八年级数学下册第10章分式分式及其计算(一)学案(无答案)(新版)苏科版

分式及其计算（一）
【学习目标】
1．掌握分式的定义，知道分式有无意义满足的条件，会根据条件求分式的值，并会求解分式的值为整数时的情况．
2．会判断几个分式的最简公分母，并理解分式的基本性质，会运用分式的基本性质对分式进行通分．
3．掌握分式的加减运算的方法，并在此基础上进行分式的化简求值，特别要掌握整体思想求分式的值的方法． 【知识点】 1．分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母． 2．与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠）； ②分式无意义：分母为0（0B =）； ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩
⎨
⎧≠=00
B A ）； ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨
⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00
B A ）；
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨
⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0
B A ）；
⑥分式值为1：分子分母值相等（A ＝B ）；
⑦分式值为﹣1：分子分母值互为相反数（A ＋B ＝0）． 3．分式的基本性质
（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
字母表示：A A C
B B C
⋅
=
⋅
，
A A C
B B C
÷
=
÷
，其中A、B、C是整式，C≠0．
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式
的值不变，即：A A A A
B B B B
--
==-=-
--
．
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0．
4．分式的约分
（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因．
（3）两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的
最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂．
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分．
（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
（5）约分时，分子分母公因式的确定方法：
①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；
②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；
③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式．5．分式的通分
（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分（依据：分式的基本性质！）．
（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（3）通分时，最简公分母的确定方法：
①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式；
③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母．
（4）“两大类三类型”：
通分“两大类”指的是：一是分母是单项式；二是分母是多项式．
“两大类”下的“三类型” ：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型．
①“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积；
②“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个
分母；
③“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分
母既要有独特的因式，也应包括相同的因式．
（5）通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分
解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分．
6．分式的加减法则
①同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减．式子表示为：a b a b
c c c
±
±=．
②异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减．式子表示为：a c
b d ±
ad bc
bd
±=
． ③两种类型：一是分式间的加减；二是整式（整式的分母为1）与分式的加减．注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分． 【例题精讲】
考点一：分式有无意义、分式的值为0 例1．（1）已知分式
2(1)(2)
1
x x x -+-的值为0，那么x 的值是
A ．﹣1
B ．﹣2
C ．1
D ．1或﹣2 （2）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是 A ．
121x + B ．121x - C ．213x x - D ．2
53
21
x x ++ （3）若分式
2
323
a
a a ---的值为0，则a ＝ ． （4）若分式211x x +-的值为正数，则x 的取值范围是 ；若分式3
1
x x -+的值为负
数，则x 的取值范围是 ．
（5）分式的定义告诉我们：“一般的，用A ，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成
A
B
的形式，如果B 中含有字母，那么称A
B
为分式”，我们还知道：“两数相除，同号得正”．请运用这些知识解决问题：
①如果分式
3
1x +的值是整数，求整数x 的值； ②如果分式1
x
x +的值为正数，求x 的取值范围．
（6）探索：
①如果34311x m
x x +=+
++，则m ＝ ； ②如果53522
x m
x x -=+
++，则m ＝ ； ③总结：如果ax b m
a x c x c
+=+
++（其中a 、b 、c 为常数），则m ； 应用：利用上述结论解决：若代数式43
1
x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的
值．
例2．（1）已知2340x x --=，则代数式2
4
x
x x --的值是 A ．3 B ．2 C ．13 D ．1
2
（2）若分式
112x y
-=，则分式4543x xy y
x xy y +---的值等于
A ．3
5
- B ．35 C ．45- D ．45
（3）当2a =+29
45
