第十章 模态综合方法

第十章模态综合方法
§10.1 模态综合法的基本原理
【为什么要使用模态综合法】
★复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。

★对整个结构用假设模态法分析难以实现。

★大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件限制，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试验。

★结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。

【解决途径】
仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。

【模态综合法的基本思想】
★按复杂结构的特点将其划分为若干子结构
★对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验，得到子结构的分支模态。

★对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换
★对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标
★通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换—独立坐标变换，消去不独立的模态坐标，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的独立广义坐标，从而导出整个系统以独立模态坐标表示的动力学方程。

【模态综合法的实质】
采用子结构技术，来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，以此假设模态作为李兹基底所张成的模态空间，可以很好地覆盖住系统真实的低阶模态空间。

模态综合方法是子结构方法中最成熟、应用最普遍的方法。

【例】 以两端固支梁分成两个子结构为例，来简要说明模态综合法的基本原理 将图示的梁结构分成两个子结构α、β，
其物理坐标集}{u 分成内部坐标集}{
u 和界面坐标集}{j u ，即
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=αααj i
u u u }{ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=βββj
i u u u }{ （10－1） 界面位移连续条件：
}{}{βαj j u u = 结构动能
}]{[}{2
1}]{[}{21βββαααβαu m u u m u T T T T T +=+= （10－3） 结构势能
}]{[}{2
1}]{[}{21βββαααβαu k u u k u V V V T T +=+= （10－4） 假定已经选出了各子结构合适的模态矩阵][][βαφφ（下面各节中就专门讨论][][βαφφ的求法），则有
}]{[}{}]{[}{βββαααφφp u p u == （10－5）
通常，][],[βαφφ的个数远少于对应子结构的自由度数。

记：
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=][00][][][00][][}{βαβαβαK K K M M M p p p （10－6） ]
][[][][]
][[][][ββββααααϕϕϕϕm M m M T T == （10－7） ]][[][][]
][[][][ββββααααϕϕϕϕk K k K T T == （10－8）
从而，
α β}
{
}]{[}{21p M p T T = }]{[}{2
1p K p V T = （10－9） 当应用拉格朗日方程来建立振动方程时，由于拉格朗日方程要求各i p 相互独立，而}{p 中有不独立的坐标。

{}{}
βββββαααααφφφφp u u p u u j i j i j i j i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ （10－10） 由对接位移条件（界面位移连续条件）：
}{}{βα
j j u u =，有}]{[}]{[ββααφφp p j j = （10－11）
写成约束方程的形式：
]][][[][0}]{[βα
φφj j C p C -== （10－12）
下面进行第二次坐标变换
将}{p 分块写成
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=I d p p p }{ （10－13）
则
}0{]][][[=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧I d dI dd p p C C （10－14） }]{[][}{1I dI dd d p C C p --= （10－15）
}]{[}{][][][}{1q S p I C C p I dI dd =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=- （10－16） ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-][][][][1I C C S dI dd （10－17） ][S 称为独立坐标变换矩阵。

从而
}]{[}{2
1}]{[}{21q K q V q M q T T T == （10－18） ]][[][][]][[][][S K S K S M S M T T == （10－19） 由拉格朗日方程可得整个梁结构通过模态综合后的自由振动方程为：
}0{}]{[}]{[=+q K q
M （10－20） 相应的广义特征值问题为：
}0{}]){[]([2=-ψωM K （10－21）
其阶数为所有子结构分支模态总数减去界面对接坐标数。

对其进行求解，就可以得到整个梁结构的动力学特性。

对于一般动力学方程，也可以进行上述的变换过程，得到缩减了自由度的动力学方程：
)}({}]{[}]{[}]{[t F q K q C q
M =++ （10－22） 其中：
]][[][][S C S C T = （10－23）
)}({][)}({t P S t F T = （10－24）
在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的量。

对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它不仅指结构做主振动时的振型，而且还包括了结构在一些特定的外力或者结点位移作用下产生的静变形形态，这些静变形形态被认为是在整个结构振动时，各子结构可能产生的变形形态。

而“振型”则是一个狭义的概念，表示结构作主振动时的变形形式。

【模态综合法的基本步骤】
由上例可以看到，模态综合法的基本步骤可以分成如下六个步骤：
（1）按结构特点划分子结构
（2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换
（3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标
（4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵][S
（5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量
矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程
（6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数
由上可知，模态综合法的关键技术是如何选择子结构的分支模态。

