河北省邯郸市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

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河北省邯郸市2020-2021学年高一上学期期末数学
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合{}19|A x x =≤≤，{||1|2}B x x =+<，则A B =（ ）
A ．{}3|9x x -≤≤
B ．9{|}3x x -<≤
C ．{}1|9x x -<≤
D ．{}|19x x ≤≤
2．23cos
6
π
=（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
2
D ． 3．若0.33a =，0.3log 3b =，0.50.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．b a c <<
4．已知幂函数()2
21
()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2-或1
5．已知实数2m >，集合12{|}4x A y y -==+，集合(){
}
2
220B x x m x m =-++≤，
若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,4
B ．(]2,4
C ．()4,+∞
D ．[4,)+∞
6．已知函数()
f x =
A ，函数()2
29log 4g x x x ⎛⎫ ⎪⎝
=+⎭-的值域为
B ，又A B ⊆，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．1,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
C ．1,2⎛⎫
-
-∞ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎡⎫
-
-∞⎪⎢⎣⎭
7．已知2
3cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3
αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）
A ．
49
B ．5
9
C ．
536
D ．518
-
8．设()()2
15f x x a x =+-+，若函数()f x 在区间[]1,4上的图象位于直线1y x =+上
方，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞ C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-
二、多选题
9．在以下函数中，恰有1个零点的函数是（ ） A ．12
log (1)y x =+
B ．|31|x y =-
C ．1212
y x =+-
D ．22x y x =-
10．下列命题的否定中，真命题的是（ ） A ．x R ∃∈，2
104
x x -+
< B ．所有正方形既是矩形也是菱形 C ．0a ∃>，2220x x a +++=
D ．所有三角形都有外接圆
11．已知曲线1:cos 4C y x =，2:sin 23C y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下面结论正确的是（ ）
A ．把曲线1C 向左平移
3
π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2C B ．把曲线1C 向右平移
24
π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2C
C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移不单位长度，得到曲线2C
D ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移
12
π
个单位长度，得到曲线2C
12．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．当x ∈R 时，4
sin 4sin x x
+
≥
C ．若a R ∈2
2
D ．若,a b R +∈，22a b +=，则149
2
a b +≥+
三、填空题
13．已知集合21{}2|A x x =≤，{}
5,B x x x Z =≤∈，则(
)U
A B ⋂的子集个数为
__________.
14．已知函数()21,0
1,0
x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f f m =，则m = ______________.
15．已知函数()3
181ln 803x f x x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
的零点位于区间(),1k k +内，则整数k =
________.
16．已知,m n R ∈，且2221m mn n -+=成立，则2m n -的取值范围_____________.
四、解答题
17．已知0a >，集合{|1A x x =≤-或}2x ≥，{}
2
2
230B x x ax a =--≥
（1）当1a =时，求A B
（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18．已知函数()5sin(4))6
6
f x x x π
π=+
+-
（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间 （2）求函数()y f x =在50,
24π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上值域. 19．已知函数()f x 对于任意,x y R ∈都有()()()·
f x y f x f y +=且()0f x >，且当0x >时，()1f x >.
（1）求()0f ，判断函数()f x 的单调性并利用定义加以证明；
（2）若函数()g x 为[]22-,
上的奇函数，当02x <≤时，()()g x f x =，解不等式()()120g t g t -+<
20．某商品的进货价格为每千克6元，利用数学知识进行市场分析模拟可得：该商品的
预定价x （整数）（元/千克）与销售y （件）之间的关系式为15y x =-+， （1）预定售价x 为多少元/千克时，销售总利润最大？此时总利润是多少元？ （2）现定义利用总利润与预售价x 的比为“利润售价比”，则预定售价x 为多少时，“利润售价比”最大？
21．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中0A >，0>ω，||2
ϕπ
<）的部分图象如图所示，先把函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的
1
2
（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移
4
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象.
（1）求函数()g x 图象的对称中心. （2）当,88x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域. （3）当,88x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，方程()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.
22．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[
)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.
（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.
（2）若()2
29m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值
范围.
