导数知识点各种题型归纳方法总结

导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点和题型总结
一、导数的定义：
1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。

2.求导数的步骤：
①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；
②求平均变化率：Δy/Δx；
③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.
二、导数的运算：
1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
① C'=0（C为常数）；
② (xn)'=nxn-1；
③ (1/x)'=-1/x^2；
④ (ex)'=ex；
⑤ (sinx)'=cosx；
⑥ (cosx)'=-sinx；
⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；
⑧ (lnx)'=1/x；
⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。

2.导数的运算法则：
法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；
法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；
法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。

3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：
①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；
②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；
③回代u=g(x)。

题型：
1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/
2.
答案：C。

2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.
答案：A。

3.设f(x)在x可导，且f(x+Δx)-f(x-3Δx)可导，则
lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.
答案：3f'(x)。

D.4f'(x)
题型二：导数运算
1.已知$f(x)=x^2+2x-\sin(\pi)$，则$f'(x)=2x+2-\pi\cos(\pi)$。

2.若$f(x)=e^x\sin(x)$，则$f'(x)=e^x(\sin(x)+\cos(x))$。

3.设$f(x)=ax^3+3x^2+2$，且$f'(-1)=4$，则$a=19/3$。

三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻$t$时的瞬时速度$V$就是物体
运动规律$S=f(t)$在$t=t$时的导数$f'(t)$，即有$V=f'(t)$。

2.$V=s/(t)$表示即时速度。

$a=v/(t)$表示加速度。

（了解）
四．导数的几何意义：
函数$f(x)$在$x$处导数的几何意义，曲线$y=f(x)$在点
$P(x,f(x))$处切线的斜率是$k=f'(x)$。

于是相应的切线方程是：$y-f(x)=f'(x)(x-x)$。

题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
1）曲线$y=f(x)$在点$P(x,f(x))$处切线：性质：
$k=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x}=f'(x)$。

相应的切线方程是：$y-
f(x)=f'(x)(x-x)$。

2）曲线$y=f(x)$过点$P(x,y)$处切线：先设切点，切点为$Q(a,b)$，则斜率$k=f'(a)$，切点$Q(a,b)$在曲线$y=f(x)$上，
切点$Q(a,b)$在切线$y-f(y)=f'(a)(x-a)$上，切点$Q(a,b)$坐标代
入方程得关于$a,b$的方程组，解方程组来确定切点，最后求
斜率$k=f'(a)$，确定切线方程。

注意：若函数$f(x)$在$(a,c)$上为减函数，在$(c,b)$上为增函数，则$x=c$两侧使函数
$f'(x)$变号，即$x=c$为函数的一个极值点，所以$f'(c)=0$。

例题：若函数$f(x)=\ln(x)$，若$a=f(3),b=f(4),c=f(5)$，则$(a,b,c)$的大小关系为$c<b<a$。

五．函数的单调性：设函数$y=f(x)$在某个区间可导。

1）$f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$该区间为增函数；
2）$f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f(x)$该区间为减函数；
注意：当f'(x)在某个区间个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。

如果在某个区间上，函数f(x)的导数f'(x)在个别点处为零，在其他点处为正（或负），那么函数f(x)在这个区间上仍然是
递增（或递减）的。

当f(x)在该区间单调递增时，可以得出结论：f'(x)大于等
于零在该区间恒成立；当f(x)在该区间单调递减时，可以得出
结论：f'(x)小于等于零在该区间恒成立。

利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性的
步骤如下：（1）求导数y' = f'(x)；(2)判断导函数y' = f'(x)在
区间上的符号；(3)根据符号下结论，如果f'(x)大于零，则函
数f(x)在该区间上单调递增；如果f'(x)小于零，则函数f(x)在
该区间上单调递减。

利用导数求函数y = f(x)的单调区间的步骤如下：（1）分
析函数y = f(x)的定义域；（2）求导数y' = f'(x)；（3）解不等式f'(x)大于零，解集在定义域的部分为增区间；（4）解不等
式f'(x)小于零，解集在定义域的部分为减区间。

利用单调性求参数的取值的思路可以有两种：一种是根据函数在某区间上单调递增或递减的结论，推导出参数的取值范围，使得结论恒成立；另一种是先求出函数在定义域上的单调增或减区间，再根据已知条件中限定的单调增或减区间，推导出参数的取值范围。

