平面直角坐标系 课件

解决此类问题的关键是根据题目条件，充分利用其中垂 直、对称等关系建立适当的平面直角坐标系，然后再根据轨 迹(曲线)条件选用求曲线方程的待定系数法或定义法或直接 法或相关点(代入)法或参数法求解．
在下列平面直角坐标系中，分别作出2x52 ＋y92＝1 的图形．
(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度； (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍； (3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的12倍． 【思路探究】 先按要求改变 x 轴或 y 轴的单位长度， 建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形．
【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系使 x 轴与 y 轴具 有相同的单位长度，则2x52 ＋y92＝1 的图形如图①.
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度 缩小为原来的12，则2x52 ＋y92＝1 的图形如图②.
(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度 缩小为原来的12，则2x52 ＋y92＝1 的图形如图③.
∵|PB|＝|PC|， ∴点 P 在线段 BC 的垂直平分线上． kBC＝－ 3，线段 BC 的中点 D(－4， 3)， ∴直线 PD 的方程为 y－ 3＝ 13(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4， ∴点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x42－y52＝1(x≥2)．②
3．如果 x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小 为原来的12，圆 x2＋y2＝4 的图形变为什么图形？伸缩变换可 以改变图形的形状吗？那平移变换呢？
【提示】 x2＋y2＝4 的图形变为椭圆：x42＋y2＝1.
伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不 改变它的形状.
由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给 舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护 航．某日，甲舰在乙舰正东 6 千米处，丙舰在乙舰北偏西 30°， 相距 4 千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、 丙两舰比甲舰距商船远，因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现 这一信号，此信号的传播速度为 1 km/s.若甲舰赶赴救援，行 进的方位角应是多少？
(2)以方程 f(x，y)＝0 的 解 为 坐标的点都在曲线 C 上． 那么，方程 f(x，y)＝0 叫作曲线 C 的方程，曲线 C 叫作方程 f(x，y)＝0 的曲线．这样，我们就可以通过建立适当的平面 直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方 程、圆的方程、椭圆的方程等.
3．平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即 改变x轴或y轴 的单位长度 ，将会对图形产生影响．
联立①②，解得 P 点坐标为(8,5 3)． ∴kPA＝85－33＝ 3. 因此甲舰行进的方位角为北偏东 30°.
1．由于 A、B、C 的相对位置一定，解决问题的关键是： 如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．
2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
(2)如果 y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度 缩小为原来的35，则2x52 ＋y92＝1 的图形如图②.
如图 1－1－1，四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等 腰梯形，向量C→M与P→N的夹角为 120°，Q→C·Q→M＝2.
(1)求圆 C 的方程； (2)求以 M、N 为焦点， 过点 P、Q 的椭圆方程．
【思路探究】 建立适当的平面直角坐标系，准确确定 定点坐标，分别用待定系数法求圆 C 和椭圆方程．
1．△ABC 的三个顶点是 A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则 中线 CO(O 为坐标原点)的方程是 x＝0 吗？
【提示】 因为中线 CO 是一条线段，而并非一条直线， 所以其方程为 x＝0(0≤y≤3)，而非 x＝0.
2．如何建立适当的平面直角坐标系？ 【提示】 ①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标 原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上； ④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线 方程为标准方程．
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲 舰的相对位置，因此不妨用点 A、B、C 表示甲舰、乙舰、丙 舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
【自主解答】 设 A，B，C，P 分别表示甲舰、乙舰、 丙舰和商船．如图所示，
以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系，则 A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3)．
平面直角坐标系与曲线方程 平面直角坐标轴中的伸缩变换
1．平面直角坐标系与点的坐标 在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的 有序 实数对(x，y) 与之对应；反之，对于任意的 一个有序实 数对(x，y) ，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标 系中， 点 和 有序实数对 是一一对应的．
2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹，由 此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系． 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 点 与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的 实数解 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的 解 ；
1．在平面直角坐标系中，改变 x 轴或 y 轴的单位长度会 x′＝x
对图形产生影响，本题(2)中即为y′＝12y 的伸缩变换，本
题(3)中即为x′＝12x 的伸缩变换． y′＝y
2．一般地，在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直 线伸缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩 后仍为抛物线，而椭圆伸缩后可能是不变，试在下列平面直角坐标系中， 分别作出其图形．
(1)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的53倍； (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的35倍．
【解】 (1)如果 x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的 单位长度缩小为原来的35，则2x52 ＋y92＝1 的图形如图①.
【自主解答】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得：△CQM 为正三角形．
∴Q→C·Q→M＝r2·cos 60°＝2， ∴圆 C 的半径为 2. 又圆心为(0,0)， ∴圆 C 的方程为：x2＋y2＝4.
(2)由(1)知 M(2,0)，N(－2,0)，Q(1， 3)， ∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2， ∴a＝ 3＋1，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝2 3， ∴椭圆方程为：4＋x22 3＋2y23＝1.