《蓝色A典》9上数学参考答案

∵∠B=30°，∴∠A=60°．
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
E
F
∴∠B=∠C，从而 AB=AC．
B
（2）过点 O 分别作 OE⊥AB，
O
C
A
OF⊥AC，E，F 分别是垂足，
又∵DE 为的垂直平分线，∴ DC=DB，∴∠DCB=∠B=30°． ∴∠ACD=60°，∴∠ACD=∠A=∠ADC=60°． ∴△ACD 是等边三角形．
∴∠2+∠B=∠F+∠C=90°. ∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2，∴AF=AD．
7．（1）证：过点 O 分别作 OE⊥AB，
A
OF⊥AC，E，F 分别是垂足，
第三课时 等边三角形
由题意知，OE=OF，OB=OC，
1．B；2．C；3．B；4．3；5． 3 ；6．75；7．12；8．12m； 9．4.5；10．4； 11．证明：∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°，
∴△ABE≌△DCE.∴AE=DE，即△AED 是等腰三角形．
∴ △ACD≌△BCE（SAS）． ∴ ∠DAC＝∠EBC．
9．证明：在△ABC 中，AB=AC，∴∠B=∠C.
∵ ∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°.
∴ ∠BFD=90°． ∴ AF⊥BE．
又∵AB=AC，∴AB=AD=AC=AE，∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
⎧ AC = BC 11．OE⊥AB． 证明：在△BAC 和△ABD 中， ⎪⎨∠BAC = ∠ABD
⎪⎩ AB = BA ∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB． 又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
第二课时 等腰三角形的判定
（4）连接 AB，AC，则△ABC 即为所作三角形．
7．解：过 A 作关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B，与 l 交于点 P，则
点 P 即为所求． 8．证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，∴PA=PB．
同理 PB=PC，∴PA=PB=PC．
9．作法：（1）连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 MN，．
界）的对称点 M″．
（2）连接 M′M″，分别交 a、b 于 P、Q．
（3）连接 PM、QM.则△PMQ 的周长最短．
即 M—Q—P—M 是该户人家行走的最短路线.
第三节 线段的垂直平分线
第一课时 角平分线的性质及作法
1．PC=PD（答案不惟一）；2．10；3．D；4．D；5．平分线；6．60； 7．作法：（1）作∠AOB 的平分线 OE．
6．提示：证明 DE=DF，AE=AF，根据线段垂直平分线的性质定理的
逆定理，得点 A，D 都在 EF 的垂直平分线上．
7．（1）直线 l 即为所求．作图正确．
（2）证明：在 Rt△ABC 中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，
又∵l 为线段 AB 的垂直平分线，∴EA=EB，
A
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°， ∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°． 又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC． 在 Rt△ECF 中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°F.
1．3，△ABC，△BCD，△ADB；2．18cm；3．△MBD 或△MDE 或 △EAD；4．4；5．C ；6．在一个三角形中，所有内角都大于 60°；7．=，=，≠，≠；
8．已知：①③（或①④，或②③，或②④）
⎧∠B = ∠C 证明：在△ABE 和△DCE 中，∵ ⎪⎨∠AEB = ∠DEC ，
第二课时 直角三角形全等的判定
1．AB//ED；2．10；3．D；4．A； 5．解：（1） 在 Rt△ACE 和 Rt△BDE 中，
∵∠AEC 与∠BED 是对顶角，∴∠AEC=∠BED． ∵∠C=∠D=90°， AC=BD ． ∴Rt△ACE≌Rt△BDE， ∴AE=BE． （2） ∵∠AEC=45°， ∠C=90°，∴∠CAE=45°． ∴CE=AC=1． 6．证明：在△ACD 和△BCE 中， ∵AC＝BC， ∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP 是∠BAC 的角平分线，
故点 P 在∠BAC 的角平分线上．
9．连接 BE，CE． ∵DE⊥BC，且 D 为 BC 的中点，ED 为 BC 的垂直平分线， ∴EB＝EC． 又 AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG． ∴Rt△BEF≌Rt△CEG．∴BF＝CG．
∴S△ABC = 1 AC ⋅ BD = 1 × 8× 4 = 16 (cm2)．
2
2
第二节 直角三角形
第一课时 勾股定理及其逆定理
1．12；2．4.8；3．2π；4．A；5．90°；6．直角三角形；7．C；8．B；
9．如果 a2=b2，那么 a=b，假；10．真；
△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD、（写出其中的三对即可）． （2）以△ADB≌△ADC 为例证明． 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.