a a -+的值等于 ．
（4）已知0a b >>，223a b ab +=，则a b
a b
+-的值为 ．
（5）①若01x <<，且16x x +=，求1
x x
-的值；
②已知2a b ab +=，且0ab a b ++≠，求252a ab b
a a
b b
-+++的值．
考点二：分式的基本性质 例1．（1）下列分式中，最简分式是
A ．2211x x -+
B ．21
1
x x +- C ．2222x xy y x xy -+- D ．236212x x -+
（2）如果把分式
2xy
x y
+中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值 A ．扩大为原来的4倍 B ．扩大为原来的2倍 C ．不变 D ．缩小为原来的
12
（3）不改变的分式2323523
x x
x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确
的是
A ．2332523x x x x +++-
B ．2332
523x x x x -++-
C ．2332523x x x x +--+
D ．2332
523
x x x x ---+
（4）不改变分式的值，把其分子和分母中各项系数化为整数：
0.23
0.32
x x -=+ ．
（5）不改变分式的值，把分式
10.53124
m n
m n
-+中的分子、分母中各项的系数都化为整数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为 ．
例2．（1）分式
1
x
，223x y -，3
12x y 的最简公分母是 ． （2）分式
2x y ，2422x xy -，mn x y
-的最简公分母是 ．
例3．求下列各组分式的最简公分母： （1）
277a -，2312a a a -+，2
1
1
a -； （2）2145x x --，232x
x x ++，22310x x x --；
（3）22a ab a ab +-，2
2ab b ab -，222
a a
b -；
（4）
231881x x -+，2281x -，2
1
1881
x x ++．
考点三：分式的加减
例1．（1）化简222
2
a b ab b ab ab a
----等于 A ．
b a B ．a b C ．b a - D ．a b
- （2）设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=，2
2
2
4a b c ++=，则222222
222a b b c c a c a b
++++++++ 的值为
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
（3）对于正数x ，规定()1x f x x =+，例如33
(3)134f ==+，1
113()134
13
f ==+，计算
11111
()()()()()(1)(2)(3)(998)(999)
100099999832
f f f f f f f f f f +++++++++
++(1000)f +的结果是
A ．999
B ．999.5
C ．1000
D ．1000.5
（4）
8
21(1)(2)
m n x x x x x -+=----，则mn 的值是 A ．8 B ．﹣8 C ．﹣42 D ．42 （5）已知
234A B
221
x x x x x +=-
---+，其中A 、B 为常数，则4A ﹣B 的值为 A ．7 B ．9 C ．13 D ．5
例2．（1）化简222211
m m m m m m
-+-+-的结果是 ．
（2）若正数x ，y 满足2
2
3x y xy -=，22
222x y y x
+-= ．
（3）已知
1A B
(1)(2)(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++，A ，B 为常数，则A ＋B 的值
为 ．
例3．化简下列各式：
（1）231
93
x x x ++
--； （2）2()a b a b a b +--+；
（3）
222442242x x x x x x -+-++-+； （4）2
22
a a a ---．
例4．已知a ＋b ＋c ＝0，求111111()()()a b c b c a c a b
+++++的值．
例5．计算：
1111
(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)
x x x x x x x x ++++++++++．
【课后作业】 1．若分式
1
1
x x -+的值为零，则x 的值是 A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．2 2．20a ab -=（0b ≠），则a
a b
=+ A ．0 B ．
12 C ．0或1
2
D ．1或2 3．若分式
2
23x y
x y
-的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值 A ．不变 B ．缩小到原分式值的110
C ．缩小到原分式值的1100
D ．缩小到原分式值的1
1000
4．下列分式中，最简分式是
A ．234x xy
B ．22x y x y ++
C ．224x x --
D ．2121
x
x x +++
5．下列各题中，所求的最简公分母，错误的是
A ．
13x 与26a x 的最简公分母是2
6x B ．1m n +与1
m n -的最简公分母是()()m n m n +-
C ．2313a b 与2313a b c
的最简公分母是23
3a b c
D ．
1()a x y -与1
()
b y x -的最简公分母是()()ab x y y x --
6．设2
22218
339
x n x x x +=
+++--，若n 的值为整数，则x 可以取的值的个数是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 7
．要使式子
2
1
a -在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知2450x x --=，则分式2
65
x
x x --的值是 ． 9．若代数式
41
1
x x ++的值为整数，则满足条件的整数x 有 ． 10．不改变分式的值，把分式
0.10.20.3x y
y
++的分子、分母各项系数都化为整数，得 ．
11．不改变分式的值，将分式1
21243
x y x y ---+的分子、分母的各项系数都化为整数，且分子与分母首项都不含“﹣”号： ． 12．已知x ，y 满足
1110x y x y --=+，则x y
y x
+的值为 ． 13．小明周末去爬山，已知他上山的速度为a ，下山原路返回速度为b ，则他上下山的平均
速度是 ．
14．计算：（1）153
5a a a
--；
（2）2422a a a --++．
15．已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
2a b +元/千克和2ab
a b
+元/千克（a ，b 是正数，且a b ≠），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
16．已知x ，y ，z 都不为零，且满足4360x y z --=，270x y z +-=．求
2335x y z
x y z
--+-
的值．。