湘教版八年级下册数学 1.2 直角三角形的性质和判定(2)课件

A c=? b=4 B
量得c=5.
a=3
C
3，4，5是直角三角形的一组 边，5是直角三角形的斜边.
探究2
在方格纸上， 以直角边分别为3和4的Rt△ABC 的 三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正
方形，这三个正方形的面积之间有什么关系？
S1 A
S2 16
S3
S3
B
9
？ 25
2 2
S2
梯子顶端是否往上移动0.5 m呢？
分析
抽象出示意图如下. 在Rt△ABC 中，计算 出AB； 再在Rt△A′BC′中， 计算出A′B， 则可
得出梯子往上移动的距离为（A′B - AB）m.
A′ A 墙面
梯子
地面 B
C′ C
在Rt△ABC中， AC = 4 m， BC = 1.5 m， 由勾股定理得， AB = 42 -1.52 = 13.75 3.71(m). 在Rt△A′BC′中， A′C′ = 4 m， BC′ = 1 m， 故
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
旧知回顾
1.三角形边的关系怎样？ a+b>c a-b<c
B A c a b C
2.直角三角形有哪些特殊性质？ 1.直角三角形两锐角互余；
2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半；
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半； 4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边 的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
故AD的长为12cm.
随堂练习
1.求下列各图中的x x
8 6
x 12
10
5
13
25
15 24 8
x 7
1 3
x 17
2
1
2
x1
x
3
4
x5
x 13
12
2. 有一颗树较高，无法直接量出它的高度.可以
先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使
此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之
间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？
解： 在Rt△ABC中,∠ABC=60°， 可知∠BAC=30 ° ，
由于BC=a，因此有AB=2a，
再由勾股定理可得： 树高 AC
AB 2 BC 2
2a 2 a 2
3a 2

3a.
3.用这个图能证明勾股定理吗？
4.已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4，求b和c.
C
AC BC AB
2
S1
为了求S3， 可以先算出红
色区域内大正方形的面积， 再减去4 个小三角形的面积.
对于直角边长分别是3和4的 直角三角形，有S1+ S2= S3 .
是否对所有的直角三角形都有两直角的平
方和等于斜边的平方呢？
探究3 任作一个Rt△ABC如图， ∠C= 90°， 若
BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2+ b2= c2是否成 A 立呢？ c b B C a
1.先剪出4 个如下图右所示的直角三角形， 由于 每个直角三角形的两直角边长为a， b （其中b > a）. 2 .再剪出1 个边长为c 的正方形， 如图所示.
c B
A b
a
C
上面所得4个三角形和一个正方形能拼成一个 大正方形吗？
S大正 = S小正 + 4S直
A
B
c b a C
1 (b + a ) = c + 4 ab 2
分析
A
要求AD的长，可以把AD放在直角 三角形中，通过勾股定理计算出.
B D C
解：在△ABC中， ∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC， ∴ BD = 1 BC = 5.
A
2 在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2+2=AB2 ,
∴ AD =
B
D
C
AB2 - BD2 = 132 - 52 = 18 8 = 12.
A'B = 4 -1 = 15 3.87(m).
2 2
因此A′A = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）. 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m， 而不是 向上移动0.5 m.
例题精讲
例2（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问 水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10
c= √a2+b2
a2 = c2-b2 . a=√c2-b2 b2 = c2-a2 . b=√c2-a2
我国早在三千多年前就已经知道直
小知识
角三角形的上述性质， 由于古人称直角 三角形的直角边中较短的一边为勾， 较 长的一边为股， 斜边为弦，因此这一性 质被称为勾股定理.
新知探究
探索
如图， 电工师傅把4m长的梯子AC 靠在墙上， 使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5 m， 准备在墙上安 装电灯. 当他爬上梯子后， 发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近0.5 m，即移动到C′处. 那么，
b=8，c=10
a b
c
勾股定理：直角三角形中
两直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2
几何语言： 如图，在Rt △ABC中
∵ ∠C=90°
一限
A
二指
∴a2+b2=c2（或：AC2+BC2=AB2)
b
C
c a
B
三用
勾股定理的作用： 已知直角三角形任意两边求第三边。
B c a C b A
c2 = a2 + b2
2 2
a + b = c
2 2
2
ab
结论
直角三角形两直角边a， b的平方和， 等于斜边c的平方.
a2 + b2 = c2
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的
关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任 意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第 三边的长.
例题精讲
例1 如图， 在等腰三角形ABC 中， 已知 AB = AC = 13 cm， BC = 10 cm， AD⊥BC 于 点D. 你能算出BC边上的高AD的长吗？
尺的正方形池塘，一棵芦苇生长
在池的中央，其出水部分为1尺.
如果将芦苇沿与水池边垂直的方
向拉向岸边，它的顶端恰好碰到
池边的水面.问水深与芦苇长为多
少？
宋刻《九章算术》书影
分析
根据题意， 先画出水池截面示意图，
如图示. 设AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，
3.如何证明一个三角形是直角三角形？
1.有两个角互余的三角形是直角三角形； 2.在三角形中，如果一边的中线等于这边长
的一半，那个这个三角形是直角三角形.
这个结论可以用来判定直角三角形，但不作为定理使用.
情境导入
2002年国际数学家大会
新知探究
探究1
如图， 在方格纸上（设小方格边长为单位1） 画 一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边分 别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.