(山东专用)2020-2022三年高考物理真题分项汇编 专题05 万有引力定律和航天

专题05万有引力定律与航天
【考纲定位】
1.万有引力定律及应用
通过史实，了解万有引力定律的发现过
程．知道万有引力定律．认识发现万有引力定律的重要意义．认识科学定律对人类未知世界的作用．
2021·山东·高考T5
2.卫星与航天 宇宙速度
会计算人造地球卫星的环绕速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度．
2022·山东·高考T6
2020·山东·高考T7
2021·山东·高考T8
【知识重现】 万有引力与航天 1．开普勒三定律
定律 内容
图示
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 (面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 (周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它
的公转周期的二次方的比值都相等，表达
式为a 3
T
2＝k
注意：开普勒第三定律中的k 由中心天体决定，与环绕天体无关．若将椭圆轨道按圆轨道处理，
则行星绕太阳做匀速圆周运动，a 为圆轨道的半径r ，即r 3
T
2＝k .
2．万有引力定律的基本应用
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)解决天体圆周运动问题的两条思路
①在地面附近万有引力近似等于物体的重力(常用于“地上”问题，如赤道上的物体)，即G Mm R
2＝
mg ，整理得GM ＝gR 2(被称为黄金代换式)．利用此关系式可求得行星表面的重力加速度g ＝GM
R
2.
②天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供(常用于“天上”问题，
如卫星)，即G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2
r ＝m 4π2
T
2r ＝ma .
3．万有引力与重力的区别与联系
地球对物体的万有引力F 表示为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．
(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋m ω2
R . (2)在两极上：G Mm R
2＝mg 2.
(3)在一般位置：万有引力G Mm R
2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．
越靠近南北两极g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为重力和万有引力近似相等，即
GMm
R 2
＝mg . 4.人造地球卫星 (1)三种宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)：在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射
到贴近地面的轨道上运行的速度．故有：G Mm R 2＝m v 21
R
，v 1＝
GM R ＝7.9 km/s ，或mg ＝m v 21
R
，v 1＝Rg ＝7.9 km/s.
注意：第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 、g 是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度．若7.9 km/s ≤v ＜11.2 km/s ，物体绕地球运行． 第二宇宙速度(脱离速度)：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v ＜16.7 km/s ，物体绕太阳运行．
第三宇宙速度(逃逸速度)：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱
离太阳系在宇宙空间运行． (2)卫星的运行参量
卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样
可得：G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2
r ＝m 4π2
T
2r ＝ma ，可推导出：
⎭⎪⎪⎬⎪⎪
⎫v ＝
GM r
ω＝
GM
r 3T ＝
4π2r
3
GM a ＝GM
r
2
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫v 减小ω减小T 增大a 减小⇒越高越慢 (3)同步卫星的特点
①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； ②运行方向一定：自西向东与地球自转同步； ③周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ；
④高度一定：由G Mm （R ＋h ）2＝m 4π
2
T 2
(R ＋h )，得同步卫星离地面的高度 h ＝3GMT 2
4π
2－R ＝3.6×107
m.
由同步卫星的周期T 和高度h 一定，还可以推导出同步卫星的运行速率v 、角速度ω，向心加速度a 也是确定的．但是，由于不同的同步卫星的质量不同，受到的万有引力不同．
【真题汇编】
1．（2022·山东·高考真题）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。

如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。

卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A 点正上方，恰好绕地球运行n 圈。

已知地球半径为地轴R ，自转周期为T ，地球表面重力加速度为g ，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ）
A ．122
3
222π⎛⎫
- ⎪⎝⎭gR T R n
B ．122
3
222π⎛⎫ ⎪⎝⎭gR T n
C ．12
2
3
224π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
gR T R n
D ．12
2
3
224π⎛⎫ ⎪⎝⎭
gR T n
【答案】C 【解析】
地球表面的重力加速度为g ，根据牛顿第二定律得
2
GMm
mg R = 解得
2GM gR =
根据题意可知，卫星的运行周期为
'T T n
=
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有
()
()2
2
24'
GMm
m R h T R h π=++
联立解得
22
3
22
4gR T h R n π 故选C 。

2．（2021·山东·高考真题）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。

已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。

在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。

悬停时，“祝融”与“玉兔”所受陆平台的作用力大小之比为（ ）
A ．9∶1
B ．9∶2
C ．36∶1
D ．72∶1
【答案】B 【解析】
悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据
2
mM
F G
R = 可得
2
2
299=:=
2=22
M m M m F G
G
F R R ⨯月祝融
祝融火玉兔
月玉兔
火 故选B 。

