MBA考试辅导数学

第二节
1、定义
绝对值
a,当a > 0时 实数 a 的绝对值记作 a 。 a = 0, 当a = 0时 − a,当a < 0时
2、几何意义 一个实数在数轴上所对应的点，到原点的距离就是这个数的绝对值。
a 647 48
a
3、性质 （1）非负性 （2）等价性
0
x
a ≥0 a2 = a
（3）对称性 a = −a 4、常用的运算法则
)
(
)
n −1
+ a n − 2b + ... + b n −1 )
1 1 1 = − x( x + 1) x x + 1
（2）
1 1 1 1 = ( − ) ( x + a )( x + b) b − a x + a x + b
四、指数运算 （1） a
−n
=
n
1 (a ≠ 0) an
m+n
m
（2） a = 1( a ≠ 1) （5） a ÷ a = a （8） ( ab) = a b
即 2x − 1 ≤ 0, x ≤
1 2
显然条件（1）单独是充分的，条件（2）单独不充分，因为 x = 1 满足条件（2）但是不 能够使得结论成立。 故本题应选（A） 例 1.9 方程 f (x) = 1 有且仅有一个实根
（1） f (x) = x − 1 （2） f (x) = x − 1 + 1 解：由条件（1）得 x − 1 = 1 ⇒ x − 1 = ±1 ⇒ x1 = 2, x 2 = 0 ，所以条件（1）单独不充分 由条件（2）得 x − 1 + 1 = 1 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x=1 ，所以条件（2）单独充分 故本题应选（B） 例 1.10 等式 x − 2 + 4 − x = 2 成立 （ 1） x ≥ 2 解：用 a + b ≤ a + b （2） x ≤ 4
b b
= ±1, 故原式不一定成立，所以条
件（1）单独不充分。同样可得出条件（2）单独也不充分。 但当条件（1）和（2）联合起来时，即 a < 0 且 b > 0 时，原式成立，故此题应选 C。 例 1.8 等式
2x − 1 1 − 2x 成立 = 3 3 1 2
（2） x > −1
（ 1） x ≤
初等数学常用公式
乘法公式与二项式定理 （1） ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;( a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 （2） ( a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 ;( a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 （ 3） ( a + b ) = C n a + C n a
2
二、因式分解 （1） a − b = (a + b)( a − b)
3 3 2 2 3 3 2 2 （2） a + b = ( a + b ) a − ab + b ; a − b = ( a − b ) a + ab + b ； 2 2
（ 3） a n − b n 三、分式裂项 （ 1）
( = (a − b)(a
第一节 条件充分性判断 ............................................ 2 第二节 绝对值 .................................................. 3
第三节 比和比例 ................................................. 6 第四节 平均值 ................................................... 8 课后练习 ........................................................ 9 第二章 方程与不等式................................ 方程与不等式............................................ ............................................ 12
例 1.5 关于 x 的不等式 3 − x + x − 2 < a 的解集是 φ ，则实数 a 的取值范围是（ ）
（A） a < 1
（B） a ≤ 1
（C） a > 1
（D） a ≥ 1
（E） a ≠ 1
解： 3 − x + x − 2 ≥ (3 − x) + ( x − 2) = 1 ，即使 a = 1 时，原不等式仍然无解， 故 a ≤ 1 时解集为 φ ，答案为 B 例 1.6 已知 x − a ≤ 1, y − x ≤ 1, 则有（ （A） y − a ≤ 2 （D） y+a ≤ 1 解： （B） y − a ≤ 1 （E）以上结论均不对 ） （C） y+a ≤ 2
分析：本题可以先找出题干结论成立的充要条件，再判断给出的条件（1）和（2）是否是充 要条件的子集或元素（即是否是充要条件的充分条件） ，如果两个条件单独都不是的话，还 要看两个条件联合是否是充分的。 由实数绝对值的定义知道 a = −a ⇔ a ≤ 0
解：
2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1 = =− ⇔ ≤0 3 3 3 3
n
m n m−n
0
（3） a n =
n
a m (a ≥ 0)
（4） a a = a （7） ( ) =
m
（6） (a m ) n = a mn （9） a = a
2
b a
n
bn (a ≠ 0) an
n n
五、对数运算 （1） a
N log a
=N
（2） log a = n log a （5） log a = 0
第一节 基本概念 ................................................ 27 第二节 等差数列 ................................................ 28 第三节 等比数列 ................................................ 30 课后练习 ....................................................... 32