函数的极值与其导数的关系如下：①极值的定义：如果函数f(x)在点x附近有定义，且对于x附近的所有点都有f(x)小
于f(x)（或f(x)大于f(x)），则称f(x)为函数的一个极大（或极小）值，x为极大（或极小）值点；②可导函数f(x)在极值点，但函数f(x)在某点x处的导数为零，并不一定在该处取得极值；
③求极值的步骤：第一步是求导数f'(x)；第二步是求方程f'(x)
等于零的所有实根；第三步是在每个根x附近，从左到右，考察导数f'(x)的符号如何变化，如果f'(x)的符号由正变负，则
f(x)是极大值；如果f'(x)的符号由负变正，则f(x)是极小值；
如果f'(x)的符号不变，则f(x)不是极值，x不是极值点。

④函
数的最值：如果函数在定义域D上存在x使得对于任意的x
属于D，都有f(x)小于等于f(x)（或f(x)大于等于f(x)），则称
f(x)为函数的最大（小）值，记作ymax = f(x)（或ymin =
f(x)）。

请同学们高度重视导数各种题型方法的总结。

对于二次函数的不等式恒成立问题，可以采用分离变量、变更主元、根分布和判别式法等解法。

对于二次函数区间最值求法，需要重视对称轴与定义域的关系、以及端点处和顶点是最值所在的问题。

在解决函数的单调区间、极值、最值和不等式恒成立问题时，需要充分应用数形结合思想，创建不等关系求出取值围。

在看例题时，需要注意寻找关键的等价变形和回归的基础。

对于函数$f(x)=\frac{x^4-mx^3-3x^2}{3x-3}$，求$b-a$的
最大值，其中$m\leq 2$时，$f(x)$在区间$(a,b)$上都为凸函数。

首先，求$f(x)$的导数$g(x)$，有$g(x)=x^2-mx-3$。

由于
$f(x)$在区间$(a,b)$上都为凸函数，等价于$g(x)$在区间$(a,b)$上恒小于0.因此，我们可以采用二次函数区间最值求法，求出$g(x)$的最大值。

由于$g(x)$是一个二次函数，其最大值
出现在顶点处，即$x=\frac{m}{2}$。

因此，$g(x)$的最大值为$\frac{m^2}{4}-3$。

由于$m\leq 2$，所以$\frac{m^2}{4}-3\leq -\frac{1}{2}$。

因此，$b-a$的最大值为2.
第一种方法是分离变量求最值，但需要特别注意是否需要分类讨论，例如>0，=0，g(x)恒成立的形式，再转化为第一、
二种题型进行求解。

已知函数$f(x)=x^3+ax^2$图象上一点P(1,b)处的切线斜率
为$-3$，$g(x)=x^3+\frac{t-6}{2}x^2-(t+1)x+3(t>0)$
Ⅰ）求$a,b$的值；
Ⅱ）当$x\in[-1,4]$时，求$f(x)$的值域；
Ⅲ）当$x\in[1,4]$时，不等式$f(x)\leq g(x)$恒成立，数
$t$的取值范围。

解：（Ⅰ）$f'(x)=3x^2+2ax$，因为切线斜率为$-3$，所以$f'(1)=-3$，解得$a=-3$，$b=1+a=-2$。

Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f(x)$在$[-1,0]$上单调递增，在$[0,2]$上单调递减，在$[2,4]$上单调递减。

又$f(-1)=-
4,f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$，所以$f(x)$的值域是$[-4,16]$。

Ⅲ）令$h(x)=f(x)-g(x)=-\frac{t}{2}x^2+(t+1)x-3$，因为$f(x)\leq g(x)$恒成立，所以$h(x)\leq 0$，即$\frac{t}{2}x^2-(t+1)x+3\geq 0$。

将$x\in[1,4]$代入，得到$2\leq t\leq 7$。

题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围（逆向考查，正向思考）
解法1：转化为$f'(x)\geq 0$或$f'(x)\leq 0$在给定区间上恒成立，回归基础题型；
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在$(m,n)$上是减函数”与“函数的单调减区间是$(a,b)$”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集。

例题欣赏4：已知$a\in R$，函数
$f(x)=\frac{1}{12}x^3+\frac{a+1}{2}x^2+(4a+1)x$。

Ⅰ）如果函数$g(x)=f'(x)$是偶函数，求$f(x)$的极大值和极小值；
Ⅱ）如果函数$f(x)$是$(-\infty,+\infty)$上的单调函数，求$a$的取值范围。

解：$f'(x)=\frac{1}{4}x^2+(a+1)x+4a+1$。

Ⅰ）因为$g(x)$是偶函数，所以$f'(x)$关于$x=0$对称，即$f'(-x)=f'(x)$，解得$a=-1$。

此时$f(x)=\frac{1}{12}x^3-3x$，$f'(x)=\frac{1}{4}x^2-3$。

$f'(x)=0$的解为$x=\pm\sqrt{12}$，列表如下：
x$ $(-\infty,-\sqrt{12})$ $-\sqrt{12}$ $(-
\sqrt{12},\sqrt{12})$ $\sqrt{12}$ $(\sqrt{12},+\infty)$
f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
f(x)$ $-$ $-$ $?$ $+$ $+$
因为$f'(x)$单调性的变化，$f(x)$存在极大值和极小值。

