高中数学 第2章 数列 2.3.2 第1课时 等比数列的前n项和学案 新人教B版必修5
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第1课时 等比数列的前n 项和
1.掌握等比数列的前n 项和公式及其应用重点
2.会用错位相减法求数列的和
难点
3.能运用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题.
[基础·初探]
教材整理 等比数列的前n 项和 阅读教材P 48～P 50，完成下列问题. 等比数列的前n 项和公式
1.设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________.
【解析】 ∵a 5＝a 1q 4
，∴q ＝±2.∵q >0，∴q ＝2， ∴S 7＝
a 1
－q
7
1－q
＝27
－12－1
＝127.
【答案】 127
2.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________. 【解析】 ∵S 3＝
a 1
－q 3
1－q
＝
－q 3
1－q
＝26，∴q 2
＋q －12＝0，∴q ＝3或－4.
【答案】 3或－4
3.等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 【解析】 由S 5＝a 1[1－－
5
]
1－
－
＝44，
得a 1＝4. 【答案】 4
4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2
＝________. 【解析】 由8a 2＋a 5＝0， 得a 5a 2
＝－8，即q 3
＝－8， 所以q ＝－2.
S 5
S 2＝
a 1[1－－
5
]
1－
－a 1[1－－
2]1－
－
＝
1－－51－－
2
＝－11.
【答案】 －11
[小组合作型]
n (1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 3＝32，S 3＝9
2
，求a 1和公比q .
【精彩点拨】 利用等比数列的前n 项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量. 【自主解答】 (1)法一：由S n ＝
a 1
－q
n
1－q
，a n ＝a 1q
n －1
以及已知条件得
⎩⎪⎨
⎪⎧
189＝
a 1－2n
1－2，
96＝a 1·2n －1，
∴a 1·2n
＝192， ∴2n
＝192a 1
.
∴189＝a 1(2n
－1)＝a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫192a 1－1，
∴a 1＝3. 又∵2
n －1
＝96
3
＝32，∴n ＝6. 法二：由公式S n ＝a 1－a n q
1－q
及条件得 189＝
a 1－96×2
1－2
，解得a 1＝3， 又由a n ＝a 1·q n －1
，
得96＝3·2
n －1
，解得n ＝6.
(2)①当q ≠1时，S 3＝a 1
－q 3
1－q
＝92
， 又a 3＝a 1·q 2
＝32，
∴a 1(1＋q ＋q 2
)＝92，
即32
q 2(1＋q ＋q 2
)＝92， 解得q ＝－1
2(q ＝1舍去)，∴a 1＝6.
②当q ＝1时，S 3＝3a 1，∴a 1＝3
2.
综上得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝6， q ＝－1
2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝32，
q ＝1.
1.在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况
都有可能，则要分类讨论
.
[再练一题]
1.在等比数列{a n }中， (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8;
【导学号：18082035】
(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4，求a 4和S 5.
【解】 (1)法一：设首项为a 1，∵q ＝2，
S 4＝1，∴
a 1
－24
1－2
＝1，即a 1＝1
15
，
∴S 8＝
a 1
－q 8
1－q
＝1
15－28
1－2
＝17.
法二：∵S 4＝a 1
－q 4
1－q
＝1，且q ＝2， ∴S 8＝
a 1
－q 8
1－q
＝
a 1
－q 4
1－q
(1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24
)＝17.
(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 2
＝10， a 1q 3＋a 1q 5＝54，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋q 2
＝10， ① a 1q 3＋q 2
＝54， ②
∵a 1≠0,1＋q 2
≠0，
∴②÷①得，q 3
＝18，即q ＝12，
∴a 1＝8.
∴a 4＝a 1q 3
＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
＝1，
S 5＝a 1
－q 5
1－q
＝
8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
1－12
＝31
2
.