§10.2 各种形式的分支模态
如前所述，分支模态就是在结构系统振动时，其子结构（分支结构）可能出现的变形形态。

在模态综合法中，分支结构分为两类：受约束分支结构、有刚体运动的分支结构。

有刚体运动的分支结构又称为自由悬浮分支。

一、受约束子结构的分支模态
它的可能变形形态包括：
在各种附加约束或无附加约束下自由振动模态，在各种外力作用下的位移形态，在各种给定的边界条件下的内部位移形态。

在进行模态综合时，只需要选其中一部分构成其分支模态，且各有其相应的名称。

【主模态】
分支主模态由下列子结构的特征方程决定：
}0{}]){ˆ[]ˆ([2=-a a a m k φω （10－25）
在确定分支主模态时，需要首先确定子结构的界面坐标处理状态，按照对界面位移的处理方法，有三种分支主模态
固定界面主模态：子结构的全部界面加上附加约束
自由界面主模态：子结构的全部界面都没有附加约束，但子结构本身原有的
约束（称为自然约束）仍然存在
混合界面主模态：子结构的部分界面加上附加约束
在模态综合法中，假定主模态阵都已按质量归一化。

即：
][]][ˆ[][nn a n a T a n I m
=φφ （10－26） ][]][ˆ[][2ωφφdiag k a n
a T a n = （10－27） 如果模态综合法所使用的不是子结构的完全主模态矩阵，而是保留主模态集，即经过高阶模态截断后的部分低阶主模态，模态综合法的误差就由此而产生。

【约束模态】
约束模态是指对界面坐标的约束模态，它定义为：
在子结构的全部界面自由度上引入附
加约束，然后让这些界面自由度依次产生
单位位移，其它约束（包括自然约束和附
加约束）则保持不变（即这些界面坐标都
强制为零）。

由此产生的一系列子结构静
变形位移，称为子结构对于界面坐标的约
束模态，简称约束模态。

约束模态的数目，等于界面自由度的数目，全部约束模态就组成子结构的约束模态阵][c ψ，从约束模态的生成过程看到，它有点类似于有限元法中的形函数。

显然，约束模态可以写成：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ][][][cc vc c I ψ （10－28） 下标v 表示子结构不受约束的自由度，c 表示附加约束的自由度，][cc I 为单位阵，表示界面坐标依次产生单位位移。

][vc ψ为子结构内部坐标由于界面坐标依次有单位位移时所产生的静态位移。

要让界面坐标依次产生单位位移，必须对界面坐标施加一定的界面力，记界面力矩阵为][cc R ，则应有：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][cc vc cc vc cc cv vc vv R I k k k k ψ （10－29）
分块展开第一行有：
][][][1vc vv vc k k --=ψ （10－30）
从而约束模态为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ-][][][][][][1cc vc vv cc vc c I k k I ψ （10－31） 如图所示为悬臂梁的约束模态示意图。

α β α β
自由界面 固定界面
j v 0=j θ 0=j
1=j 1=
【附着模态】
模态综合法中的附着模态是对界面坐标的附着模态。

定义为：对子结构的界面不附加任何约束，而是在一个界面自由度上沿此自由度方向施加单位力，而其它自由度上无外力作用，由此得到的子结构静态位移向量，就是子结构对该界面自由度的附着模态。

显然这个定义只适合于受约束子结构。

依次在每个界面自由度上作用单位力，就可以得到一系列静态位移，也就构成子结构对其界面坐标的附着模态矩阵][a ψ。

根据附着模态的定义，附着模态矩阵][a ψ由下式来确定：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][aa wa aa wa aa aw wa ww I k k k k ψψ （10－32）
从而有：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-][]0[][][]0[][][][1aa wa aa wa aa wa I G I K ψψ （10－33） 子结构的柔度矩阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-][][][][][][1aa aw
wa ww g g g g K G （10－34） 所以有：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][aa wa aa aw
wa ww aa wa I g g g g ψψ （10－35）
从而附着模态为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ][][][][][aa wa aa wa a g g ψψ （10－36）
【剩余附着模态】
在假设模态法建立系统的运动方程，求解其特征值问题时，要求所用到的假
设模态应该是线性无关的，但是如果用子结构的主模态和附着模态作为假设模j v
0=vj P
1=j M θ 0=j θ 1=vj
态集，会出现主模态与附着模态线性相关的问题。

