2016年各省高中数学联赛预选赛试题及详解答案(最值部分)

2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）
1、 为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）
解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >
y x xy 21y x y
x a y x a y x 2
2++=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥
2、 设1x 0<<，b a ，大于零的常数，
x
1b x a 2
2-+则的最小值为（()2b a +） 解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数
由柯西不等式可知：()()22
2
2b a x
1x b a x 1b x a +=-++≥
-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。

3、 已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则
b
1
a 1+最小值时，=a
b （27） 解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()9
4
3616b a 913b 1a 99b 1a 12
==++≥+=+，即
当且仅当
b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩
⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。

∴2793ab =⨯=
4、 若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）
解：∵0y x >, ∴xy 为正数
∴5x
39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔
=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x
3y 432x 39
y 4452
≥+⇔++≥
+=
当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩
⎪⎨⎧==21y 1
x 时，等号成立。

5、 z y x ，，为正数时，
222
z y x yz xz 4+++的最大值为（2
17
）。

解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒
数。

yz b 2xz 44a 2bz y az x z y x 2
2
2
2
2
2
2
+⨯≥+++=++①，若⎪⎩
⎪⎨⎧=+=1
b a b
24a
2，不等式右侧可转化为常数项
×()yz xz 4+的形式。

解方程组，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==171b 1716a ，代入①式，得()yz xz 417
4z 171y z 1716x z y x 2222222+⨯≥+++
=++ 又∵z y x ,,为正数，∴0yz xz 4>+，所以
()2
17yz xz 417
4
yz xz 4z y x yz
xz 42
22
=
+⨯+≤
+++
6、 若实数y x ，满足4y 4xy 2x 22=+-，则22y x +的取值范围。

解：()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<-=->+=+⇔+=+⇔=+-00xy xy 24y 2x xy xy 64y 2x xy 24y 4x 4y 4xy 2x 22
2
2
2
2
1)分别将0=x ，0=y 代入4y 4xy 2x 22=+-，解得4x 1y 22==或，所以41y x 22或=+①
2)由均值不等式可知：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤<⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧-≥⇔-≥+=+<≤⇔≥+=+>0xy 322xy 032xy xy 4xy 24y 4x xy 2
xy xy 4xy 24y 4x xy 2
222 0 0，， 由柯西不等式可知：()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<≤--=-≥≤<+=+≥+=+）（）
（0xy 32
5xy 245y 2x 2xy 05
xy
645y 2x 4y 21x y x 222222② 结合①②，可知5
4
y x 22>
+ 3)由4y 4xy 2x 22=+-可得
4x 313x y 34xy 2y 3y x 22
2
2
2
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=++-=+，所以
当3x y =
时，22y x +有最大值。

将3x
y =代入4y 4xy 2x 22=+-，解得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧==
74y 736
x 22。

∴7
407
47
36y x 22=+≤+
综上1）2）3）所述，22y x +的取值范围为⎥
⎦
⎤
⎝⎛740
54，
解2：
设()0k k y x 22≥=+，则22y k x -=，代入4y 4xy 2x 22=+-，得 ()()222
222y y k 4y 34k xy 2y 44y k -=+-⇔=+--，整理得
()()04k y 24k 2y 132
24=-+-+③
设()0m m y 2≥=，则③式()()04k m 24k 2m 1322=-+-+⇔，所以
()()()()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
≥-=
≥--=
+≥-⨯--=∆0134k m m 01324k 2m m 04k 13424k 22
212122313210k 313210+≤≤-⇔
7、 若实数y x ，满足y x y x 9432+=+，则y x 278U +=的取值范围。

解：设a 2x =，b 3y =（0b a >，），则
()()()2
b a b a ab ab 2b a b a b
a b a 94322
2
2
2
y
x
y
x
+-+=
⇔-+=+⇔+=+⇔+=+， 设t b a =+，（0t >），则有02
t
t ab 2>-=
，则1t >，而 ()()
0t 23t 212t t t t ab b a b a b a 2727U 2
322233y x >+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-++=+=+=，则3t <，
令0t 3t 2
3U 2=+-='，解得2t =或0t =（舍去）， 当1t 2>>时，0U >'，所以
U 在此范围内单调递增。

