黑龙江省大庆实验中学实验一部2023-2024学年高一下学期6月阶段性质量检测试题 数学(含解析)

大庆实验中学实验一部2023级高一下学期
6月份阶段性质量检测
数学学科试题
2024.06.03—2024.06.04
说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内．2．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若复数z
满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（
）
A ．36
B ．
C ．
D 3．已知圆台上下底面圆的半径分别为1,3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4．中，设,若,则的形状是（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．无法确定
5．如右图所示，正三棱锥中，D ,E ,F 分别是的中点，P 为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．随P 点的变化而变化
6．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ,B ,C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为，，，其中,则此山的高度为（
）
1i,i 3
z
z -=-z 1O O 32π26π16π8π
ABC △,,AB c BC a CA b === ()0c b c a ⋅-->
ABC △V ABC -,,VC VA AC VB DE PF 30︒60︒90︒30︒45︒60︒(),03AB a BC b a b ==<<
A
B
C
D
7．如图，四面体中，两两垂直，,点E 是的中点，若直线与平面
，则点B 到平面的距离为（ ）A
B ． C
D ．8．在中，已知分别为角的对边．若,且，则（ ）
A ． B
C
D
或二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20
分）
9．设m ,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）
A ．若,则
B ．若,则
C ．若m ,n 是两条不同的异面直线，，则
D ．若,则m 与所成的角和n 与所成的角互余10．下列说法正确的是（
）
ABCD ,,AB BC BD 2BC BD ==CD AB ACD ACD 2343
ABC ,,a b c ,,A B C 3cos a b
C b a
+=cos()A B -=cos C =,αβ,,m m n n αβ⊥⊥∥αβ⊥,,m m n αβα⊂∥∥n β
∥,,,m n m n αβαβ⊂⊂∥∥αβ∥,m n αβ⊥∥αβ
A ．在四边形中，,则四边形是平行四边形
B ．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底
C ．已知O 为的外心，边长为定值，则为定值；
D ．已知均为单位向量．若,则在
上的投影向量为11．如图，在棱长为2的正方体中，Q 为线段的中点，P 为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（
）
A ．三棱锥的体积为定值
B ．P 为线段的中点时，过D ,P ,Q 三点的平面截正方体
C ．
D ．直线与直线
所成角的取值范围为12．如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点A 折至处（平面）,若M 为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为,则在折起过程中，下列说法正确的是（
）
A ．存在某个位置，使得
B ．面积的最大值为ABCD AB D
C =
ABCD {}12,e e
{}
122
1,e e e e -- ABC △AB AC 、AO BC ⋅
,a b ||1a b -=
a b 12
b
1111ABCD A B C D -11B C 1CC 1D D PQ -1CC 1111ABCD A B C D -DP PQ +DP 1A B ,42ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
ABCD 4,2,AB BC E ==AB DE ADE △1A 1A ∉ABCD 1AC 1A DE DEBC α1A E DEBC βADE △1BM A D ⊥1A EC △
C ．
D ．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知p :向量与的夹角为锐角．则实数m 的取值范围为___________．
14．已知平面平面是外一点，过P 点的两条直线分别交于A 、B ,交于C 、D ,且,则的长为___________．