另一方面，在使用子结构的主模态组成模态综合时的假设模态集，采用的是经过高阶截断的主模态。

显而易见，如果在假设模态集中加入高阶主模态的信息，则可以提高模态综合的精度。

前面提到，附着模态与保留主模态线性相关。

如果从附着模态中减去与之不独立的低阶保留主模态，则可以得到高阶主模态的近似表达。

这种模态称为“剩余附着模态”
设受约束子结构的全部归一化主模态为
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==Φ][][][][][j i d k φφφφ （10－37）
其中，][k φ为低阶主模态，即保留主模态，][d φ为高阶主模态，即剩余主模态。

下标j i ,分别表示内部自由度和界面自由度。

显然有
][]][[][2ωdiag K T =ΦΦ （10－38）
子结构柔度矩阵为：
T d d d T k k k T
diag diag diag K G ]
[])[]([][])[]([][])[]([][][1212121φωφφωφω----+=ΦΦ== （10－39）
定义剩余柔度矩阵： T d d d T k k k d diag diag G G ]])[[]([]])[[]([][][22φωφφωφ=-= （10－40）
仿照（10－32）的定义，将][G 换成][d G ，得到剩余附着模态阵的定义式为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=][]0[][][jj ij d d I G ψ （10－41） 下面讨论一下受约束子结构剩余附着模态的物理意义。

由定义：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-][]0[][])[]([][]0[][][12ij ij T d d d ij ij d d I diag I G φωφψ （10－42） 而
[]
T jd ij ij T jd T id ij ij T d I I ][][]0[][][][]0[][φφφφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （10－43） 由此，剩余附加约束模态可以写成：
)][])[((][][])[]([][1212T jd d d T jd d d d diag diag φωφφωφ--⋅==ψ （10－44）
显然，][d ψ与][d φ线性相关。

也就是说，剩余附着模态实际是进行主模态截断时，略去的高阶模态的一种线性组合。

因此用剩余附着模态作为子结构分支模态集的一个子集，是对保留主模态集的一个合理补集。

由于][d φ与保留主模态][k φ具有正交性，因而剩余附着模态的][d ψ与][k φ也是关于质量阵正交的。

即：
]0[]][[][=d T k M ψφ （10－45）
二．有刚体运动子结构的分支模态
对于有刚体运动的子结构，其模态集中包含有全部的刚体模态，由此可知，得到的有刚体运动子结构的刚度矩阵是奇异的。

【主模态】
有刚体运动子结构的主模态的定义与受约束子结构的主模态定义相同，只是还应包括相应与刚体自由度的刚体模态。

但是对于固定界面和混合界面的分支主模态中，如果附加界面约束消除了刚体自由度，则这时的分支主模态集中将没有刚体模态。

【约束模态】
有刚体运动子结构的约束模态的定义与受约束子结构的约束模态定义相同，但是，只有在附加界面约束全部约束了子结构的全部运动时，才能求出约束模态。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-][][][][1cc vc vv c I k k ψ （10－46）
【刚体模态】
对受不完全约束的子结构，即有刚体自由度的子结构，描述其无变形运动位移的模态称为刚体模态。

对于空间自由悬浮结构，最多只有六个刚体模态坐标，因此刚体模态数r 满足60≤≤r 。

对于有刚体位移的子结构，其刚体模态是十分重要的，其分支模态集中必须包含这些刚体模态。

刚体模态可以通过求解自由界面子结构主模态的特征方程得到。

也可以作为子结构约束模态的一种特殊情况求出，即当附加界面约束刚好约束住结构的全部刚体自由度时，这是求出的
约束模态，就是有刚体运动自由度的子结构的刚体模态][r ψ。

⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-][][][][][][1rr vr vv rr vr r I k k I ψψ （10－47） 当界面附加约束超过了子结构的刚体自由度时，约束模态就是弹性位移和全部刚体位移的线性组合。

即这时的约束模态实际上包含了刚体模态。

【例】求图示系统的约束模态
显然系统有一个刚体模态，其刚度矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=110121011][k K 故⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-===1112][]01[][][][k k k k k k k cc T cv vc vv 取约束坐标集][32
u u C =，由方程（10－30）得到： ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-100101][][][][][][1cc vc vv cc vc c I k k I ψψ 如果取界面坐标集为：)(3u C =，此时约束模态数和刚体模态数相等，约束模态退化为刚体模态。

