武侯高中高2020级零诊模拟考试卷文科试卷及答案

武侯高中高2020级下期零诊模拟考试试题
文科数学
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A ={x||x|<2}，B ={x|x 2−3x <0}，则A ∪B =( )
A. (−2,3)
B. (−2,0)
C. (0,2)
D. (2,3)
2. 复数
的虚部是( )
A. −
B. −
C.
D.
3. 几何体三视图如图，其中俯视图为正三角形，正(主)视图与
侧(左)视图为矩形，则这个几何体的体积为( )
A. 12√3
B. 36√3
C. 27√3
D. 6
4. 执行右图的程序框图，若输入的k =0,a =0，
则输出的k 为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 已知直线l 1：
2x −y +1=0，l 2：x +ay −1=0，且l 1⊥l 2，点p(1,2)到直线l 2的距离d =( )
A. √5
5
B. 2√55
C. 3√55
D. 4√55
6. 若实数x ，y 满足约束条件{2x −y −3≤0,
x −y +1≥0,x +y −3≥0.
则z =x +2y 的最小值为( )
A. −1
B. 4
C. 5
D. 14
7. 已知函数f(x)={3x (x ⩽0)log 2x(x >0)
，那么f[f(1
8)]的值为( )
A. 27
B. 1
27
C. −27
D. −1
27
8. 设θ∈(0,2π)，则“方程
x 23
+y 2
4sinθ=1表示双曲线”的必要不充分条件为( )
A. θ∈(π,2π)
B. θ∈(2π
3,2π) C. θ∈(π,3π
2)
D. θ∈(π2,3π
2)
9.若直线x−y+a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，且∠AOB=120°(O为坐标原点
)，则|a|=()
A. 1
B. √2
C. 2
D. 2√2
10.在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养
说明，得到如下的列联表：
附：K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多
B. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明
的人数与不查看营养说明的人数比为3
4
C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系
D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系
11.若双曲线E：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x+3)2+y2=9所截得的弦
长为3，则E的离心率为()
A. √2
B. √3
C. 2
D. 2√3
3
12.过点A(2,1)作曲线f(x)=x3−3x的切线最多有()
A. 3条
B. 2条
C. 1条
D. 0条
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数f(x)=1
2
x2+alnx在x=2处取得极值，则a=______．
14.为了研究某种菌在特定环境下随时变化的繁殖情况，得如下实验数据：
15.点M(x,y)在椭圆x2
12+y2
4
=1上，则点M到直线x+y−4=0的距离的最大值为______．
16.已知函数f(x)=e x
x
−mx(e为自然对数的底数)，若f(x)<0在(0,+∞)上有解，则实数m 的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数f(x)=−x3+3x2+9x−2，求：
(1)函数y=f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；
(2)f(x)的单调递减区间．
18.某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本
次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数(得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[50,100]中)作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[60,70)的数据)．
(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的三组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这2名学生中恰好有1名学生的分数在[80,90)中的概率．
19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AA1=4，点D是AB的中点，AC⊥BC；
(1)求证：AC1//平面CDB1；
(2)求点A 到平面CDB 1距离．
20. 已知点M(x,y)与定点F 2(1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比是常数1
2
(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)若点F 1的坐标为(−1,0)，过F 2的直线l 与点M 的轨迹交于不同的两点A ，B ，求△F 1AB 面积的最大值．
21. 设函数f(x)=x 2−alnx ．
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a =2时，
①求函数f(x)在[1
e ,e]上的最大值和最小值；
②若存在x 1，x 2，…，x n ∈[1
e ,e]，使得f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n )成立，求n 的最大值．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：{x =tcosαy =1+tsinα(t 为参数，α∈(0,π
2))，以
坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 ρcosθ=4tanθ．
