动量定理及动量守恒定律

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动量定理及动量守恒定律
oy N1 − m1g = 0 又f1max = N1μ1
以 m2 为隔离体，m2 受重力W = m2 g ;桌面的支持力 N2 ; m1 的压力 N1′ （大小与 N1 相等）; m1 作用在 m2 上的最大静摩擦力 f1max′（大小与 f1max 相等） ;桌面作用在 m2 上的
oA y A W3 − TA′ − TB′ = m3a3
(7)
因为不计滑轮及绳的质量，不计轴承摩擦. 且已知绳不可伸长.
∴ TA = TB = TA′ = TB′ = T
f A ,绳的拉力 TA , A 的动力学方程为

动量定理及动量守恒定律
W1 + N A + f A + TA = m1a1 建立如图 3.5.7（1）所示的坐标系 oA − xA y A .
oA xA TA − f A = m1a1
(1)
oA y A W1 − N A = 0
(2)
且 fA = NAμ
动量定理及动量守恒定律
第三章 动量定理及动量守恒定律
(Momentum and Conservation Law of Momentum)
一、内容简介（Abstract） 1．牛顿第一定律（Newton’s first law)
孤立质点静止或作等速直线运动，即质点在不受力或所受力的合力为零时，将保持静 止或匀速直线运动状态不变.（惯性定律） 2．牛顿第三定律（Newton’s third law）
g
y
x o
N
2
α m2
a2
W2
N1′
图3.5.（5 3）
y′
N1 f∗
m1
a
W1 o′
x′
图3.5.5(4)
解法二：以固定平面为参照系，以 m2 为隔离体，m2 受重力W2 = m2 g ;支承力 N2 ; m1
对 m2 的压力 N1′ ; m2 的动力学方程为 W2 + N2 + N1′ = m2a2
最大静摩擦力 f2max .
为了求得能将 m2 抽出的 F 的临界值，令 m2 的加速度与 m1 的加速度相等， m2 的动
力学方程为
N1 + W2 + N2 + f1′max + f2max + F = m2a1
坐标系与前同，
ox:
F − f1max − f2max = m1a1
oy: N2 − N1 − m2 g = 0
oB xB TB − fB = m2a21 (4)
oB yB W2 − N B = 0 (5)
且 fB = NBμ
(6)
以 C 和动滑轮为隔离体，受重力 W3 = m3g ,绳的拉力 TA′、TB′, C 的动力学方程为 W3 + TA′ + TB′ = m3a3
在坐标系 o A −xA y A 中
解：当 m1 沿斜面下滑的同时，斜面将沿水平面向右运动.下面用两种方法解此题.
解法一：以固定水平面为参考系,以 m2 为隔离体，m2 受 重力 W2 = m2 g ; m1 对 m2 的压力 N1′ ; 平面对 m2 的支持力 N 2
m2 动力学方程为 W2 + N1′ + N 2 = m2a2 在固定平面上建立坐标系 o − xy ，如 3.5.5（1）图所示，
∑ ∑ 若 Fix = 0, 则 pix = 恒量
∑ ∑ 若 Fiy = 0, 则 piy = 恒量
∑ ∑ 若 Fiz = 0, 则 piz = 恒量
即在某一时间间隔内，若质点所受外力的矢量和在某一坐标轴上的投影为零，则质点系的 动量在该坐标轴上的投影量在该时间内守恒.
二、习题选解（Key to the exercises）
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动量定理及动量守恒定律
y
y
N2
N1
m1 o
α m2 图3.5.5
α m2
W2
N1′
图3.5.（5 1）
ox : − N1′ sinα = −m2 a2
oy : N 2 − N ′ cosα − m2 g = 0
x a2
xo
（1） （2）
a α
W1
图3.5.（5 2）
再以 m1 为研究对象，固定平面为基本参照系，斜面为运动参照系.