15．在中，角所对的边分别为，且
．当取最小值时，___________．
16．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长
且，若平面上存在点P ,使得
，则线段长度的最小值为___________．四．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．己知平面向量其中．
（1）若,且,求向量的坐标；
（2）若向量,若与垂直，求．
18．在的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且（1）求A 的值；
（2）若,求的取值范围．
19．如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，
平面．
sin βα
=1A EDC -1A EDC -16π
(1,1)a =-
(,2)b m = α∥,P βαβ、AC BD 、αβ6,9,8PA AC AB ===CD ABC ,,A B C ,,a b c 2cos a B c a =-4c a
b
+A =ABC αAC αBC 6
BAC π∠=αABP CP (2,3),(1,)a b k ==-
32
k ≠-||c =
c a ∥c (5,1)c =
2a b + 2b c - |4|a b + ABC △cos cos()cos sin a A a B C A C +-=2a =2b c -P ABCD -ABCD 22,AB AD BD ===2,PB PD =⊥
ABCD
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）在中，点E 在上且且,求三棱锥的体积．
20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面,点E 在棱上．
（1）求证：平面;
（2）若,点E 为的中点，求二面角的余弦值．
21．如图，四棱柱的棱长均为2，点E 是棱的中点，．
（1）证明：平面;（2）若
求直线与底面所成角的正切值．
22．如图，设中角A ,B ,C 所对的边分别为为边上的中线，已知且
．（1）求的面积；
（2）设点E ,F 分别为边上的动点，线段交于G ,且的面积为面积的一半，
求
的最小值．
PBC ⊥PBD PBD △PB 3BE PE =DE PB ⊥P CDE -P ABCD -ABCD 120BAD ∠=︒2,,AB AC BD O PO ==⊥ ABCD PD AC ⊥PBD 2OP =PD P AC E --1111ABCD A B C D -1CC 11BAA DAA ∠=∠1AC ∥11B D E 1160,ABC A B AD ∠=︒=
=1AC ABCD ABC △,,,a b c AD BC 1c =12sin cos sin sin sin ,cos 4c A B a A b B b C BAD =-+∠=
ABC △,AB AC EF AD AEF △ABC △AG EF ⋅
参考答案
大庆实验中学实验一部2023级高一下学期
6月份阶段性质量检测
数学学科试题
2024.06.03—2024.06.04
命题人：孟令娇
审题人：彭修香
说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内．2．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【详解】因为
,所以，所以z 的共轭复数,对应的点坐标为位于第四象限．故选：D 2．【答案】C
，而边长为6的正方形面积为36，所以所求的直
．故选：C
3
．【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，则圆台侧面积．故选：C ．
4．【详解】解：,,
∴角A 为钝角，故选：A ．5．【答案】C
【详解】试题分析：连接与是正三角形，,则平面
,即;又,所以,
1i 3
z
z -=-13i (13i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++-+====+++-2i z =-(2,1)-36=12,r r l ()12222(26)162
l
S r r πππππ=+=+=()0c c a b ⋅+-<
()20AB AB BC CA AB AC ∴⋅+-=⋅< ,,VF BF VAC △ABC △,AC VF AC BF ∴⊥⊥AC ⊥VBF AC PF ⊥DE AC ∥DE PF ⊥
即与所成的角的大小是．
6．【答案】D
【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O ,
则，，，设山高，则，在中，,
由余弦定理可得：，整理得，
．
故选：D ．7．【答案】D
【详解】由题知面,又,点E 是的中点，，且又
面,
过B 作于E ,则,又面为直线与平面所
DE PF 90︒30PAO ∠=
︒45PBO ∠=︒060PC ∠=︒PO h =,,AO BO h CO
=
