题或填空题则可用特殊值加以 判断．
2 2 则称 f ( x) 为 [a, b] 上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称 f ( x) 为[a, b] 上的
f(
)
（1） 函数.
30 . 其推广形式是：若函数 f ( x) 的是 [a, b] 上的下凸函数，则 x1 , x2 ,
, xn [a, b] ，都有
（2）
n 当且仅当 x1 x2 xn 时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.