即
T c ]111[][=ψ
【附着模态】
对有刚体运动的子结构，应该在子结构中引入适当的附加静定约束，并刚好能约束住子结构的刚体运动，然后才能求其附着模态。

将有刚体运动子结构的物理坐标分为三个子集，即W A R U ++=。

R 为附加约束坐标集，它刚好约束住子结构的刚体位移，R C A -=，C 为界面坐标集，W 为内部坐标集。

根据附着模态的定义，在A 集中的物理坐标上依次作用单位力，得到子结构的位移就是附着模态。

⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡][][]0[]0[][][][][][][][][][][][ra aa wa ra aa wa rr ra rw ar aa aw wr wa ww R I k k k k k k k k k ψψ （10－48）
][ra R 是在附加约束坐标集R 中产生的附加约束反力。

将（10－48）分块展开，得到：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][aa wa aa wa aa aw wa ww I k k k k ψψ （10－49）
令
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-][][][][][][][][1
aa aw
wa ww aa aw wa ww g g g g k k k k （10－50）
则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡][][][]0[][][][][][][aa wa aa wa aa aw wa ww aa wa g g I g g g g ψψ （10－51）
从而有刚体自由度子结构的附着模态为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=]0[][][]0[][][][ra aa wa ra aa wa a g g ψψψ （10－52） 图中β子结构是一个有刚体自由度的子结构，引入附加约束后，可以求出其附着模态，如图所示
【惯性释放附着模态】
如前面所述，我们看到，对有刚体自由度子结构，引入附加静定约束后，在界面坐标方向施加单位作用力，得到附着模态。

而惯性释放附着模态是在释放这些附加约束后，在界面单位力作用下求得的附着模态。

但这时子结构会产生刚体位移，因此我们将一组相应的惯性力作用在子结构上，这些惯性力与界面力组成一个自平衡力系。

惯性释放附着模态就是该平衡力系下，子结构的不包含刚体模态的附着模态。

j M θ=j v P β子结构
α
β
在界面作用力作用下，子结构的位移矢量)}({t u 是刚体位移分量)}({t u r 和变形位移分量)}({t u E 之和。

即
)}({)}({)}({t u t u t u E r += （10－53）
代入子结构运动方程
}{}]{[}]{[F u K u
M =+ （10－54） 由于0)}(]{[=t u K r ，故得到：
}{}]{[}{}]{[}]{[E r E E F u M F u K u
M =-=+ （10－55） }{E F 就是上面所说的由界面力与惯性力组成的自平衡力系。

假定已经求出了子结构的主模态
]][][[][E r φφΦ= （10－56）
][r φ与][E φ分别为子结构的刚体模态矩阵和完全弹性变形模态矩阵。

那么有： )}
(]{[)}({)}(]{[)}({t q t u t q t u E E E r r r φφ== （10－57）
于是，
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+=)()(]][][[)}({)}({)}({t q t q t u t u t u E r E r E r φφ （10－58）
对方程（10－55）作坐标变换，并注意到][r φ与][E φ的正交性，得到：
}{][}]{[F q
m T r r r φ= （10－59） }{][}]{[}]{[F q k q
m T E E E E E φ=+ （10－60） 其中，
]
][[][][]][[][][]][[][][E T
E E E T E E r T r r K K M m M m φφφφφφ=== （10－61）
由（10－59）得到：
}{][][}{1F m q
T r r r φ-= （10－62） 所以
}{][]][[}{1F m u
T r r r r φφ-= （10－63） 1{}{}[]{}([][][][][]){}[]{}T E r r r r F F M u I M m F R F φφ-=-=-= （10－64）
T r r r m M I R ][]][][[][][1φφ--= （10－65）
显然，用][R 矩阵对界面力矩阵进行线性变换，就可以得到子结构在界面力
和惯性力组成的自平衡力系。

如果主模态已经对质量阵归一化，则
T r r M I R ]][][[][][φφ-= （10－66）
自平衡力系作用下的附着模态}~{a
ϕ由下列方程确定： ]][[][}~]{[F R F K E
==αϕ （10－67） 上式中，
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=]0[][]0[][ra aa wa I F （10－68） 为界面作用力矩阵。