3．（2021·山东·高考真题）迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。

系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图所示。

在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r 。

导体绳所受的安培力克服大小为f 的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。

已知卫星离地平均高度为H ，导体绳长为()L L
H ，
地球半径为R ，质量为M ，轨道处磁感应强度大小为B ，方向垂直于赤道平面。

忽略地球自转的影响。

据此可得，电池电动势为（ ）
A ．GM fr
BL
R H BL
+ B ．GM fr
BL
R H BL
+
C ．fr
BL
D ．fr
BL
【答案】A 【解析】 根据
2
2()()
Mm v G m R H R H =++ 可得卫星做圆周运动的线速度
v =
根据右手定则可知，导体绳产生的感应电动势相当于上端为正极的电源，其大小为
'E BLv =
因导线绳所受阻力f 与安培力F 平衡，则安培力与速度方向相同，可知导线绳中的电流方向向下，即电池电动势大于导线绳切割磁感线产生的电动势，可得
'
E E f B L r
-=
解得
fr
E BL
= 故选A 。

4．（2020·山东·高考真题）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。

质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t 0、速度由v 0减速到零的过程。

已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g ，忽略火星大气阻力。

若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（ ） A ．000.4v m g t ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
B ．000.4+
v m g t ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
C ．000.2v m g t ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
D ．000.2+
v m g t ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】
忽略星球的自转，万有引力等于重力 2
Mm
G
mg R = 则
2
221
0.10.40.5
g M R g M R =⋅=⨯=火火地地地火 解得
0.40.4g g g ==地火
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知 000v at =-
解得 0
v a t =
匀减速过程，根据牛顿第二定律得 -=f mg ma
解得着陆器受到的制动力大小为
(0.4)v f mg ma m g t =+=+
ACD 错误，B 正确。

故选B 。

【突破练习】
1．（2022·山东·三模）为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先是在离该星球中心距离为
1r 的圆轨道上运动，经测定周期为1T ；随后登陆舱脱离飞船，变轨到该星球的近地圆轨道上运动。

已知该星球的半径为R ，万有引力常量为G 。

则（ ） A
．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T B
．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T C ．该未知星球的平均密度为3
12313r GT R π
D ．该未知星球的平均密度为2
13GT π
【答案】AC 【解析】
AB ．根据
2
224Mm G m r r T
π= 解得
2T =结合已知条件可得登陆舱在近地圆轨道上运行的周期
2T T =故A 正确，B 错误；
CD ．根据2
222
4Mm G m R R T π=结合
34
3
V R π=
和密度公式
M V
ρ=
联立解得
3
123
13r GT R πρ=
故C 正确，D 错误。

故选AC 。

2．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知引力常量为G ，星球的质量M ，星球的半径R ，飞船在轨道Ⅰ上运动时的质量m ，P 、Q 点与星球表面的高度分别1h 、2h ，飞船与星球中心的距离为
r 时，引力势能为P Mm
E G
r
=-（取无穷远处引力势能为零），飞船经过Q 点的速度大小为v ，在P 点由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ的过程中，发动机沿轨道的切线方向瞬间一次性喷出一部分气体，喷出的气体相对喷气后飞船的速度大小为u ，则下列说法正确的是（ ）
A 1
GM
R h +B ．飞船在轨道Ⅱ上经过P 2
12112⎛⎫-- ⎪++⎝⎭v GM R h R h C ．飞船在轨道Ⅱ上运动时的机械能小于在轨道Ⅰ上运动时的机械能
D ．喷出的气体的质量为2
112112m GM v GM u R h R h R h ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【答案】ACD 【解析】
A ．飞船在圆形轨道Ⅰ上，根据万有引力提供向心力可得
21211()()
v Mm
G m R h R h =++ 解得
11
GM
v R h +A 正确；
B ．飞船从Q 到P ，在同一轨道运行时，飞船机械能守恒，根据机械能守恒定律可得
2221
1122P Mm Mm mv G mv G R h R h -=-++ 解得
212
11
2(
)P v v GM R h R h -+++B 错误；
C ．飞船从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，在P 点由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ的过程中，飞船需要在P 点减速，飞船的机械能减少，故飞船在轨道Ⅱ上运动时的机械能小于在轨道Ⅰ上运
动时的机械能，C 正确；
D ．飞船变轨时，需要在P 点减速，故应向前喷出气体m ∆，根据动量守恒定律可得
1()()P P mv m m v m v u =-∆+∆+
解得
2
112112()m GM m v GM u R h R h R h ⎡⎤∆=
-+-⎢⎥+++⎣⎦
D 正确； 故选ACD 。