y − a = (y − x) + (x − a) ≤ y − x + x − a y − x ≤ 1, x − a ≤ 1 y − a ≤ 1+1 = 2
故应选（A） 例 1.7
a a
−
b b
= −2 成立
（2） b > 0
（ 1） a < 0
解：由条件（1） a < 0 ，可得
a a
= −1, 但当 b ≠ 0 时，
M
N
bn
b
（3） log a = （6） log a
MN
nb
1 log b a n
M N = log a + log a
（4） log a = 1
M
a
1
（7） log aN = log a − log a 六、排列组合
（89） lg a = log10 , ln a = log e
（ 1） a ⋅ b = a ⋅ b ;
a a = (b ≠ 0); b b
（2） a ≤ b(b > 0) ⇔ −b ≤ a ≤ b;
a ≥ b(b > 0) ⇔ a ≤ −b或a ≥ b;
（ 3） a ± b ≤ a + b 当且仅当 ab ≥ 0 时， a + b = a + b 成立， 当且仅当 ab ≤ 0 时， a − b = a + b 成立。 （4） a − b ≥ a − b ，当且仅当 ab ≥ 0, a > b 时，等式成立。 （ 5） ( a ) = a 5、非负数 （ 1） a ≥ 0 （ 2） a ≥ 0 （3） a 有意义，且 a ≥ 0 非负数有下面两个易见的性质，在解题时常常要用到： （1）有限个非负数之和仍然是非负数； （2）如果有限个非负数之和等于零，则每一个非负数都必须等于零，即若
x − 2 + 4 − x ≥ ( x − 2) + (4 − x) = 2 ( x − 2) ⋅ (4 − x) ≥ 0时" = "成立
解得
2
2
2
a + b + c + L + d = 0, 其中 a ≥ 0, b ≥ 0, L , d ≥ 0, 则 a = b = c = L = d = 0
例 1.3 已知 x − y + 1 + (2 x − y ) = 0, 求 log y 的值。 解：由
2
x
x − y + 1 = 0 x = 1 ⇒ 2x − y = 0 y = 2
x
1
所以 log y = log 2 = 0 例 1.4
已知 （a − 20) 2 + b + 30 + (c − 40) 2 = 0 求：a + b + c的值 解: Q已知式中各项均为非负数, 且它们的和为0 ∴ (a − 20) 2 = b + 30 = (c − 40) 2 = 0 a = 20 b = 30 c = 40 ∴ a + b + c = 20 − 30 + 40 = 30
目
录
初等数学常用公式 ................................................. ................................................. 1 第一章 绝对值 比和比例 平均值 ................................... ................................... 2
2
n
n
第一章
绝对值
平均值
比和比例
二项式定理
第一节 条件充分性判断
定义：对于两个命题 A 和 B，若有 A ⇒ B，则称 A 为 B 的充分条件。 充分性判断题的解题说明：
这类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。 阅读每题给出条件 （ 1） 和条件（2）后选择： （A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分 （B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分 （C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 （D） 条件（1）充分，条件（2）也充分 （E） 条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
2 2 2
n 0 n 1 n −1 k n−k k n −1 b + Cn2 a n − 2b 2 + L + Cn a b + Cn ab n −1 + Cnn b n
（4） (a + b + c )( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) = a 3 + b 3 + c 3 − 3abc ； （5） ( a + b − c ) = a + b + c + 2ab − 2ac − 2bc
a
a
（1） Pnm = n( n − 1) L[ n − ( m − 1) ] =
n! （约定 0! = 1 ） (n − m)!
m n−m
Pnm n! （ 2） C = = m ! m !(n − m)! m m −1 m （4） Cn + Cn = Cn +1
m n
（3） Cn = Cn
0 1
（5） Cn + Cn + Cn + L + Cn = 2
例1. 1: 不等式x 2 − 2 x − 15 < 0成立 (1)0 < x < 3 (2) x = 4 ( x − 5)( x + 3) < 0 ⇒ − 3 < x < 5, 所以条件(1)充分, (2)充分.
例 1.2
1 > 1 成立 a （1） a < 1 （2） a > 1
显然：条件（1）不充分，条件（2）也不充分 注意： 注意：很多同学在解这类题型的时候，习惯于受传统解题思维的影响，往往从题干的结论出 发，这样得出来的条件往往是必要条件，而不是充分的，如果刚巧得出来的必要条件就是充 要条件的话，那么可能会得出正确答案，如果不是充要条件的话，答案就可能不正确了。
课后练习 ....................................................... 23 第三章 数列 ................................................... ................................................... 27