参考答案
1．B 【分析】
先化简集合B ，再利用并集运算求解. 【详解】
因为{}19|A x x =≤≤，{|31}B x x =-<<， 所以A
B =9{|}3x x -<≤，
故选：B. 2．C 【分析】
利用诱导公式计算求值即可． 【详解】
23cos
cos 466πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos cos 66ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
， 故选：C 3．B 【分析】
直接利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】
因为0.313a =>，0.5000.50.51<<=，0.30.3log 3log 10<=， 所以b c a <<， 故选：B. 4．A 【分析】
由()f x 是幂函数结合函数单调性得出实数m 的值． 【详解】
由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，
故选：A 5．C 【分析】
利用指数函数的性质化简集合A ，分解因式可得集合B ，由A B φ⋂≠可得实数m 的取值范围． 【详解】 集合1
{|}{|}2
44x A y y y y -==+=>，
(){}()(){}
222020B x x m x m x x x m =-++≤=--≤{}2x x m =≤≤，由于
A B φ⋂≠，所以4m >，
故选：C 6．B 【分析】
先求出函数()f x 的定义域以及函数()g x 的值域，再利用集合的包含关系求解a 的取值范围即可. 【详解】
根据题意得：202x a x a +>⇒>-，
()222
2
219log log log 42212x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+≥=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎢⎥⎣⎦
=⎭-+，
则{}
2A x x a =>-，
{}1B y y =≥，
由A B ⊆，
可得1212
a a -≥⇔≤-， 故选：B. 7．C 【分析】
将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23
αβ+=
，
然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由2
3cos sin
2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3
αββ+=两边同时乘以2
得22sin sin 23αβ+=
②，将①②两个等式平方相加得()4
414cos 249
βα+-+=+，解得()5cos 236
αβ+=. 故选：C. 【点睛】
思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值. 8．A 【分析】
根据题意，由()()2
151f x x a x x =+-+>+在区间[]1,4上恒成立，转化为4
2a x x
->--
在区间[]1,4上恒成立求解. 【详解】
由题意得，()()2
151f x x a x x =+-+>+在区间[]1,4上恒成立,
4
2a x x
->--在区间[]1,4上恒成立,
令4
y x x
=+
，其图象如图所示：
由图象知4y ≥， 所以24a ->-， 解得2a >-， 故选：A. 9．AB 【分析】
根据函数零点定义进行求解即可. 【详解】
A ：由12
log (1)00y x x =+=⇒=，所以该函数只有一个零点，符合题意；
B ：由|31|00x y x =-=⇒=，所以该函数只有一个零点，符合题意；
C ：由1121024y x x =+-
=⇒=-或3
4
x =-，所以该函数有两个零点，不符合题意； D ：当0x >时，2202x y x x =-=⇒=或4x =，所以该函数当0x >时有两个零点，不符合题意， 故选：AB 10．AC 【分析】
判断各选项中命题的真假，进而可判断出各选项中命题否定的真假，由此可得出合适的选项. 【详解】
选项A ，2
211042x x x ⎛⎫
-+=-≥ ⎪⎝⎭
，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所
以选项A 满足条件；
选项B ，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B 不满足条件；
选项C ，当0a >时，()2
222110x x a x a +++=+++>，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C 满足条件；
选项D ，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D 不满足条件. 故选：AC. 11．BD 【分析】
由曲线1C 到曲线2C 可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换. 【详解】
曲线1C 到曲线2C 的转换可通过两个途径放缩、平移可得：
途径一：向右平移
24π，即cos 4cos 46y x y x π⎛
⎫=⇒=- ⎪⎝
⎭，再把得到的曲线上各点的横坐
标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即
cos 4cos(2)cos(2)sin 266323y x y x x x πππππ⎛⎫⎛
⎫=-⇒=-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，可得选项B 正
确.