从而，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡]0[][]0[][]~[]~[]~[][][][][][][][][][ra aa wa ra aa wa
rr ra rw ar aa aw wr wa ww I R k k k k k k k k k ϕϕϕ （10－69） 由此得到：
]][][~[]0[]~[]~[]~[F R G ra aa wa
a =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ϕϕϕ （10－70） 其中，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=]0[]0[]0[]0[][][]0[][][]~[rr ra rw ar aa aw
wr wa ww g g g g G （10－71） 一般情况下，]~[a
ϕ中含有子结构的刚体模态分量，为了消除刚体模态，令： ]][[]~[][r
r a a c φϕϕ-= （10－72） ][r c 由下式决定：]][[]~[][r
r a a c φϕϕ-= ]0[]][[][=a T r M ϕφ （10－73）
从而：
]~][[][]~][[][][][1a
T r a T r r r M M m c ϕφϕφ==- （10－74） 所以，惯性释放附着模态的计算公式为：
]
][][[][]~[][]~])[[]][[]([][F R G R R M I T
a
T a
T r r a ==-=ϕϕφφϕ （10－75）
【例】对图示系统，设3u 为约束坐标，2u 是附着坐标，1u 为内部坐标， (1) 确定系统的附着模态 (2) 确定系统的自平衡力系 (3) 确定系统的惯性释放附着模态 系统的刚度阵和质量阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=100010001][101011112][m M k K
（1） 根据刚度矩阵，可以求得系统的柔度矩阵，从而
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2111121
k k k
k k
g g g g aa aw
wa ww
附着模态为：
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0211]0[][][]0[][][}{k g g ra aa wa ra aa wa a ψψψ （2） 系统有一个刚体模态
T r ]111[}{=φ
归一化后得到：
T r m
]111[31
}{=
φ 自平衡力系为：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-==1213101021112111231010)1113111131000000100010001(]0[][]0[)]][][[]([]][[}{m m
m m m I M I F R F ra aa wa T r r E φφ 自平衡力系示意图如图。

2
1
3
（3） 系统的惯性释放附着模态为：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==ψ4519112131000021011121112111231]
][][[][][k k F R G R T a 在模态综合法中，常常使用的是分支的惯性释放附着模态而不是分支的附着模态。

（整体结构振动时，惯性释放附着模态是子结构更加可能的变形
形态）
【剩余惯性释放附着模态】 定义系统的弹性柔度阵][E G 为
T E E E E k G ][]][[][1φφ-= （10－76）
][E k 为系统对模态坐标的刚度矩阵。

][]][[][][2ωφφdiag K k E T E E == （10－77）
从而
T E E E G ][]][[][12φωφ-= （10－78）
将完全弹性变形主模态][E φ分成保留主模态][k φ和剩余主模态][d φ，即
[]][][][d k E φφφ= （10－79）
T d d d T k k k E G ][]][[][]][[][1
212φωφφωφ--+= （10－80）
定义剩余柔度阵为：
T k k k E T d d d d G G ][]][[][][]][[][1212φωφφωφ---== （10－81）
根据（10－65）式与（10－70）式可得：
][]][~
[][E T G R G R = （10－82） 故
T k k k T d R G R G ][]][[]][~[][][1
2φωφ--= （10－83）
类似惯性释放附着模态，定义剩余惯性释放附着模态：
]][[][F G d a =ψ （10－84）
k
95 k
94- k
91-
以上介绍了有关各种分支模态的概念，在以后的各种模态综合法中会看到各种模态综合方法的差异，就在于模态集的不同选取。

§10.3 固定界面模态综合法
子结构模态综合法的关键，是对子结构进行模态坐标变换。

这首先要假设一组分支模态集，这一分支模态集中，通常不可缺少的是子结构主模态集，而在求解主模态集时，必须先要对子结构的边界坐标进行处理，或者固定，或者自由。

固定界面模态综合法就是在求解保留主模态集时，界面坐标是通过引进的附加约束全部固定的。

显然，这时解得的保留主模态集具有如下形式：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=]0[][][kj ki k φφ （10－85） 下标i 表示内部自由度，j 表示界面自由度，k 表示保留主模态阶数，][ki φ是由子结构在界面坐标固定情况下的特征值问题
}]{[}]{[2φωφii ii m k = （10－86）
求出的低阶特征矢量。