==
AOC cos cos ABO CBO ∠=-∠2
2
2
2223322h b h a h h ah bh
+-
+-=-
2
3()2(3)
ab a b h b a +=
-h ∴=
AB ⊥,BCD AB CD ∴⊥BC BD =CD BE CD ∴⊥BE =
,AB BE B CD =∴⊥ ABE BF AE ⊥CD BF ⊥,AE CD E BF =∴⊥ ,ACD BAF ∴∠AB ACD
成角，即为B 到平面的距离．
解得,利用等面
积知
．故选D
8．【详解】因为
，由余弦定理得,整理得，
由正弦定理得，
又因
所以，解得或，而,
且,BF
ACD tan BE BA θ∴=
==
222224,418,BA AE AB BE AE =∴=+=+==ABE
4
,223AE BF BA BE BF ⨯⨯=∴==3cos a b
C b a
+=222
32a b a b c b a ab
+-+=⋅2223c a b =+2221cos 21cos 23sin sin sin 22
A B
C A B --=+=
+11
1(cos 2cos 2)1[cos()cos()]
22A B A B A B A B A B =-+=-++-++-+1cos()cos()1cos cos()A B A B C A B =-+-=+-cos()A B -=223sin 133cos C C C =-
=-cos C =
cos C =cos cos()cos()cos()2sin sin 0C A B A B A B A B +-=-++-=>cos()A B -=
所以,所以．故选：C ．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．【详解】A ．,则,又，则,所以不正确，A 不正确；B ．,则或,故B 不正确；
C ．若m ,n 是两条不同的异面直线，,则,C 正确．
D ．由时，m ,n 与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知n 与所成的角相等，m 与所成的角相等，
因此m 与所成的角和n 与所成的角不一定互余，D 不正确．故选：ABD 10．答案：ACD 11．【答案】BC
【详解】选项A,面面面,
到面的距离等于到面的距离，
,故A 正确；
选项B,连接,
分别为线段的中点，且,又 且且,所以过三点的截面为梯形,
易知
,
cos C
>cos C =,m n m α⊥∥n α⊥n β⊥αβ∥αβ⊥,,m m n αβα⊂∥∥n β∥n β⊂,,,m n m n αββα⊂⊂∥∥αβ∥m n ⊥ααβ∥,αβ,αβαβ111,PC DD PC ⊂/ ∥11,DD Q DD ⊂11,DD Q PC ∴1DD Q P ∴1DD Q 1C 1DD Q 1111111111112
2123323
D D PQ P DD Q C DD Q D C D Q C D Q V V V V S DD ----∴====⋅=⨯⨯⨯⨯=△111,,A D A Q B C ,P Q 111,CC B C 1PQ B C ∴∥11
2
PQ B C =
1B C 1A D 111,B C A D PQ A D =∴∥11
2
PQ A D =,,D P Q 1A
QPD 11AQ DP PQ A D ====
作,则
所以梯形的面积，故B 错误；选项C:将侧面展开如图，显然当Q ,P ,D 三点共线时，取得最小值，最小值为
故C 错误；
选项D,连接,则 ,
则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则当P 与C 重合时，直线与直线所成角最小为，
当P 与重合时，直线与直线所成角最大为，
所以直线与直线所成角的取值范围为，故D 正确．故选：BC ．12．【答案】BD
1PH DA ⊥DH PH ===1A QPD 19
22
S =
+=DP PQ +==1D C 1D C 1A B DP 1A B DP 1D C DP 1D C 4
π
1C DP 1D C 2
π
DP 1A B ,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【详解】对于A,如图1，取的中点N ,连接,显然,
图1
且,又，且,所以,所以四边形为平行四边形，故,又
N 为的中点，则与不垂直，
所以s 不垂直，故A 错误；
对于B,由
,所以当时，最大，最大值为
正确；
C 选项，如图2，取的中点的中点Q ，作平面,
且点O 在平面内，连接，
图2
由知，,
又,且,所以,
所以在平面上的射影在直线上，即点O 在直线上，
所以为平面与平面所成的二面角，则,
所以，又在平面上的射影为,则,所以，1A D ,EN MN MN CD ∥12MN CD =
BE
CD ∥12
BE CD =,BE MN BE MN =∥MNEB BM EN ∥12,A E DE ==1A D EN 1A D 1,BM A D 12,A E EC ==11111sin 2A EC S A E EC A EC A EC =
⋅∠=∠12A EC π