途径二：把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即
cos 4cos 2y x y x =⇒=，所得曲线向右平移
12
π
个单位长度即
cos 2cos 2()cos(2)cos(2)sin 2126323y x y x x x x π
ππππ⎛
⎫=⇒=-
=-=+-=+ ⎪⎝⎭
，可得选项D 正确. 故选: BD 12．AD
【分析】
运用不等式性质与基本不等式结合选项一一判断即可. 【详解】
A ：因为22ac bc >，不等式两边同乘以21c ，因为2
1
0c >，不等式两边不等号不变，所以a b
>成立，正确；
B ：∵x ∈R ，令sin t x =，∴[]sin 1,1t x =∈-，当[)1,0t ∈-时，4
0t t
+
<，故B 错误；
C 22
=
=t =1t t
+，根据
函数的定义域可得12
t t
+≥
，错误； D ：因为22a b +=，则
14114124(2)922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⨯++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
19
(922
⨯+=+，正确. 故选：AD. 13．16 【分析】
分别化简集合,A B ，计算出(
)U
A B ⋂，可得其子集个数．
【详解】
根据题意可得{A x x =-≤≤，{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5B =-----，可得
(
){}5,4,4,5U
A B =--，其子集个数为4216=
故答案为：16 14．0 【分析】
用换元法，结合函数的解析式进行求解即可. 【详解】
令()f m t =，则()2f t =，
（1）当0t >时，121t t +=⇒=，所以()1f m =； 当0m >时，110m m +=⇒=（舍去）， 当0m ≤时，2110m m +=⇒=；
（2）当0t ≤时，2121t t +=⇒=-，所以()1f m =-； 当0m >时，11m +=-，显然此时方程无实数解， 当0m ≤时，211m +=-，显然此时方程无实数解， 终上所述：0m =. 故答案为：0 15．2 【分析】
分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可求得结果. 【详解】
因为函数81ln y x =与3
1803x y -⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
在()0,∞+上均为增函数，
所以，函数()f x 在()0,∞+为增函数，
()281ln 2830f =-<，()381ln3810f =->，()()230f f ⋅<，
所以，函数()f x 的零点位于区间()2,3内 ，故2k =. 故答案为：2.
16．[]22-,
【分析】
用换元法、判别式法进行求解即可. 【详解】
设2m n t -=，则2m t n =+.从而()()2
22221t n t n n n +-++=，
即2277210n tn t ++-=，则(
)
2
2
4947210t t ∆=-⨯-≥，解得22t -≤≤，
故答案为：[]22-,
17．（1）{|1x x ≤-或}3x ≥；（2）2
03
a <≤. 【分析】
（1）当1a =时，利用交集的定义计算可得A B ；
（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，可得A B ，列不等式组解出实数a 的取值范围．
【详解】
{|1A x x =≤-或}2x ≥，{}()(){}
2223030B x x ax a x x a x a =--≥=-+≥{|x x a =≤-或}3x a ≥
（1）当1a =时，{|1B x x =≤-或}3x ≥
所以{|1A B x x ⋂=≤-或}2x ≥{|1x x ⋂≤-或}3x ≥{|1x x =≤-或}3x ≥ （2）由题意得A
B ，
∴1,
1,2233a a a a ≤⎧-≤-⎧⎪
⇒⎨⎨≥≤⎩⎪⎩
（且等号不能同时成立）
， ∴2
03
a <≤
. 18．（1）2
T π
=，(),12262k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z ；（2）(]1,2-. 【分析】
（1）利用诱导公式和辅助角公式可得()f x =2sin(4)6
π
-x ，即可求出周期和单调增区间.
（2）由50,24x π⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭，可得24,663
t x πππ
⎛⎫
=-∈- ⎪⎝⎭
，利用sin y t =的函数图象可得值域. 【详解】
（1）(
)5sin(4))6
6
f x x x π
π=+
+-
sin(4))66x x ππ
π=+++-
sin(4))66
x x ππ
=++
2sin(4)2sin(4)636
x x π
ππ
=+
-=-， 所以最小正周期242
T ππ
=
=， 令2422
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，k Z ∈，
解得12
262
k k x π
πππ-
+
≤≤+，k Z ∈， 故函数()y f x =的单调递增区间为(),12262k k k ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z . （2）因为50,
24x π⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭，令24,663
t x πππ
⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭
， 根据sin y t =的函数图象，可得1sin 4,162x π⎛
⎫⎛⎤
-
∈- ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
， ∴()(]2sin 41,26y f x x π⎛⎫
==-∈- ⎪⎝
⎭
. 函数值域为：(]1,2-
19．（1）()01f =，函数()f x 单调递增，证明见解析；（2）11,3⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
. 【分析】
（1）利用赋值法,令0x =，1y =求解；任取12,x x R ∈，设12x x <，由()()
21f x f x -()()1211f x f x x =--⎡⎤⎣⎦判断其符号即可.