⎪⎩ AB = DE
（2）由 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，可设 PA = 3a ，PB = 4a ，PC = 5a ． 连结 PQ ，在 △PBQ 中，由于 PB = BQ = 4a ，且 ∠PBQ = 60 ， ∴△PBQ 为正三角形，∴ PQ = 4a ． 于是在 △PQC 中，∵ PQ2 + QC 2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 = PC 2 ， ∴△PQC 是直角三角形．
l D
E
C
B
∴EF=2EC，∴EF=2ED．
8．解：（1）作图见答案图，
（2）∵△ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，
∴BD 平分∠ABC（三线合一），∴∠ABC=2∠DBE，
∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，
A
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E，
D
又∵∠ACB=∠ACB
A A
B
C
E
F
O（成立）
E B
C F
O（不成立）
第三节 线段的垂直平分线
第一课时 线段的垂直平分线的性质及作法
1．5；2．80°；3．7；4．6；
5．证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．
又∵BD 平分∠ABC，∴∠DBA＝ 1 ∠ABC＝30°＝∠A， 2
∴BD＝AD（等角对等边），∴D 在 AB 的垂直平分线上．
由题意知，OE=OF． 在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中， ∵OE＝OF，OB=OC，
E
F
O
B
C
1
∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠OBE=∠OCF． 又由 OB=OC 知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD． ∴AB=AC． （3）解：不一定成立．（注：当∠A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB=AC；否则，AB≠AC．如示例图）
∴ x = 2 6 . ∴ AC = 2AB = 4 6 ．
3
3
12．（1）猜想： AP = CQ ．
证明：在 △ABP 与 △CBQ 中，
∵ AB = CB ， BP = BQ ， ∠ABC = ∠PBQ = 60
∴∠ABP = ∠ABC − ∠PBC = ∠PBQ − ∠PBC = ∠CBQ
∴△ABP ≌△CBQ ∴ AP = CQ ．
11．解：如图，在 Rt△BCD 中，∵BD=CD=2，∴ BC = 22 + 22 = 2 2 . 在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=30°，设 AB=x，则 AC=2x， ∵ AB2 + BC 2 = AC 2 ，∴ x2 + (2 2)2 = (2x)2
在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，∵AB=AC，AD=AD， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC． 10．（1）解：∵△ABD 为等腰直角三角形，∴∠DBA=45°， 又∵AB =AC，∠BAC=40°，∴ ∠ABC=70°，∴∠DBC=115°． （2）证明：∵△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形， ∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．
第一课时 直接开平方法
1．C；2．D；3．A；4．D；5．C；6．（1）9，（2） 2 ， 1 ， 22
（3） 3 +1 ，（-4）；7．B；8．C；9．C；10．C；11．D；12．A；
13．解：（1）移项，得 x2 − 2x = 8 ，配方，得 x2 − 2x +1 = 8 + 1 ，
即 (x −1)2 = 9 ，所以 x −1 = ±3 ，所以 x1 = 4 ， x2 = −2 ．
2
第二课时 三角形三条角平分线的性质
1．相交于一点，三条边；2．2︰1；3．D；4．D；5．C；6．C； 7．A、M、N 三点在同一直线上．
证明：过点 N 分别作 NF⊥BE 于 F，NG⊥CD 于 G，NK⊥ED 于 K． ∵EN 平分∠BED，NE⊥BE，NK⊥ED．∴NF=NK． 同理：NK=KG． ∴NF=NG．即 AN 平分∠A．∴N 在∠A 的平分线上． 同理可证 AM 平分∠A．M 在∠A 的平分线上. ∴A、M、N 三点在同一直线上． 8．证明：（1）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC.∴OB=OC. 又∵OE 垂直平分线段 AB，∴OA= OC． ∴OA=OB=OC. （2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD 平分∠BAC.
