复数教学案——精选推荐

3．1数系的扩充数系的扩充
【课前自主学习】
1．理解复数的基本概念．．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．．理解复数相等的充要条件．
下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，其中复数的实部和虚部分别是什么？其中复数的实部和虚部分别是什么？
注意：解决此类问题应先将复数化成),(R b a bi a z Î+=的标准形式的标准形式
【典型例题】
例1请说出复数4，i 32-，0，i i i 6,25,3421++-
的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数哪些是虚数，哪些是纯虚数
例2：实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：
①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数
两个复数相等的充要条件：两个复数相等的充要条件：
问题问题::你认为应该怎样定义两个复数相等？你认为应该怎样定义两个复数相等？
（1）定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
（2）充要条件：如果,,,a b c d R Î，那么di c bi a +=+ 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小..如35i +与43i +不能比较大小。

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？“任何两个复数都不能比较大小”对吗？ （（ 不对不对 ）
如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 例3 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ÎR ，求x 与y ．
练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x Î=--++ i 21-32+i 2
1i 25+-p sin i 2i ()i ×-+257()()
i m m m z 11-+-=Û
）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z Î+-+=
【课堂检测反馈】
1、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部
2、实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：
①实数①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数
3、已知、已知 ，求实数，求实数y x .
4、已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝. 
M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( ) 
A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1
【课后独立作业】
1．下面四个命题．下面四个命题
(1) 0比i -大，(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数当且仅当其和为实数
(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==
(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，
其中正确的命题个数是（其中正确的命题个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．13
()i i --的虚部为( ) 
A ．8i
B ．8i -
C ．8
D ．8- 3．使复数为实数的充分而不必要条件是由
．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( ) A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数为实数 D ．z z -+为实数为实数 4．设4561245612
12,,z i i i i z i i i i =+++++×××× 则12,z z 的关系是( ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定．无法确定
5. 如果(,,0)z a bi a b R a =+ι且是虚数，则222
,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--×中是中是 虚数的有虚数的有 _______个，是实数的有个，是实数的有 个，相等的有个，相等的有 组. 
6. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = . 
7．设复数z 满足1z =,且(34)i z + 是纯虚数,求z -. 
8．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求
22(1)(34)2i i z ++的值. ,618.0,72i +,72i i 293-()
,31-i ()i m m m z )1(12-++=()()i
i y x y x 422-=-++
3是一一对应关系复数轴叫做虚轴 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
i
复数z a bi =+¬¾¾¾®一一对应
复平面内的点(,)Z a b 点，有惟一的一个复数和它对应. 
. 
【课堂检测反馈】
1．当2
3<m<1时，复数z=(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于在复平面上对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限．第四象限 2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|=|iz ＋1|,则z 在复平面内对应点的轨迹是在复平面内对应点的轨迹是 （ ） A ．圆．圆 B ．线段．线段 C ．直线．直线 D ．椭圆．椭圆
3．非零复数z 1,z 2满足关系|z 1|=|z 2|=1,且|z 1＋z 2|=|z 1－z 2|,则以OZ 1→ ，OZ 2→ 为邻边的四边形
是 ．
4．m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i 
(1)表示的点位于第二象限；表示的点位于第二象限；
（2）表示的点位于复平面内的直线y=2x 上．上．
【课后独立作业】
1．已知33(23)i z i -=-
,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A ．第一象限．第一象限 B ． 第二象限第二象限
C ．第三象限．第三象限
D ．第四象限．第四象限
2．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( ) 
A ．1
B ．2
C ．3
D ．23
3．给出下列命题．给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数; 
(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆; 
(3)若2
,1m Z i Î=-,则1230;m m m m i i i i ++
+
+++=
其中正确命题的序号是( ) 
A.(1)
B.(2)(3)
C.(1)(3)
D.(1)(4)
4.满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线一条直线
B. 两条直线两条直线
C. 圆
D. 椭圆椭圆
5. 如果35a <<,复数22
(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的在复平面上的 对应点z 在 象限. 
6. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-Î 若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是的值是 . 
7．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2| 
8.复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 
= 
= ，= 
1
12
z
z
+等于
的实部为的实部为 。

对应的点的坐标为 。

1111i i i i ÷øöçèæ+-÷øöçèæ-+x x ．36(13)2(1)12i i i i
-++++的值是i i +--11值是值是 。

设y x +=3 +z 1是实数，求证：1
1+-z z 是纯虚数、
i z
-2均为实数（为虚数单位）。