鲁教版数学八年级上册 因式分解
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想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于 原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
随堂练习
把左右两边对应的式子连起来，并说明哪 些变形是因式分解，哪些是整式乘法.
来的多项式的次数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.
PART
1.1 因式分解 1
回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
(3)多项式乘以多项式
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
回顾 & 思考
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘 法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个 多项式化成几个整式的积的形式. 你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
理解定义
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做因式分解.因式分解 也可称为分解因式.
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
ห้องสมุดไป่ตู้
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 10 米.
2
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程;
3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原
(3) (m+4)(m-4)= m2-1;6 (4) ( y-3)2= y2-6y+9. (5)a(a+1)(a-1)= a3-.a
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )(a+1 )(a-1 )
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
你知道每一步的根据吗? 993-99还能被哪些整数整 除?
99(992 1) 99 9800 98 99100
所以, 993 99能被100整除.
做一做
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2-3x;
3x2-3x=( 3x )( x-1 )
(2)m(a+b+c)= ma+mb;+mc ma+mb+mc=(m)( a+b+c )
x2-y2
(3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2
y(x-y)
9-25x2
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530 = 9010000
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长 10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间 隙能有多大(赤道看成圆形， 设地球的半径为r，铁丝围成 圆形的半径为R)?
因式分解
整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法
巩固概念
下列式子从左到右的变形是否为 因式分解？为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc
(2)完全平方公式
(a±b)2= a2 2ab b2 .
数学中的游戏 游戏规则： 1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它本身的式子.
如： 53 5
3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整 数整除.
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
小明是这样想的: 993 99 99 992 99 1
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
归纳
（1）因式分解与整式的乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （3）分解后的每个因式必须是整式，次数都低于 原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
随堂练习
把左右两边对应的式子连起来，并说明哪 些变形是因式分解，哪些是整式乘法.
来的多项式的次数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.
PART
1.1 因式分解 1
回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
(3)多项式乘以多项式
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
回顾 & 思考
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘 法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个 多项式化成几个整式的积的形式. 你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
理解定义
因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做因式分解.因式分解 也可称为分解因式.
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
ห้องสมุดไป่ตู้
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 10 米.
2
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程;
3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原
(3) (m+4)(m-4)= m2-1;6 (4) ( y-3)2= y2-6y+9. (5)a(a+1)(a-1)= a3-.a
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )(a+1 )(a-1 )
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
你知道每一步的根据吗? 993-99还能被哪些整数整 除?
99(992 1) 99 9800 98 99100
所以, 993 99能被100整除.
做一做
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2-3x;
3x2-3x=( 3x )( x-1 )
(2)m(a+b+c)= ma+mb;+mc ma+mb+mc=(m)( a+b+c )
x2-y2
(3-5x)(3+5x) (x+1)2 xy-y2
y(x-y)
9-25x2
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 = 17(7652 －2352) = 17(765+235)(765 －235) = 17×1000×530 = 9010000
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长 10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间 隙能有多大(赤道看成圆形， 设地球的半径为r，铁丝围成 圆形的半径为R)?
因式分解
整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法
巩固概念
下列式子从左到右的变形是否为 因式分解？为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4) x2 2 x 1 x( x 2) 1 否
（5）24a2bc 23 a2 3bc
(2)完全平方公式
(a±b)2= a2 2ab b2 .
数学中的游戏 游戏规则： 1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它本身的式子.
如： 53 5
3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整 数整除.
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
小明是这样想的: 993 99 99 992 99 1