考点分类课时练参考答案
第一章 证明（二）
蓝色 A 典·九年级数学·上册 12．解：过 B 作 BD⊥AC，垂足为 D．
在 Rt△ABD 中，∵∠A=30°，∴BD= 1 AB． 2
∵AB=AC=8，∴BD=4．
第一节 你能证明它们吗
第一课时 等腰三角形及其判定
1．35°；2．5；3．ASA；4．AB=DC 或 AF=DE 或 BF=CE 或 BE=CF； 5．72°；6．4；7．C；8．D； 9．解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、
（2）移项，得 x2 + 6x = 5 ，配方，得 x2 + 6x + 9 = 5 + 9 ，
即 (x + 3)2 = 14 ，所以 x + 3 = ± 14 ，
∴ x1 = −3 + 14 ， x2 = −3 − 14 ． 14．证明：∵ a2 − 8a + 20 = a2 − 8a + 16 + 4 = (a − 4)2 + 4 > 0 ，
（2）连接 CD，作 CD 的垂直平分线 MN，与 OE 交于点 P，
则点 P 即为所求．
8．证明：（1）如图，连结 AP. ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP=∠AFP=90°.
又 AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴PE=PF．
A
C
F P
E
B
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
（2）连接 BC，作线段 BC 的垂直平分线 M″N″，M′N′与 MN
相交于点 P，点 P 即为所求．
10．分析：将图形转化为几何模型. M′
a
如图所示，从田地的某一点到
河边的某一点构成三角形，要 P
使行走路线最使这个三角形的
M
周长最短．
b
解：（l）作点 M 关于直线 a
Q M″
（小河所在的直线）的对称标点 M′，点 M 关于直线 b（田地边
∴点 I 到 AB，AC 的距离相等． 又∵IB 平分∠ABC，∴点 I 到 AB，BC 的距离相等． ∴点 I 到 BC，CA，AB 的距离相等．
第二章 一元二次方程
第一节 花边有多宽
1．a≠3；2．A；3．x2+7x-2=0，1，7，-2；4．一般形式为 x2-7x+1=0，
二次项系数为 1，一次项系数为-1，常数项为 1；
5．表格中数字依次为 0，-5，-8，-9，-8，-5，0；6．0.8＜x＜−1) = 36 ；9．A；10．C； 2
11．解：因为
⎧⎪m2 +1 = 2
⎨ ⎪⎩m
+
1
≠
0
解得
⎧m ⎨⎩m
= ≠
±1 −1
故
m=1．
所以当 m=1，原方程是一元二次方程.
第二节 配方法
在△BEG 中，BE+BG＞EG．即 BE+CF＞EF．
蓝色 A 典·九年级数学·上册
第二课时 线段垂直平分线的应用
1．18cm；2．直角；3．D；4．B；5．C；
6．作法：（1）作线段 BC=a=2cm．
（2）作线段 BC 的垂直平分线 MN，垂足为 D．
（3）在直线 MN 上取点 A 使 AD=b=3cm．
∴2∠DBC=2∠E，
B
MC
E
∴∠DBC=∠E，∴BD=DE，
又∵DM⊥BE，∴BM=EM．
9．（1）证明：∵BG//AC， ∴∠DBG=∠DCF．
又∵DB=DC，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD．∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
由△BGD≌△CFD，可得 GD=FD，BG=CF．
∵DE⊥GF，∴EG=EF．