]0[kj 是对应于界面坐标的模态分量。

固定界面模态综合法由Hutty 在1960年代初提出，经过Craig 和Bampton 两人在1968年改进后，修正为C-B 方法。

【Hutty 方法】
（1）有刚体运动子结构的分支模态集
基于运动学观点，结构运动分为牵连运动和相对运动，子结构内部任一点的位移，可用如下三种类型的运动来描述。

（1） 刚体位移——由][r ψ引起的牵连运动 （2） 约束模态][c ψ引起的牵连运动
（3） 子结构界面上全部加上附加约束后，子结构内部节点相对于这些约束的
运动，由固定界面分支主模态][N Φ来描述。

}
]{[}]{[}]{[}
{}{}{}{n n c c r r N C R p p p u u u u Φψψ++=++= （10－87）
即
}]{[}{p u Φ= （10－88）
其中
[]][][][][n c r ΦψψΦ= （10－89）
T T n T c T r p p p p ]}{}{}{[}{= （10－90）
因此在Hutty 方法中，对有刚体自由度的子结构，可以选取子结构对于界面静定坐标的刚体模态集，对于界面赘余坐标的约束模态集和子结构的固定界面保留主模态集三个子集。

（2）对于模态坐标的分支特性 子结构的运动方程为：
}{}{}]{[}]{[}]{[R F u K u C u
M +=++ （10－91） 根据（10－88）式对上方程进行子结构的模态坐标变换，模态变换矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=][][][]0[][][]0[]
0[][][][][][][][][][][][nn nr nr cc cr rr nn nc nr cn cc cr rn rc rr I I φψψψφφφφφφφφφΦ （10－92） 在模态坐标下的子结构特性矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==][][][][][][][][][]][[][][nn nc nr cn cc cr rn rc rr T m m m m m m m m m M M ΦΦ （10－93） ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==][][][][][][][][][]][[][][nn nc nr cn cc cr rn rc rr T k k k k k k k k k K K ΦΦ （10－94）
我们知道，模态坐标下，系统的刚度系数ij k 等于相应于第i 个模态产生的应力，在相应于第j 个模态的应变上所做的功；或者等于相应于第i 个模态的广义力，在相应于第j 个模态的广义位移上所做的功。

根据上述，我们可以仔细研究（10－94）式模态刚度矩阵中各项的意义。

]0[][=rr k ，因为一个自平衡力系在刚体位移中所做的功为零。

][cc k 为存在约束模态时，赘余约束坐标处的力在此约束位移上所做的功。

它不为零。

]0[][=cn k ，因为在固定界面情况下，约束坐标是固定不动的，约束模态的外力
是界面上的作用力，所以，约束力在主模态位移上的功为零。

]0[][=rn k ，系统有刚体模态位移时，没有受到相应于主模态位移的外力，反之亦然。

]0[][=cr k ，因为只有刚体模态位移时，约束坐标的反力为零。

由此可得子结构对于模态坐标}{p 的模态刚度矩阵可以写成：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=][]0[]0[]0[][]0[]0[]0[]0[][nn cc k k K （10－95） （3）模态综合
设系统由βα,两个子结构组成，它们的分支特性已经用上节的方法求出。

系统的位移为：
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=βαu u u }{ （10－96）
其中
α
α⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i c r u u u u ]{ β
β⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i c r u u u u ]{ （10－97）
系统的质量矩阵和刚度矩阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=][]0[]0[][][βαm m m ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=][]0[]0[][][βαk k k （10－98） 系统的假设模态矩阵为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=][]0[]0[][][βαΦΦΦ （10－99） 作系统的第一次坐标变换
}]{[}{p u Φ=
（10－100）
其中
T
T n T c T r T n T c T r p p p p p p p ]}{}{}{}{}{}{[}{βββααα= （10－101）
与模态坐标相应的模态质量矩阵和模态刚度矩阵为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==][]0[]0[][]][[][][βα
ΦΦM M m M T
（10－102）
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=ΦΦ=][]0[]0[][]][[][][βαK K k K T
（10－103） 两个子结构对接的几何条件为：
αβαβ}{][}{j j u L u -= （10－104）
其中，
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=c r j u u u }{ （10－105）
为界面坐标，βα-][L 为两个子结构连接处的坐标旋转矩阵。