又因为$f(-\sqrt{12})=6\sqrt{3}$，$f(\sqrt{12})=-6\sqrt{3}$，所
以$f(x)$的极大值为$6\sqrt{3}$，极小值为$-6\sqrt{3}$。

Ⅱ）因为$f(x)$是单调函数，所以$f'(x)\geq 0$或$f'(x)\leq
0$在$(-\infty,+\infty)$上恒成立。

当$f'(x)\geq 0$时，解得$a\geq -\frac{13}{4}$；当$f'(x)\leq 0$时，解得$a\leq -\frac{13}{4}$。

综上所述，$a\in(-\infty,-
\frac{13}{4}]\cup[\frac{13}{4},+\infty)$。

类型一：函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点即方程的根，也即函数的零点。

解题步骤如下：
1.求函数的极大值和极小值。

例如，对于函数f(x)，其极大值为f(-23)=43，极小值为
f(23)=-43.
2.判断函数的单调性。

如果函数f(x)在区间R上是单调函数，则有f'(x)>=0，其中f'(x)表示f(x)的导数。

利用判别式法，可以得到
f'(x)>=1/(4(x^2+(a+1)x+4a+1))。

因此，有a^2-2a<=0，即-
1<=a<=2.因此，a的取值范围为{-1<=a<=2}。

例如，对于函数f(x)=1/(x^3+(2-a)x^2/32+(1-a)x)，其导数为f'(x)=x^2+(2-a)x+1-a=(x+1)(x+1-a)。

因此，当a=0时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(-∞,-1)和(a-1,+∞)上单调递增，在(-1,a-1)上单调递减。

3.解不等式或方程，得到函数的零点或交点。

例如，对于函数f(x)=1/3 x^3-(k+1)/2 x^2和g(x)=1/3 -kx，已知f(x)在区间(2,+∞)上为增函数。

因此，f'(x)=x^2-(k+1)x>0
在区间(2,+∞)上恒成立。

解得k3.如果函数f(x)与g(x)的图像有
三个不同的交点，则这三个交点分别对应f(x)的三个零点。

因此，需要解方程f(x)=g(x)，即1/3 x^3-(k+1)/2 x^2=1/3 -kx。

这
是一个三次方程，可以利用求根公式或数值逼近法求解。

已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx$在点$x$处取得极小值$-4$，使其导数$f'(x)>0$的$x$的取值范围为$(1,3)$，求：
1）$f(x)$的解析式；
2）若过点$P(-1,m)$可作曲线$y=f(x)$的三条切线，$m$的取值范围。

解析：
1）由题意得：$f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-1)(x-3)$，其中
$a<0$。

因此，在$(\infty,1)$上$f'(x)0$；在$(3,\infty)$上$f'(x)<0$。

因此，$f(x)$在$x=1$处取得极小值$-4$。

由此得到：$a+b+c=-4$（①），$f'(1)=3a+2b+c$（②），$f'(3)=27a+6b+c$（③）。

联立（①）、（②）和（③）得：
begin{cases}
a=-1 \\
b=6 \\
c=-9
end{cases}
因此，$f(x)=-x^3+6x^2-9x$。

2）设切点$Q(t,f(t))$，则$y-f(t)=f'(t)(x-t)$。

因此，$y=(-3t^2+12t-9)(x-t)-t^3+6t^2-9t$。

化简得：
y=(-3t^2+12t-9)x+t(2t^2-6t)-(t^3-6t^2+9t)
过$P(-1,m)$的切线斜率为$f'(-1)=-5$，因此：
5=-3t^2+12t-9
解得$t=1$或$t=3$。

当$t=1$时，$m=f(-1)=-4$，切线方程为$y=-5(x+1)-4$。

当$t=3$时，$m=f(3)=-18$，切线方程为$y=-5(x-3)-18$。

因此，$m$的取值范围为$[-18,-4]$。

首先，给定一个函数$g(t)=2t^3-2t^2-12t+9-m$，求其导数$g'(t)=6t^2-6t-12=6(t^2-t-2)$，解得$t=-1$和$t=2$，因此方程$g(t)=0$有三个根。

接着，我们需要满足以下条件：$g(-1)>-2-3+12+9-m$且$g(2)<16-12-24+9-m$，从而得到$-11<m<16$，即$m$的取值范围为$(-11,16)$。

另外，已知一个函数$f(x)$在给定区间上的极值点个数等于其导数为$0$的根的个数。

因此，我们可以通过根的分布或判别式法来求解。

例如，对于函数$f(x)$，其定义域为$R$，当$m=4$时，$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{7}{2}x^2+10x$，导数为$f'(x)=x^2-7x+10$。