（2）根据函数()g x 的奇函数，将()()120g t g t -+<转化为()()12g t g t -<-，利用其单调性求解. 【详解】
（1）当0x =，1y =时，()()()101f f f =⋅， 因为()10f >，所以()01f =.
函数()f x 单调递增，证明如下： 任意12,x x R ∈，设12x x <，
则210x x ->，()211f x x ->，()2110f x x -->，
()()()()()()()()
2112111211f x f x f x x x f x f x f x x f x -=+--=--()()1211f x f x x =--⎡⎤⎣⎦，
因为()10f x >，()2110f x x -->， 所以()()210f x f x ->，所以()f x 单调递增. （2）因为()()120g t g t -+<， 所以()()12g t g t -<-，
所以212,
222,12,t t t t -≤-≤⎧⎪
-≤-≤⎨⎪-<-⎩
，
解得113
t -≤<
. 所以不等式的解集为11,3⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
.
20．（1）当预定售价x 为10或11时，销售总利润最大，此时总利润是20元；（2）当预定售价为9元/千克或10元/千克时，“利润售价比”最大. 【分析】
（1）由已知条件求出总利润，利用二次函数的性质得出总利润的最大值，进而可得此时的预定售价和总利润；
（2）利用总利润与预售价的比得出“利润售价比”的解析式，由对勾函数的性质得出结论． 【详解】
（1）根据题意：总利润()()2
6152190z x x x x =--+=-+-，
该函数图象的对称轴为
21
10.52
=， 所以当预定售价x 为10或11时，销售总利润最大，此时总利润是20元.
（2）根据题意：“利润售价比”()22190x x m x x
-+-==90902121
x x x x ⎛⎫--+=-++ ⎪
⎝⎭，
由90
x x x
=
⇔=x 为整数知，当9x =或10时，较大者为最大值，()()9102m m ==，
所以当预定售价为9元/千克或10元/千克时，“利润售价比”最大.
21．（1）(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；（3）3310⎡
⎤⎢⎥⎣⎦.
【分析】
（1）观察图象，由函数最值求出A ，由周期求出ω，再将7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入得出ϕ，即可求出函数()f x 的解析式，进而得出函数()g x 的解析式以及对称中心； （2）由x 的范围结合余弦函数的性质可得()g x 的值域；
（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m 的取值范围． 【详解】
（1）根据图象可知1A =，1
74123
T ππ=-， ∴T π=，∴22T
π
ω=
=，()()cos 2f x x φ=+， 将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭
代入得，7cos 16πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭，即726k πϕππ+=+，解得26k πϕπ=-，k Z ∈， ∵2
π
ϕ<
，∴0k =，6
π
ϕ=-
，
∴()cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的
1
2
（纵坐标不变），可得cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线再向左平移4π个单位长度，得()5cos 416g x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
令54,62x k k Z ππ
π+
=+∈，解得124
k x ππ=-+
∴此函数图象的对称中心为(),1124k k ππ⎛⎫
-
+∈ ⎪⎝⎭
Z . （2）当,88x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，54514,cos 41,63362x x ππππ⎡⎤⎛
⎫⎡⎤+∈⇔+
∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎣⎦
， ()53cos 410,62g x x π⎛
⎫⎡⎤
=+
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （3）()()()2
230g
x m g x m +-+-=()()()2231g x g x m g x ⇔++=+⎡⎤⎣⎦
()()()223
1
g x g x m g x ++⇔=+，
令()1s g x =+，由（2）知51,2s ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，2223310s m s s s +⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦， 因此m
的取值范围为3310⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．
22．（1）()[)()()(]()222,0,
00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩
；（2）[]1,1-.
【分析】
（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；
（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围． 【详解】
（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，
当(]
0,2x ∈时，()()()()2
2
f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦
，
所以()[)()()(]()222,0,00,
0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩
（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-， 要使()2
29m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，
即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，
则()()2
2
1230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩
即31,
13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，
∴实数m 的取值范围是[]1,1-.。