由对接条件（10－104）得到：
αβαβ}{][}{)(r r r p L p ⋅-= （10－106）
)}{}{]([][}{}{][)(αααβαβββφφc r cr c c r cr p p L p p +=+⋅-（10－107）
进一步得到：
αβ}]{[}{j j p D p = （10－108） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-=⋅-⋅-⋅-⋅-c r cr cr
c r L L L L D )()()()(][][][][][]0[][][βαβαβ
αβαβαφφ（10－109） 选择
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=βαα}{}{}{}{n j n p p p q （10－110）
为独立的广义坐标
系统第二次坐标变换（独立坐标变换）为：
}]{[}{q S p = （10－111）
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=][]
0[]
0[]0[][]0[]0[]0[][]0[][]0[][I D I I S （10－112） 独立广义坐标下系统的质量矩阵和刚度矩阵为：
]][][[]~
[]][][[]~[S K S K S M S M T T == （10－113）
综合后的系统自由振动方程为：
}0{}]{~
[}]{~[=+q K q
M （10－114） 由此就完成了两个子结构的模态综合。

【Craig-Bampton 方法】
固定界面模态综合法中最具代表性的一种方法。

简称为C-B 方法。

它是对Hutty 方法的改进方法。

认为在子结构的界面自由度中，不必将它们区分为静定约束和赘余约束。

因为在一个具有高度赘余的界面对接系统中，哪些界面自由度应该作为静定约束部分，哪些界面自由度应该作为赘余自由度，这是完全不明确的。

因此，对界面对接自由度不做区分，对进行结构的模态综合是十分方便的。

正如对有刚体运动子结构的刚体模态的处理一样，只要界面附加约束超过子结构的刚体自由度，则约束模态中就必然包含子结构的刚体模态。

根据上述,C-B 方法所选择的假设分支模态集，由两个子集——固定界面的分支保留主模态集][k φ以及对全部界面坐标的约束模态集][c ψ组成。

即：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==λλ
λλ
λλ
λ
ψφψφφ][]0[][][]][]
[[][jc jk ic ik c k I （10－115） 其中，λφ][ik 是子结构界面固定后，求解固定界面的分支特征问题方程：
}0{}]){ˆ[]ˆ([2=-λλφωM K （10－116）
得到。

λψ][c 是一组包括刚体模态在内的约束模态。

由下式求得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][jc ic jc ic jj ji ij ii R I k k k k λ
λ
ψ （10－117）
解得：
λ
λλ
ψψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-][][][][][][1jc ij ii jc ic c I k k I （10－118） 故（10－115）式写成:
λ
λλ
λ
λφψφφ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡-==-][]
0[][][][]][][[][1
jc jk ij ii ik c k I k k （10－119）
注意到，（10－117）式中的λ
λ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=][][][][][jj ji ji ii k k k k K 与（10－116）式中的λ]ˆ[K 是
不相同的，两者关系为：
λλ]ˆ[][K
k ii = （10－120） 因此，C-B 法中的子结构保留主模态集中的模态数目由精度需要来选定，而子结构的约束模态数目等于界面自由度数目。

它等于Hutty 法中刚体模态与约束模态之和。

但两种方法的模态各列的定义不一定相同。

以一悬臂梁为例，中间子结构2为一个具有刚体模态的子结构，它有两个界面，四个自由度，在Hutty 方法中，取其中两个作为刚体模态，两个为约束模态，（图c ）,而C-B 方法中，将界面自由度全部作为对界面坐标的约束模态。

按Hutty 方法，先根据界面自由度情况，得到r 组刚体模态，然后在界面坐标中取r 个固定住（求约束模态时不再放松），得到一个静定的系统，然后对其余c 个界面坐标求得c 个约束模态。

下面就用得到的分支模态矩阵进行从物理坐标到模态坐标的变换。

为了方便，省去表示结构编号的上标λ。

}]{[}{p u φ= （10－121）
写成分块形式：
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧c k jc jk
ic ik j i p p I u u ][]0[][][}{}{ψφ （10－122） i 表示子结构内部节点坐标，k 为表示保留主模态及其编号，}{ik φ表示与}
{i u 对应的i 行k 列的分支保留主模态矩阵，k p 表示k 个主模态坐标，c p 表示c 个（
j
1
1
2
3
v ,θ
(a) (b)
(c)
(d)
个）约束模态坐标。