令$f'(x)>0$，解得$x5$；令$f'(x)<0$，解得$2<x<5$。

因此，$f(x)$的单调递增区间为$(-
\infty,2)\cup(5,\infty)$，单调递减区间为$(2,5)$。

另外一个例子，已知
$f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2$，其中$a\in R$且$a\neq 0$。

我们需要求出$f(x)$的单调区间和使得
$g(x)=\frac{1}{4}x^4+f(x)$有且仅有$3$个极值点的$a$的取值范围。

对于$f(x)$，当$a>0$时，令$f'(x)>0$，解得
$x\frac{1}{\sqrt{a}}$；令$f'(x)\frac{1}{\sqrt{a}}$。

因此，
$f(x)$的递增区间为$(-\infty,-
\frac{1}{a})\cup(\frac{1}{\sqrt{a}},\infty)$，递减区间为$(-
\frac{1}{\sqrt{a}},-\frac{1}{a})$。

当$a<0$时，同理可得
$f(x)$的递增区间为$(-\frac{1}{\sqrt{a}},\infty)$，递减区间为$(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{a}})\cup(-\frac{1}{a},\infty)$。

对于$g(x)$，我们需要求解方程$g'(x)=x^3+ax^2+x=0$的根的个数。

通过计算判别式$\Delta=a^2-4-\sqrt{2}$时，
$g(x)$有$1$个实根和$2$个共轭复根。

因此，$a$的取值范围为$a<-\sqrt{2}$。

经过简化，第一段话可以改写为：
已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内取得极大值，在区间$(1,2)$ 内取得极小值，且 $f'(x)=2x^2+2ax+b$。

因此有
$f'(0)>0$，$f'(1)0$。

进一步推导可得 $b>a+2$，$b>-2a-2$。

设
点 $M(x,y)$，则 $x=b-2$，$y=a+1$，$2y+x+2-2a$。

点
$M$ 在平面区域 $\triangle ABC$ 内，其中 $A(-2,0)$，$B(-2,-1)$，$C(2,-2)$，$D(0,-1)$，$E(0,-\frac{3}{2})$。

$\triangle
ABC$ 面积为 $2$，$DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
$S_{\triangle DEC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$。

求一条直
线 $L$ 将平面区域 $S$ 分为面积比为 $1:3$ 的两部分。

第二段话可以改写为：
由于$f'(0)>0$，$f'(1)0$，可推导出$b>a+2$，$b>-2a-2$。

设点 $M(x,y)$，则 $x=b-2$，$y=a+1$，$2y+x+2-2a$。

点
$M$ 在平面区域 $\triangle ABC$ 内，其中 $A(-2,0)$，$B(-2,-1)$，$C(2,-2)$，$D(0,-1)$，$E(0,-\frac{3}{2})$。

$\triangle
ABC$ 面积为 $2$，$DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，
$S_{\triangle DEC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$。

求一条直
线 $L$ 将平面区域 $S$ 分为面积比为 $1:3$ 的两部分。

第三段话可以改写为：
设直线 $L$ 方程为 $y=kx$，与 $AC$，$BC$ 分别交于点$F$、$G$。

由于 $k>0$，$F$ 的横坐标为 $-\frac{2}{2k+1}$，$G$ 的横坐标为 $-\frac{4}{4k+1}$。

则 $S_{\text{四边形DEGF}}=\frac{1}{2}S_{\triangle OGE}-\frac{1}{2}S_{\triangle OFD}$。

解得 $k=\frac{1}{2}$，因此直线 $L$ 方程为
$y=\frac{1}{2}x$。

另一种情况由于直线 $BO$ 方程为
$y=\frac{1}{2}x$，设直线 $BO$ 与 $AC$ 交于点 $H$，则
$S_{\text{四边形 ABED}}=S_{\triangle AHB}+S_{\triangle CHD}$。

1.做题技巧
在做数学题时，我们应该注重小题小做，巧妙解决问题。

同时，我们也要注意易人易我，不要因为自己的情绪而影响了解题思路。

面对难题，我们也不要畏难，要有勇气去克服困难。

2.做题策略
考试时，我们不要害怕遇到自己不会的题目，而是应该担心会题却做错了。

因此，我们应该在做题时注重基础题，争取
拿到满分；在中档题上拿足分；在难题上争取多得分；在似曾相识的题目上力争不失分。

3.解题建议
对于那些在数学解题上有困难的考生，我们建议他们从中下难度的题目入手，力争达到高水平。

有时候，放弃也是一种策略，我们可以先放弃一些难题，把时间和精力集中在其他题目上。