∠=1A EC S DE ,P DC 1A O ⊥DEBC DEBC 1,,A P PQ EO 112A E A D ==1A P DE ⊥PQ EC ∥ED EC ⊥DE PQ ⊥1A P DEBC PQ PQ 1A PQ ∠1A DE DEBC 1A PQ α∠=11sin A O A P α==1A E DEBC OE 1A EO β∠=111sin 2A O A O A E β=
=
所以,C 错误；
D 选项，结合C 可知，,如图3，当点O ,P 重合时，即平面时，
，因为,所以点Q 为三棱锥的外接球球心G 在平面上的投影，
故,连接,过点G 作于点F ,
因为平面平面,所以,
则
设,则,由勾股定理得,设三棱锥的外接球半径为R ,则
,故,解得,
图3
所以其外接球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为，D 正确．
故选：
BD 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】．
14．【答案】20或4；
【分析】由面面平行，可得线线平行，,在利用相似三角形的相似比可得的长
【详解】解：如图所示，因为平面平面,
所以,
，
sin αβ=1111423
A
EDC EDC V S A O A O -=⋅=1A P ⊥DEBC 1A EDC V
-ED EC ⊥1A EDC -DEBC 1QG A P ∥1,GA GC 1GF A P ⊥1A P ⊥,DEBC QP ⊂DEBC 1,A P QP GF QP ⊥∥GF PQ ==QG h =1,FP h A F h ==
-2222222221
1)2,2AG A F FG h CG GQ QC h =+=-+=+=+1A EDC -1A G CG R ==222)22h h -+=+0h =2R ==1A EDC -2416R ππ=(,2)(2,2)-∞-- AB CD ∥CD α∥βAB CD ∥PAB PCD ∴△∽△
．当P 在平面与平面之间时，
．故答案为：20或4．
15．
【答案】【详解】因为，由余弦定理得：,整理得，所以
当且仅当，即时，等号成立，则此时,此时
PA AB PC CD
∴=815206
CD ⨯∴==αβPA AB PC CD
∴=8346
CD ⨯∴==/306π
︒
2cos a B c a =-22222a c b a c a ac +-⋅=-2
b c a a
=-22
4343b b a a a c a b a a a b b b a b -+++===+≥=3b a a b
=b =2232b a c a a a a a =-=-=222cos 2b c a A bc +-===
又因为，所以
．故答案为：．
16．
【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面,利用线面垂直的性质可得
，进而，由三角形的面积公式可得
，即可求解．【详解】在中，,则
又平面,平面平面,
所以平面,连接,所以,
得,设，则,
,得
，当即即时，取到最小值1，
此时
四．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．【详解】（1） 或（2）因为,
所以,
(0,)A π∈6A π=
6π
/BC ⊥ABC BC CP ⊥CP =1sin BP θ
=Rt ABC △6BC BAC π=∠=AB =ABC α⊥,,ABC AC AC BC BC α=⊥⊂ ABC BC ⊥ABC ,CP CP α⊂BC CP ⊥CP ==(0)ABP θθπ∠=<<1sin 2ABP S AB BP θ=⋅1sin 2BP θ=1sin BP θ
=sin 1θ=2π
θ=AB BP ⊥BP CP ==(4,6)c = (4,6)
c =-- (2,3),(1,),(5,1)a b k c ==-= 2(0,32),2(7,21)a b k b c k +=+-=--
所以．
18．【答案】（1
） （2）【详解】（1）由,
因,
代入得，,
展开整理得，,即,
因,则有,
由正弦定理，,
又因,故得
，则;
（2）由（1）得，因,由正弦定理，，则,于是，，
因，则,故,即的范围是．
19．试题解析：（Ⅰ）证明：在中，由已知
,
,又平面,
,又,
平面平面,
∴平面平面．
（Ⅱ）解：由已知得，,又平面平面,|4|a b += 3π
(4,2)
-cos cos()cos sin a A a B C A C +-=cos cos[()]cos()A B C B C π=-+=-+cos()cos()sin a B C a B C A C --+=2sin sin cos sin 0a B C A C -=sin (sin cos )0C a B A =sin 0C >sin cos 0a B A =sin sin cos 0A B B A -=sin 0B >tan A =0A π<<3A π
=3A π
=2a =2
sin sin sin 3b c B C
π
===,2cos 3b B c C B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭
222cos 4cos b c B B B B ⎫-=
-+=-⎪⎪⎭203B π<<1cos 12
B -<<422b c -<-<2b c -(4,2)-BCD △1,2,B
C C
D BD ===222CD BC BD ∴=+BC BD ∴⊥PD ⊥ABCD PD BC ∴⊥BD PD D = BC ∴⊥,PBD BC ⊂PBC PBC ⊥PBD 32
BE =
DE PB ∴⊥PBC ⊥PBD
平面,故是三棱锥的高．
又,而，．20．【详解】证明：（1）因为平面,
所以,
因为为菱形，
所以,
又平面平面,
所以平面,
（2）如图，连接,则平面,
由,
故即为二面角的平面角，
在菱形中，，
所以，
又,所以
由点E 为的中点，易得，所以为等腰三角形，
在内过点E 作高，垂足为H ,则,
所以，即二面角
．DE ∴⊥PBC DE D PCE -Rt 1112122PBC S CB BP =⋅=⨯⨯=△Rt 1144
CEP PBC S S ==△△1134P CDE V -∴=⨯=PO ⊥ABCD PO AC ⊥ABCD AC BD ⊥,BD PO O BD =⊂ ,PBD PO ⊂PBD AC ⊥PBD OE OE ⊂ACE ,AC OE AC OP ⊥⊥POE ∠P AC E --ABCD 2,120AB AD BAD ==∠=︒BD OD ==2PO =PB PD ===PD 1122OE PD PE PD =
===POE △POE △1HO =cos cos HO POE HOE OE ∠=∠===P AC E --
21．【详解】（1）连接交于点F ,连接．
由题意知四边形是菱形，故点F 是的中点．
又点E 是棱的中点，所以．
又平面平面,所以平面．
（2）连接,设,连接,
由,可得,则．
由题意知四边形是菱形，故点O 是的中点，得．
在中，易得,故,得．
又,所以．
易知,且,所以平面,
又平面,所以平面平面．
又,所以平面．
故是直线与底面所成的角．
又,所以,所以
，11A C 11B D EF 1111A B C D 11A C 1CC 1EF A C ∥EF ⊂111,B D E A C ⊂/11B D E 1AC ∥11B D E ,AC BD AC BD O = 111,,A O A D BA 111,BAA DAA AA AB AD ∠=∠==11BAA DAA △≌△11BA DA =ABCD BD 1A O BD ⊥11BA C △112A C =2221111BC BA A C =+111A B A C ⊥11AC A C ∥1A B AC ⊥AC BD ⊥1A B BD B = AC ⊥1A BD AC ⊂ABCD 1A BD ⊥ABCD 1A O BD ⊥1A O ⊥ABCD 1A CO ∠1AC ABCD 2AC =1AO CO =
=1
AO =
所以
即直线与底面
．22．【详解】（1） ,由正弦定理：,由余弦定理：．因为D 为中点，所以,设的夹角为，
又，，即，解得或,又，所以，易得
的面积为
（2）设的面积为面积的一半，设，则,又共线，所以设，则,,解得：．，又,，又，化简得，11tan A O A CO CO
∠==1AC ABCD 12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+ 2212cos 4ca B a b bc =-+2222221124,1,4244
c a b ca a b bc c bc b c c b ac +-⋅=-+⇒=⇒==∴= 1()2
AD AB AC =+ ,AB AC θ||AD ∴=== ()
2211cos 14cos ()2222c cb AB AD AB AB AC AB AB AC θθ++⋅=⋅+=+⋅== cos ||||AB AD BAD AB AD ⋅=∠== 228cos 8cos 110θθ+-=1cos 2θ=11cos 14θ=-14cos 0θ+>1cos 2
θ=sin θ=ABC ∴△141sin 2θ⨯⨯⨯=||,,||AE x AF y AEF == △ABC △2xy ∴=AG AD λ= 22AG AD AB AC λλλ==+ ,,E G F (1)AG AE AF μμ=+- (1)(1)4
y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ 2(1)42
x y λμμλ
⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩4y x y μ=+2244AG AB AC x y x y ∴=+++ 4
y EF EA AF AC xAB =+=- 22444
y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦
2xy =2296186442y x x AG EF x y x --⋅==++
又，则，则时，的最小值为2．4y ≤112
x ≤≤1x =22218621342422x AG EF x x -⋅==-++。