当2t 3>>时，0U <'，所以 U 在此范围内单调递减。

综上所述，U 在2t =处可得到唯一的极大值：222
322
1
U 23max =+-=。

又∵()()03U 11U =>=
∴y x 278U +=的取值范围为(]20，
8、 设非负实数c b a ，，满足0c b a ca c b ab >++=++，则ca c b ab ++的最小值为2
解：1）当c b a ，，都为0或有任2个为0时，0c b a ca c b ab >++=++不成立，舍去。

2）当c b a ，，中只有1个为0时，考虑c b a ，，的对称性，不妨设0c =，则
有()b 1b a 0b a ab 0c b a ca c b ab =-⇔>+=⇔>++=++①，此时有1b a >， 亦有ab ca c b ab =++
设k ab =，()0k >，将①式带入该式，整理得
0k b k b 222=+-②
()
04k k 0k 4k 2224≥-⇔≥-=∆
∴2k ≥，此时，②式有解()
12
4k k k b 222>-±=
，满足要求。

则此时2k ca c b ab ≥=++。

3）当c b a ，，中都大于0时， 设0c b a ca bc ab S >++=++=，则
()
()2S S ab 2a a 2
2-=-=∑∑∑
由排序不等式可知：()3S S S 3a ab 3a ab 22
2≥⇔≤⇔≤⇔≤∑∑∑∑
由柯西不等式可知：()()[]
()2
2
2
24
443
2S S S
2S S a
a c
c b b a a a -=-=≥
++=∑∑
()()()S 8S 2abc 62S S 32S S 2S a a 3a 2a abc 6222
3233
+-≥⇔---+≥-+=∑∑∑∑③
设∑=ab T ，则abc 6T 9
2
abc 3ab T 3
3≥=⇔≥=∑④
综合③④，得 ()3T 9
2abc 6S 4S 2≤≤-
∴()[]3M A X T 9
2
S 4S 2≤- ∵3S ≥∴()[]6S 4S 2M A X =- ∴3T ≥
综上1）2）3）所述：2T ≥
9、 已知正实数y x ，满足
()()16x
2y y
2x 2
2=+++，则=+y x （4）
解：
()()()()xy 162y y 2x x 16x
2y y 2x 2
2
2
2
=+++⇔=++
+
()
()y x 16y x 4y x 4y x 2233=+++++⇔
()(
)(
)
()xy 24y x 4xy 2y x 4xy y x y x 2222=+++++-++⇔
()()[
]
()()xy 24y x 4y x 4xy 3y x y x 2
2
=++++-++⇔
设T y x =+，0T >，代入上式，得
()()()T
3242T T T 3244T 4T T xy xy 24T 4T 4xy 3T T 2
22
2
++=+++=⇔=++- 由均值不等式可知xy 2T xy 2y x 2
≥⎪⎭⎫
⎝⎛⇔≥+
∴()T 3242T T 2T 2
2
++≥⎪⎭
⎫
⎝⎛，整理得
()04T 2≤-
∴4T =，即4y x =+
10、 已知非负实数c b a ，，满足1c b a =++，记c 11b 11a 11S +++++=
证明2
5
S 49≤≤ 证：∵非负实数c b a ，，，满足1c b a =++，则0a 1>+，0b 1>+，0c 1>+，
由柯西不等式可知
()4
9c
1b 1a 1111c
11b
11a
11S 2=+++++++≥
+++++=
又abc
ab 2ab 5c 11
b 11a 11S +++=
+++++=
∑∑ ∵()()2
5abc
ab 2ab 5abc ab 25ab 52abc 5ab 30≤+++⇔++≤+⇔+≤∑∑∑∑∑ ∴2
5S 4
9≤
≤ 11、 已知正数c b a ，，满足1c ab =，证明：2c
1c
b 1b a 1a 1<+++++<
证：设x 1
a =
，y
1b =，z 1c =，
()()()()2
x xy 3x 2xy xyz zx yz xy x y x 1zx yz xy z y x 23z 11
y 11x 11c 1c b 1b a 1a ++++=+++++++++++++=+++++=+++++∑∑∑∑ ()()1
x 1xy 1111x 1xy 1x 112x xy 1x 12
x xy 1
x 2x xy +++
+
=+++++
=++++
=++++++=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 显然01
x 1
xy >++∑∑
，∴11
x 1
xy 11
0<+++
<
∑∑
∴21
x 1
xy 11
11<+++
+
<∑∑
∴2c
1c
b 1b a 1a 1<+++++<
12、 设正数z y x ，，满足1zx yz xy =++，证明：()()()()()()222z -1y -1x -1x z z y y x xyz ≥+++
证：
()()()()()()()()()()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≥---=+++=+++2x z 12z y 12y x 1zx 1yz 1xy 1xy yz zx xy yz zx x z z y y x xyz 222222()()()()()()
()()()()()()2
2
2
2
2
2
222222x 1z 1z 1y 1y 1x 12x 1z 12z 1y 12y 1x 1--∙--∙--≥
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=
()()()
222222z 1y 1x 1z 1y 1x 1---≥-∙-∙-≥
13、 已知c b a ，，为正实数，求证
()()()b a c a c b c b a c 1b 1a 1c
b a ab
c 2
22-+-+-+≥++++≥
证：1）由排序不等式可知：∑∑∑∑∑
≥⇔=≥2
2a 1a abc abc
a a
b 1a 1
2）设c b a x -+=，a c b y -+=，b a c z -+=，则 0a x >=∑∑，b 2y x =+，c 2z y =+，a 2x z =+
∴()()()()()()xyz z y 4y x 4x z 4x
b a
c a c b c b a c 1b 1a 1c b a 222≥++
+++⇔-+-+-+≥++++∑
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++++≥⇔∑222z y 1y x 1x z 1xyz 4x ① 考虑c b a ，，对称性，不妨设0c b a >≥≥，则0z x >， a ）若0y ≤，有0xyz ≤，式①明显成立。