3．（2022·山东日照·三模）如图所示，极地轨道卫星a 从北极的正上方第一次运行到南极的正上方所用时间为1.5h 。

已知地球表面重力加速度在两极和赤道的大小分别为0g 和g ，地球自转的周期为T =24h ，同步卫星离地面的高度约为地球半径的5.6倍，引力常量为G ，地球可视为质量分布均匀的球体，物体b 静止在赤道上。

下列说法正确的是（ ）
A ．地球的密度为
2
03g GT g g π-（）
B ．a 与同步卫星的运行速度大小之比为2∶1
C ．b 与同步卫星的运行速度大小之比约为1∶5.6
D ．b 与同步卫星的向心加速度大小之比约为6.62∶1 【答案】AB 【解析】
A ．由题意可知，设地球半径为R ，质量为m 的物体放在地球赤道和两极处，有
02Mm G mg R =，2
22+Mm G mg m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
可得
()202
=
4g g T R π- 则地球的密度为
2
00302
03==443
3g R g M
G V G g GT g R g R ρπππ==-（）
A 正确；
B ．由题意知卫星a 圆周运动周期为
=2 1.5h=3h a T ⨯
卫星绕地球做圆周运动，有
2222()=Mm v G r m r T r
π= 得
1=4a r r 同，2=1
a v v 同 B 正确；
CD ．b 与同步卫星的角速度、周期相等，由
v r ω=，2n a r ω=
可知b 与同步卫星的运行速度大小之比、向心加速度大小之比都为1∶6.6，CD 错误。

故选AB 。

4．（2022·山东·模拟预测）2021年5月15日中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功着陆。

“天问一号”探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时霍曼转移轨道是一个近日点M 和远日点P 都与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示），在近日点短暂点火后“天问一号”进入霍曼转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。

已知万有引力常量为G ，太阳质量为m ，地球轨道和火星轨道半径分别为r 和R ，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。

若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是（ ）
A
B ．两次点火喷射方向一次与速度方向相同，一次与速度方向相反
C ．
D ．“天问一号”运行中在转移轨道上M 点的加速度与在火星轨道上P 点的加速度之比为R r
【答案】AC 【解析】
A ．设霍曼转移轨道周期为1T ，地球公转周期为T ，由开普勒第三定律
()
3
32
212R r r T T +⎛⎫
⎪⎝⎭=
和地球公转与周期关系
2
00224mm G m r r T
π= 解得
12T t ==
A 选项正确；
B ．两次点火喷射都使“天问一号”加速，所以喷射方向都与速度方向相反，B 选项错误； CD ．由火星轨道半径为R ，地球轨道半径为r ，根据
22Mm v G ma m r r
== 得
2GM a
r =
，v
=“天问一号”运行中在转移轨道上M 点的加速度与在火星轨道上P 点的加速度之比为2
2R r
，则C 选项正确，D 选项错
误； 故选AC 。

5．（2022·山东·高三学业考试）每年的春分时节太阳光会直射赤道，如图所示，一颗卫星在赤
道正上方绕地球做匀速圆周运动方向与地球自转方向相同，每绕地球一周，黑夜与白天的时间比为1:5。

设地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，忽略大气及太阳照射偏移的影响，下列说法正确的是（ ）
A ．卫星离地高度为2R
B ．卫星绕地球运动的周期为22R g
π
C ．卫星的绕行速度与地球的第一宇宙速度之比为1:2
D ．赤道上的物体随地球自转的线速度与卫星的绕行速度之比为2:1 【答案】C 【解析】
A ．依题意，可知卫星在劣弧PM 之间运行时为黑夜时间
因黑夜与白天的时间比为1:5，则可知
3
POM π
∠=
卫星的轨道半径即为OP 的长度，据几何关系有
2r R =
则卫星离地面高度为R ，故A 错误； B ．设卫星的运行周期为T ，则有
2
22()Mm G
m r r T
π= 2
M
g G
R = 联立解得
4T =故B 错误；
C ．卫星的绕行速度为v ，有
22Mm v G m r r
= 地球的第一宇宙速度为v 1，有
212v Mm
G m R R
= 则有
1:v v =
故C 正确；
D ．假定赤道上的物体受地面支持力为N ，其随地球自转的线速度为v 2，有
2
22v Mm
G N m R R
-= 地球的第一宇宙速度为v 1，有
212v Mm
G m R R
= 则有
21v v <
，则赤道上的物体随地球自转的线速度
，故D 错误。