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点P(0,1)，设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，若PA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求α．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，则A∪B={x|−2<x<3}．
故选：A．
求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题．
利用复数的除法化简，即可得出结果．
【解答】
解：因为，
所以其虚部为3
，
10
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：由已知可得：
棱柱的底面是高为3√3的正三角形，
故底面的边长为：6，
底面面积为：9√3
棱柱的高为4，
故棱柱的体积V=Sℎ=36√3，
故选：B
由已知可得棱柱的底面是高为3√3的正三角形，求出底面面积和高，可得体积．
本题考查的知识点是棱柱的体积，熟练掌握棱柱的体积公式，是解答的关键．
4.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题． 结合程序框图逐步进行计算即可得解． 【解答】
解：运用程序框图，
第一次循环， a =2a +1=1 ， k =1 ，此时 a >10 不成立， 第二次循环， a =2a +1=3 ， k =2 ，此时 a >10 不成立， 第三次循环，a =2a +1=7 ，k =3，此时a >10不成立， 第四次循环，a =2a +1=15 ，k =4，此时a >10成立， 结束循环，输出k =4， 故选：C ．
5.【答案】D
【解析】解：∵直线l 1：2x −y +1=0，l 2：x +ay −1=0，且l 1⊥l 2， ∴2×1−1×a =0，解得a =2， ∴点p(1,2)到直线l 2的距离d =√12+22
=
4√5
5
． 故选：D ．
根据两直线垂直公式求出a ，再用点到直线的距离公式求出d ．
本题考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线垂直的性质、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解由约束条件作出可行域如图，
联立{2x −y −3=0x +y −3=0，解得A(2,1)，
由z =x +2y ，得y =−x
2+z
2，
由图可知，当直线y =−x 2+z
2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4． 故选：B ．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7.【答案】B
【解析】 【分析】
本题主要考查分段函数求值以及指数、对数的基本运算，属于基础题． 利用分段函数先求 f(1
8) 的值，然后再求出 f[f(1
8)] 的值． 【解答】 解：由题意知 ，
由于 −3<0 ，
所以 f[f(1
8)]=f(−3)=3−3=1
27 ． 故选 B ．
8.【答案】B
【解析】 【分析】
解：若该方程表示双曲线，则： 3⋅4sinθ<0 ，即 sinθ<0 ，又 θ∈(0,2π) ，解得 π<θ<2π ，
因为找该方程表示双曲线的必要不充分条件，所以就看由该方程表示双曲线能得到哪个选项，而由该选项的 θ 的取值范围得不到该方程表示双曲线． ∴B 选项正确；
选项 A 应是充要条件， C 应是充分不必要条件， D 应是既不充分又不必要条件． 故选： B ． 【解答】
本题考查双曲线的标准方程，必要不充分条件的概念．
先求出该方程表示双曲线时的 θ 的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项．
9.【答案】B
【解析】解：圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，
则在△AOB中，由余弦定理可得|AB|2=22+22−2×2×2×(−1
2
)=12，即|AB|=2√3，
所以圆心到直线的距离为√22−(√3)2=1，则
√2
=1，即|a|=√2．
故选：B．
先由余弦定理求出|AB|=2√3，即可得出圆心到直线的距离，即可求得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，余弦定理及其应用等知识，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：根据列联表中数据，计算K2=70×(15×10−25×20)2
40×30×35×35=35
6
≈5.833>5.024，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系．
故选：C．
根据列联表中数据计算K2，对照附表得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，由点到直线的距离公式可得圆心到渐近线的距离为
√a2+b2
，再运用直线和圆相交的弦长公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】
解：由圆C：(x+3)2+y2=9可得圆心(−3,0)，半径为3，
双曲线E：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线为：bx−ay=0，
则圆心到直线的距离为：
√a2+b2=
√a2+b2
，
渐近线被圆(x+3)2+y2=9所截得的弦长为3，
由弦长公式可得3
2=√9−9b2
a2+b2
，
可得a2
a2+b2=1
4
，即c2
a2
=4．
可得e=2，故选：C．12.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，属于中档题． 【解答】
解：设切点为P(x 0,x 03−3x 0)， 因为f′(x 0)=3x 02−3，
则切线方程y −x 03+3x 0=(3x 02−3)(x −x 0)， 代入A(2,1)得2x 03−6x 02+7=0， 令y =2x 03−6x 02+7=0，
则由y′=0，得x 0=0或x 0=2， 且当x 0=0时，y =7>0， x 0=2时，y =−1<0，
所以方程2x 03−6x 02+7=0有3个解，
则过点A(2,1)作曲线f(x)=x 3−3x 的切线最多有3条． 故选A ．
13.【答案】−4
【解析】解：由已知得：f′(x)=x +a
x ，所以f′(2)=2+a