显然i k <<，从而达到减少系统自由度降阶的目的。

在模态坐标下的子结构质量阵、刚度阵和阻尼阵等分别为：
]
[][][]][[][][]][[][][][[][][R R C c K k M m T T
T T φφφφφφφ==== （10－123）
将][m 等矩阵分块展开，得到：
[][][][][][0][][][][][][][][][][0][]T
ii ij kk kc ik ck ik ic ji jj ck cc ic
cc ck cc m m m m m m m m m I I φφψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10－124） 其中
]
[]][[])[]][([][][]
[]][[][][][]
[][jj ic ij ij ic ii T ic kc ij ic ii T ik T ck kc kk kk m m m m m m m m m I m +++=+===ψψψψφ （10－125）
同样确定：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=][]0[]0[][][][][][][2cc k cc ck kc kk k k k k k k ω （10－126） ][]][[][][1ji ii ji jj cc k k k k k --= （10－127）
显然，这种方法中，主模态坐标}{k p 与约束模态坐标}{c p 间存在惯性耦合，但没有弹性耦合。

由于子结构间通过界面相连，在各个子结构的模态坐标方程建立后，进行组集时，需要进行独立坐标变换。

记结构不独立的广义坐标以及相应的质量、刚度矩阵为：
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧= }{}{}{}{}{ββααc k c k p p p p p ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= ]0[]0[]0[]0[]0[]0[]0[]0[][]0[]0[]0[]0[][][βαm m m ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
]0[]0[]0[]0[]0[]0[]0[]0[][]0[]0[]0[]0[][][βαk k k （10－128） 两个子结构界面相连接的几何协调条件可以写成：
αβαβ}{][}{j j u L u -= （10－129）
βα-][L 为两个子结构坐标不同所必须的坐标旋转变换阵。

假定有三个子结构
γβα,,如图所示相连接，其不独立的广义坐标向量为：
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=----αγγ
αββγαβαα}{}{}{}{}{}{}{}{c k c k c c k p p p p p p p p （10－130）
则界面几何协调方程为：
γ
αβ
αγααγβααβ------==}
{][}{}{][}{c c c c p L p p L p （10－131）
独立坐标选为：
⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--γ
αβαγβα
}{}{}{}{}{}{c c k k k p p p p p q （10－134） }]{[}{q S p =
（10－135）
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=--γαβ
α][]
0[]
0[]0[]0[]0[]0[][]0[]0[]0[][]0[]0[]0[]0[]0[]0[][]
0[][]0[]0[]0[]0[]0[][]0[]0[]0[]0[]0[]0[]0[][][L I L I I I I S （10－136） 综合后系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和外力向量（界面内力在组集时自动抵消，不出现在方程中）为：
]
[][][]][[][][]][[][][]][[][][R S R S c S C S k S K S m S M T T
T T ==== （10－137）
其中：
β
α
γ
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡=γβα][]
0[]0[]0[][]
0[]0[]0[][][m m m m ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡=γβα][]
0[]0[]0[][]
0[]0[]0[][][k k k k （10－138）
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡=γβα
][]
0[]0[]0[][]
0[]0[]0[][][c c c c ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=γβα}{}{}{}{R R R R （10－139）
最后的振动方程为：
}{}]{[}]{[}]{[R q K q C q
M =++ （10－140） 在利用方程（10－135）对刚度阵和质量阵进行变换后会发现，最后的总刚阵组集过程与有限元法中总刚阵装配的“对号入座”过程完全一样，实际上有限元素法是一种只用了约束模态集的固定界面模态综合法。

由前述可知，各子结构的保留主模态对应的主模态坐标α}{k p 是彼此独立的，而其约束模态坐标αα}{}{j j u p =为界面的节点坐标，相互连接的子结构的界面节点坐标是相等的。

如选取结构的独立广义坐标为：
T T j T
k T k u p p q ]}{}{}{[}{ βα= （10－141）
}{j u 为结构的全部界面节点坐标向量，并取统一的子结构坐标系，则结构假设模态刚度阵和假设模态质量阵表示为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=][]0[]
0[]
0[]0[]0[]0[]0[]
0[][]
0[]0[]0[]
0[][][22cc k k k K βα
ωω ⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
][][][]0[]0[][]0[][]0[][]0[]0[][][cc ic ic ic ic m m m m I m I M β
αββαα （10－142） 其中][cc k 与][cc m 按常规有限元的组集方法，由各子结构的λ][cc k 与λ][cc m 直接对号叠加得到。

C-B 法得到的系统总自由度N 为：
∑∑+=j k N （10－143）
即全部子结构的假设模态中主模态数之和，再加上全部界面自由度数。

有限元素法的形函数，就是固定界面模态综合法的约束模态，因此，有限元素法是一种主模态集取空集的固定界面模态综合法。

当界面自由度较多时，即使主模态数取得再少，最后的系统方程阶数仍然很。