故选C 。

6．（2022·山东菏泽·二模）2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆。

“太空出差”半年的航天员翟志刚、王亚平、叶光富返回地面。

神舟十三号载人飞船于2021年10月16日从酒泉卫星发射中心发射升空，随后与“天和”核心舱对接形成组合体，3名航天员进驻核心舱，进行了为期6个月的驻留，创造了中国航天员连续在轨飞行时长新纪录。

假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h 的轨道做圆周运动。

已知地球的半径为R ，
地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G 。

下列对神舟十三号载人飞船的描述，符合事实的是（ ）
A ．在“天宫课堂”授课时可以完成用弹簧测力计测量砝码重力的实验
B ．神舟十三号载人飞船与空间站在同一高度轨道上加速完成对接
C
D ．神舟十三号载人飞船运行的周期2T =【答案】D 【解析】
A ．由于核心舱处于完全失重状态，则在“天宫课堂”授课时不能完成用弹簧测力计测量砝码重力的实验，故A 错误；
B ．若神舟十三号载人飞船与空间站在同一高度轨道上加速，则神舟十三号载人飞船将做离心运动，轨道变高，不可能与空间站实现对接，故B 错误；
C ．由题意可得，在地球表面上有
2
Mm
mg G
R = 神舟十三号载人飞船由牛顿第二定律有
'2
'2GMm v m r r
= 得
v =故C 错误；
D ．神舟十三号载人飞船由牛顿第二定律有
2
224πGMm m r r T
=⋅ 得
=22T =故D 正确。

故选D 。

7．（2022·山东青岛·二模）神舟十三号载人飞船返回舱首次采用快速返回模式，于2022年4月16日9时56分在东风着陆场成功着陆。

返回的大致过程如下：0时44分飞船沿径向与空间站天和核心舱成功分离，分离后空间站仍沿原轨道飞行，飞船下降到空间站下方200m 处的过渡轨道并进行调姿，由径向飞行改为横向飞行。

绕行5圈后，经过制动减速、自由滑行、再入大气层、着陆返回四个阶段，如图为该过程的示意图。

下列说法正确的是（ ）
A ．分离后空间站运行速度变小
B ．飞船在过渡轨道的速度大于第一宇宙速度
C ．飞船沿径向与空间站分离后在重力作用下运动到过渡轨道
D ．与空间站分离后，返回舱进入大气层之前机械能减少 【答案】D 【解析】
A ．空间站沿着原来的轨道运行，轨道半径不变，根据
2
2Mm v G m r r
= 可得
GM
v r
=
分离后空间站运行速度不变，故A 错误； B ．根据GM
v r
=
B 错误；
C ．飞船沿径向与空间站分离后，是因为飞船点火减速，飞船做向心运动从而到达过渡轨道，故C 错误；
D ．与空间站分离后，返回舱进入大气层之前，飞船经过多次减速，除了万有引力之外的其他力做负功，机械能减少，故D 正确。

故选D 。

8．（2022·山东·烟台二中模拟预测）2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间
站。

对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为3r 的圆轨道Ⅲ，神舟十二号飞船沿着半径为1r 的圆轨道I 运动到Q 点时，通过变轨操作，沿椭圆轨道Ⅱ运动到P 点与天和核心舱对接，从Q 到P 经历的时间为T ，则（ ）
A ．神舟十二号在轨道I 上的周期为
11
131322Tr r r r r r ++B ．天和核心舱在轨道Ⅲ上的周期为
33
1313
42Tr r r r r r ++C ．神舟十二号飞船在轨道上经过Q 点的加速度小于轨道Ⅱ上经过Q 点的加速度
D ．在相同的时间内，轨道Ⅰ上神舟十二号与O 点的连线和轨道Ⅲ上天和核心舱与O 点的连线扫过的面积相等 【答案】B 【解析】
A ．轨道Ⅱ的运动周期为
22T T =
根据开普勒第三定律
3
133122
122r r r T T +⎛⎫
⎪⎝⎭=
神舟十二号在轨道I 上的周期为
113
11
3142Tr r r r r T r ++=
故A 错误；
B ．根据开普勒第三定律
3
133322
322r r r T T +⎛⎫
⎪⎝⎭=
天和核心舱在轨道Ⅲ上的周期为
33134Tr T r r =
+ 故B 正确； C ．由
2
1Mm
G
ma r = Q 点加速度为
2
1M a G
r = 两轨道在Q 点时到地球的距离相同，则加速度相等，故C 错误；
D ．根据开普勒第二定律，同一轨道上，在相同的时间内，天体与O 点的连线扫过的面积相等，轨道Ⅰ和轨道Ⅲ是不同轨道，故D 错误。