2=0． 解得a =−4． 故答案为：−4．
令极值点处的导数为零，即可求出a 的值． 本题考查了导数的概念和性质，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可得：x −
=
3+4+5+6+7
5
=5，
回归方程过样本中心点，则：y −=0.85×5−0.25=4， 即：
2.5+c+4+4.5+6
5
=4，
解得：c =3． 故答案为：3．
首先求得样本中心点，然后利用回归方程过样本中心点求得实数c 的值即可．
本题考查回归方程的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等
题．
15.【答案】4√2
【解析】解：可设P点坐标是(2√3cosα,2sinα)，(0°≤α<360°)
∴点P到直线x+y−4=0的距离d=√3cosα+2sinα−4|
√2=|4sin(α+
π
3
)−4|
√2
，
∴d max=4√2.当且仅当sin(α+π
3
)=−1时，取得最大值．
故答案为：4√2．
设P点坐标是(2√3cosα,2sinα)，(0°≤α<360°)，点P到直线x+y−4=0的距离d公式，利用三角函数的有界性求出点P到直线x+y−4=0的距离的最大值．
本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．
16.【答案】(e2
4
,+∞)
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由题可知，存在x∈(0,+∞)，使得e x
x −mx<0，即m>e x
x2
，设g(x)=e x
x2
，x∈
(0,+∞)，问题转化为求g(x)在(0,+∞)上的最小值，对g(x)求导后，易推出g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，于是g(x)min=g(2)，从而得解．
【解答】
解：∵f(x)<0在(0,+∞)上有解，
∴存在x∈(0,+∞)，使得e x
x −mx<0，即m>e x
x2
，
设g(x)=e x
x2
，x∈(0,+∞)，
问题转化为求g(x)在(0,+∞)上的最小值，
而g′(x)=e x(x−2)
x3
，
∴当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
∴g(x)min=g(2)=e2
4，∴m>e2
4
．
故答案为：(e2
4
,+∞)．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=−x 3+3x 2+9x −2，
∴f′(x)=−3x 2+6x +9，
f′(0)=9，f(0)=−2，
∴函数y =f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为：
y +2=9x ，即9x −y −2=0．
(2)∵f(x)=−x 3+3x 2+9x −2，
∴f′(x)=−3x 2+6x +9，
由f′(x)=−3x 2+6x +9<0，
解得x <−1或x >3．
∴f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)．
【解析】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
(1)求出f′(x)=−3x 2+6x +9，f′(0)=9，f(0)=−2，由此利用导数的几何意义能求出函数y =f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程．
(2)由f′(x)=−3x 2+6x +9<0，能求出f(x)的单调递减区间．
18.
【答案】解：(Ⅰ)由茎叶图知：分数在[60,70)中的频数为3，∴分数在[60,70)中的频率为：3n ，
又由频率分布直方图知[60,70)中的频率为：
0.0075×10=0.0075，∴3n =0.075，∴n =40， 又分数在[50,60)中的频率为：10x =140，∴x =0.0025，y =110−0.0025−0.0075−0.02−0.03=0.04．
∴n =40，x =0.0025，y =0.04．
(Ⅱ)∵分数在[80,90)，[90,100]的人数之比为3：2，
∴在[80,90中抽取的人数为3，在[90,100]中抽取的人数为2，
设事件A 为：“这2名学生中恰好有1名学生的分数在[80,90)“，
则P(A)=C 31⋅C 21C 52=35． 【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图特点，茎叶图求解；
(Ⅱ)根据古典概型概率公式，组合数公式，计数原理求解．
本题考查频率分布直方图，茎叶图，古典概型概率公式，组合数公式，计数原理，属基础题．
19.【答案】解：(1)证明：设BC 1∩B 1C =M,
连接DM ，D 点是AB 的中点，M 点是BC 1的中点，
DM 是的中位线，所以AC 1//DM ，AC 1⊄平面CDB 1，DM ⊂平面CDB 1， 所以AC 1//平面CDB 1；
(2)因为DM 是的中位线，，所以点A 到平面CDB 1的距离等于点B 到平面CDB 1的距离，
因为AC =BC =4，点D 是AB 的中点，所以，
在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以
， 又AA 1∩AB =A ，AA 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以CD ⊥平面ABB 1A 1，
又CD ⊂平面CDB 1，所以平面CDB 1⊥平面ABB 1A 1，
过点B 作BH ⊥DB 1于H ，因为平面CDB 1∩平面ABB 1A 1=DB 1，则BH 就是点B 到平面CDB 1的距离，BD =2√2，BB 1=4，由勾股定理知DB 1=2√6，
所以 BH =BD·BB 1
DB 1=4√33
， ∴A 到平面CDB 1距离为4√33．
【解析】本题考查线面平行的判定，点到平面的距离计算，属于中档题．
(1)设BC 1∩B 1C =M,连接DM ，证明AC 1//DM ，从而得解；
(2)先得出点A 到平面CDB 1的距离等于点B 到平面CDB 1的距离，再证明平面CDB 1⊥平面ABB 1A 1，过点B 作BH ⊥DB 1于H ，计算BH 即可．
20.【答案】解：(1)由题意可有√(x−1)2+(y−0)2|4−x|=12， 化简可得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1.
其轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2√3的椭圆．
(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
∴△F 1AB 面积S =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|，
由题意知，直线l 的方程为x =my +1，
由{x =my +1x 24+y 23=1可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，
则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，
又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故△>0，
即(6m)2+36(3m 2+4)>0，
则S =|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√1+m 23m 2+4
令t =√m 2+1(t ≥1),则S △F 1AB =12t 3t 2+1=
4t+13t ， 令f(t)=t +13t
,由函数的性质可知， 函数f(t)在[√33+∞)上是单调递增函数， 即当t ≥1时，f(t)在[1,+∞)上单调递增，
因此有f(t)≥f(1)=43，
所以S △F 1AB ≤3，
故当t =1，即m =0，三角形的面积最大，最大值为3．
【解析】(1)根据题意可得√(x−1)2+(y−0)2|4−x|=12
，化简即可求出， (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则可得△F 1AB 面积S =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|，根据韦达定理和函数
的性质即可求出．
本题考查了椭圆的轨迹方程，以及直线和椭圆的位置关系，三角形的面积的计算和函数的性质，属于中档题
21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx(x >0)，则f′(x)=2x −a x =2x 2
−a x (x >0)， 当a ≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a >0时，令f′(x)=0，得x =√2a 2， 当x >√2a 2时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(√2a 2
,+∞)上单调递增， 当0<x <√2a 2时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,√2a 2
)上单调递减， 综上所述：
当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a 2
)上单调递减． (2)①当a =2时，
由(1)知函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增，
所以f(x)min =f(1)=1，
又f(1e )=1e 2+2<3，f(e)=e 2−2>2.72−2=5.29>3，
所以f(x)max =f(e)=e 2−2，
综上所述：函数f(x)在[1e ,e]上的最大值为e 2−2，最小值为1．
②因为当x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]，，
所以f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥n −1，且f(x n )≤e 2−2，
又f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n )，
所以n −1≤f(x n )≤e 2−2，
所以n ≤e 2−1<7，
令x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，
则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2，
故n 的最大值为6．
【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数求函数的最值(不含参)、利用导数求函数的单调区间(含参)，属于较难题．
(1)根据函数f(x)的解析式求出f′(x)，分a ≤0和a >0两类情况，利用导数求函数的单调区间．
(2)①利用导数判断函数f(x)在[1e ,e]上的单调性，从而求函数的最小值，结合f(x)在端点处的函数值求出其最大值．②由题意结合函数f(x)在[1e ,e]上的最值可得n ≤e 2−1<7，由此即可求出n 的最大值．
22.【答案】解：(1)由{x =tcosαy =1+tsinα(t 为参数，α∈(0,π2))，消去参数α，
可得C 1的普通方程为y =xtanα+1,(α∈(0,π2))，
∵ρcosθ=4tanθ，∴ρcos 2θ=4sinθ，则ρ2cos 2θ=4ρsinθ，得x 2=4y ，
∴C 2的直角坐标方程为：x 2=4y ；
(2)将{x =tcosαy =1+tsinα代入x 2=4y ，得t 2cos 2α−4tsinα−4=0，
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1⋅t 2=−4cos 2α，
若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，即t 1⋅t 2=−2，则−4cos 2α=−2，
即cos 2α=2>1，∴满足条件的α不存在．
【解析】(1)直接把参数方程中的参数消去，即可得到C 1的普通方程，由C 2的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线C 2的直角坐标方程；
(2)把直线的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用参数t 的几何意义结合根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．。