合力 F 的大小： F = Fx2 + Fy2 = 242 + 122 = 26.8 (N)
合力 F 与 ox 轴的夹角为 θ
θ = tg −1 Fy = tg −1 12 = 26 34′
Fx
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3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为 m1、m2 ，如图所示. m2 与桌面间的静摩擦系
数为 μ 2 , m1 和 m2 间的静摩擦系数为 μ1 ，问沿水平方向用
根据速度及加速度的定义，可求得：
v = dr = d (6t 2 −1)i + d (3t 2 + 3t −1) j = 12ti + (6t + 3) j
dt dt
dt
a = dv = 12i + 6 j dt
则质点所受合力为 F = ma = 24i + 12 j = 常量 . 即质点受恒力而运动.
∫ (∑ ) t
t0
Fi
dt = p − p 0
在一段时间内质点系动量的增量等于质点系外力矢量和在这段时间内的冲量.
也适用于单一质点，即：
∫ (∑ ) t
t0
Fi
dt = p − p 0
在一段时间内质点动量的增量等于质点所受合力在这段时间内的冲量.
8．质点系质心运动定理（Kinematical equation for the center mass of a system of particles）
（1）直线加速参考系中的惯性力： f ∗ = −ma
其动力学方程为： （2）离心惯性力： （3）科里奥利力：
∑ Fi + f ∗ = ma相
f
∗ c
=
mω 2r
（指向径向 r. ）
f
∗ k
=
2mv相
×ω
（如落体偏东现象）.
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动量定理及动量守恒定律
7．质点系动量定理（Theorem of momentum of a system of particles）
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动量定理及动量守恒定律
W1 + N1 + f ∗ = m1a 在斜面上建立坐标系 o′ − x′y′ ，如图 3.5.5（4）所示，
o′x′ m1 g sinα + m1a2 cosα = m1a
(3)
o′y′ N1 + m1a2 sinα − m1g cosα = 0
(4)
由（1）、（3）、（4）解得 m1 相对斜面上的加速度为
在固定平面上建立坐标系 o − xy ，如图 3.5.5（3）所示
ox N1′ sinα = m2 a2
(1)
oy N 2 − N1′ cosα − m2 g = 0
(2)
再以加速运动的 m2 为参照系，来研究 m1 的运动. m1 受重力W1 = m1g ， m2 对 m1 的支承力 N1 （大小与 N1′ 相等），惯性力 f ∗ = −m1a1 . m1 在非惯性系中的动力学方程为
3.5.1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 r = (6t 2 −1)i + (3t 2 + 3t −1) j（ t 为时间，单位
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动量定理及动量守恒定律
为秒；长度单位为米），求证质点受恒力而运动，并求力的大小、方向.
解：已知 r = (6t 2 −1)i + (3t 2 + 3t −1) j
(3)
以 B 为隔离体，B 受重力 W2 = m2 g ,支承力 NB ,滑动摩擦力 fB ,绳的拉力 TB . 在如上的坐标系中，加速度 a1、a2、a3 都是正值，A、B、C 的位移 Δ A、Δ B、ΔC 亦
都是正值，B 的动力学方程为
W2 + NB + fB + TB == m2a2 在桌面上建立坐标系 oB − xB yB ,如图 3.5.7（1）所示.
对于描述力学规律而言，一切惯性系都是等价的.
a = a′
5．质点的平衡（Equilibrium of particle） 质点保持静止或作匀速直线运动的状态称为平衡态.质点平衡条件为：
∑ Fi = 0
投影到直角坐标系中，有： 6．惯性力（Inertia force）
∑ Fix = 0, ∑ Fiy = 0, ∑ Fiz = 0.
不计轴承摩擦，绳不可伸长. 解：假设题目所给的条件能使 A 向右运动，B 向左运动.
m1 A
B m2
NA
A fA
TA
oA w1 xA TA′ yA
NA
B
TB
fB
TB′ xB w2 oB
yB
m3 C 图3.5.7
C
w3 图3.5.7(1)
以桌面为参照系.以 A 为隔离体，A 受重力 W1 = m1g ,桌面的支承力 N A ,滑动摩擦力
又
f2max = N2μ2
解以上方程得： F = (m1 + m2 )(μ1 + μ2 )g
所以当 F ≥ (m1 + m2 )(μ1 + μ2 )g 时，可将 m2 从 m1 和桌面间抽出.