故选B 。

9．（2022·山东·威海市教育教学研究中心二模）2021年5月29日，搭载天舟二号货运飞船的长征七号遥三运载火箭发射成功，并顺利将飞船送入预定轨道，5月30日，飞船与天和核心舱完成自主快速交会对接，2022年3月27日，飞船完成空间站组合体阶段全部既定任务。

下列说法正确的是（ ）
A ．天舟二号货运飞船的发射速度大于天和核心舱的环绕速度
B ．天舟二号货运飞船与天和舱交会对接时可视为质点
C ．天舟二号货运飞船与天和舱对接成功后，空间站的速度变小
D ．航天员在核心舱进行实验时可以使用物理天平测量物体的质量 【答案】A 【解析】
A ．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，可知天和核心舱的环绕速度小于第一宇宙速度，同时也是发射卫星的最小发射速度，可知舟二号货运飞船的发射速度第一宇宙速度，可知A 正确；
B ．天舟二号货运飞船与天和舱交会对接时，天舟二号货运飞船的大小和形状不能忽略，不能看
成质点，故B 错误； C ．根据
22Mm v G m r r
= 可得
GM
v r
=
天舟二号货运飞船与天和舱对接成功后，空间站轨道半径不变，线速度大小不变，故C 错误； D ．物体在空间站中处于完全失重状态，所以航天员在核心舱进行实验时不可以使用物理天平测量物体的质量，故D 错误。

故选A 。

10．（2022·山东潍坊·模拟预测）北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a 、与地球自转周期相同的倾斜地球同步轨道卫星b 、以及比它们轨道低一些的中轨道卫星c 组成，它们均为圆轨道卫星。

若某中轨道卫星与地球同步静止轨道卫星运动轨迹在同一平面内，下列说法正确的是（ ）
A ．卫星b 运行的线速度大于卫星c 的线速度
B ．卫星a 与卫星b 一定具有相同的机械能
C ．可以发射一颗地球同步静止轨道卫星，每天同一时间经过北京上空同一位置
D ．若卫星b 与卫星c 的周期之比为3∶1，某时刻两者相距最近，则约12小时后，两者再次相距最近 【答案】D 【解析】
A ．设地球质量为M ，质量为m 的卫星绕地球做半径为r 、线速度大小为v 的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
22Mm v G m r r
= 解得
v =
因为卫星b 的轨道半径比卫星c 的轨道半径大，根据上式可知卫星b 运行的线速度小于卫星c 的线速度，故A 错误；
B ．卫星a 与卫星b 轨道高度相同，周期相同，线速度相同，但二者质量不一定相同，所以机械能不一定相同，故B 错误；
C ．人造卫星的轨道平面一定过地心，否则无法在万有引力作用下绕地球做匀速圆周运动。

而同步静止轨道卫星相对地面静止，与地球自转周期相同，所以其轨道平面一定和赤道平面重合，即同步静止轨道卫星需要在赤道上空做匀速圆周运动，不可能每天同一时间经过北京上空同一位置，故C 错误；
D ．由题意可知卫星b 的周期为24h ，卫星c 的周期为8h ，某时刻两者相距最近，设经过时间t 后二者再次相距最近，则
1c b
t t
T T -= 解得
12h t =
故D 正确。

故选D 。

11．（2022·山东·莱州市第一中学模拟预测）如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内沿逆时针方向绕太阳做匀速圆周运动。

地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角），当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。

若某时刻行星恰好处于最佳观察期，且其位置超前于地球，经观测发现该行星下一次处于最佳观察期至少需经历的时间为t 。

已知该行星的最大视角为θ，则： （1）该行星绕太阳的运转周期T 与地球绕太阳的运转周期T 0的比值； （2）该行星的运转周期T 。

【答案】（1）()30sin T T θ=（2）()(321sin 2t T πθπθ
=+ 【解析】
（1）设行星绕太阳的运转的轨道半径为r ，地球绕太阳的运转的轨道半径为R ，因为行星的最大视角为θ，则
sin r R θ=①
对行星
2
22GMm m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭行行② 对地球
2202GMm m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭地地③ （或由开普勒第三定律得：33
220R r T T
=同样正确） 由①②③得 ()30sin T T θ=
（2）设此过程中行星转过的角度为α，地球转过角度为β，则
2t T
πα=⑤ 0
2t T πβ=⑥ 刚开始地球位置超前于地球，由几何关系可得：
2αβπθ-=+⑦
由⑤⑥⑦得
(212t T ππθ
=+⑧。