第17讲等腰三角形性质及分类讨论尖子班讲义

等腰三角形性质及分类讨论（讲义）

一、知识点睛

1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．

2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．

3. 分类讨论的类型： ①定义法则．

如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．

如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．

如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．

如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；

②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．

标准包括限制条件，实际意义等．

二、精讲精练

1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，

CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．

O E

C D

B

2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分

∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．

A

E

D

3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，

交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．

F

D

C

B

A

4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，

连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．

G

E

B F C

D

A

5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．

（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．

（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．

6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．

7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．

8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，

则线段BC的长为______________．

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．

10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为

3cm，则腰长为__________．

11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．

12.

13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直

线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．

B

30°l

A

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一

点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．

A

B C

三、回顾与思考

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________

【参考答案】

1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）

2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）

3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明

△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）

4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明

AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）

5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-3

6.120°或20°

7. 2

8.1cm或5cm

9.65°或115°

10.8cm

11.8cm或16

3

cm

12.作图略

13.作图略

等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）

1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．

2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．

3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ． 求证：DF ∥AE ．

【参考答案】

1．3或-5

2．50°或130°

3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）

F

G

D

A

等腰三角形性质及分类讨论（作业）

15. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC

边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ．

16. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，

CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．

求证：BM =ME ．

17. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，

F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ． 求证：BD =CD ．

F

B

E

A

D

M D

A F

D C

B A

E