3.5.5 质量为 m2 的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α ，质量为 m1 的运动员与斜
面之间亦无摩擦，求滑块相对于斜面的加速度及其对斜面的压力.
标系中
a1x = a cosα − a2 a1y = a sin α
m1 受重力 W1 = m1g ，斜面的支承力 N1 （大小与 N1′ 相等）. m1 的动力学方程为
W1 + N1 = m1a1
在新建立的坐标系中
ox N1 sinα = m1a1x = m1 (a cosα − a2 )
(3)
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F12 = −F21
作用力和反作用力大小相等，方向相反，在同一直线上. 3．牛顿第二定律（Newton’s second law）
在经典力学中，质点的质量不因运动而变化，有：
∑ Fi = ma
质点的惯性质量与加速度的乘法等于该质点所受合力，此为动量展现的一和特殊形式， 在相对论中不再成立. 4．相对论原理（Principle of relativity）
f 2max o
m2 N2 f1max′ N1′
F x
以 m1 为隔离体，受重力 W =m1g ,支持力 N1 ,
W2 图3.4.5(1)
最大静摩擦力 f1max , m1 的动力学方程为 N + W1 + f1max = m1a1 建立坐标系如 3.4.5（1）
所示.
ox f1max = m1a1
Fiy = macy ,
Fiz = macz.
9．质点系的动量守恒定律（Conservation law of momentum of a system of particles）
∑ 在一定时间间隔内若质点系满足 Fi = 0, 则有：
∑ pi = 恒量
即在某一时间间隔内，若质点系所受外力矢量和始终保持为零，则在该时间内质点系 动量守恒. 投影在直角坐标系中有：
动量定理及动量守恒定律
oy N1 cosα − m1g = m1a1y = −m1a sinα
(4)
解（1）、（3）、（4）得 m1 相对斜面的加速度
a = (m1 + m2 ) sinα g m2 + m1 sin 2 α
m1 对斜面的压力
N1′
=
m1m2 cosα m2 + m1 sin 2 α
m1 的 相 对速 度以 v 表 示， m1 的 相 对 速度 以 v1 表 示 ， 牵连 速 度以 v2 表 示 ， 则
v1 = v + v2
将上式对时间求导，得
a1 = a + a2
上式中 a1 是 m1 对固定平面的绝对加速度；a 是 m1 对斜面的相对加速度，方向沿斜面；
a2 是 m2 对固定平面的加速度，即牵连加速度，方向沿水平面向右，在新建立的 o − xy 坐
a = (m1 + m2 ) sinα g m2 + m1 sin 2 α
m1 对斜面的压力为
N1′
=
m1m2 cosα m2 + m1 sin 2 α
g
3.5.7 在图示的装置中，物体 A、B、C 的质量各为 m1 、 m2 、 m3 ，且彼此不等，若物体
A、B 与桌面的摩擦系数为 μ ，求三个物体的加速度及绳内的张力.不计绳和滑轮的质量，
∑∑ （1）质心坐标： rc =
mi ri mi
投影在直角坐标系中，即
∑∑ ∑∑ ∑∑ xc =
mi xi , mi
yc =
mi yi , mi
zc =
mi zi . mi
（2）质心运动定理：
∑ ∑ Fi
=
mac
=
m
d 2rc dt
. （式中 m
=
mi ）
∑ ∑ ∑ 投影在直角坐标系中，有：
Fix = macx ,
μ1 m1
多大的力才能把下面的木块抽出来.
μ2 m2
F
解：以桌面为参照系.讨论 m1、m2 的受力运动情况.
图3.4.5
欲将 m2 从 m1 和桌面间抽出来需满足两个条件：
m1 N1
f1max
（1）克服 m1 、桌面作用在 m2 上的最大静摩擦力；
y
W1
（2） m2 的加速度需大于 m1 可能具有的最大加速度. 分别以 m1、m2 为隔离体讨论、计算.