b ）若0y >，有0xyz >，则式①()()()22
2z y 1
y x 1x z 1xyz
4x
+++++≥
⇔∑
由均值不等式可知：()()22y x 1xy 41y x xy 4+≥⇔
+≤,同理()
2
z y 1yz 41+≥，()2x z 1
zx 41+≥ ∴()()()2
2
2y x 1
x z 1z y 1xy 41zx 41yz 41xyz 4x
+++++≥++=∑
∴()()()
b a
c a c b c b a a 1
a 2
-+-+-+≥∑∑
综合1）2）可知：
()()()b a c a c b c b a c
1b 1a 1c
b a ab
c 222-+-+-+≥++++≥
14、 已知c b a ，，为正实数，且满足1c ab =，对任意的正数2n ≥，证明：
n
n
n
n
2
3
b
a c
a
c b
c
b a
≥
++
++
+
证：∵1c ab = ∴n
11n
1n
1n 1n
n
c 1b 1a
c 1b 1a
a c 1
b 1a 1a c
b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
++，同理，可知n
11n
1n
a 1c 1b
a
c b ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+===
++，n
11n
1n
b 1a 1c
b
a c ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
++，
由权方和不等式可知：
()
()()
n
1n
1n
1n
n
11n
111n 1n 1n
1n
1n
1n
1n
1n
1n
n
n
ab 2a a 12a 3
b 1a 1c
a 1c 1b
c 1b 1a
b
a c a
c b c
b a
∑∑∑∑∙=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∙≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
⎪⎭⎫ ⎝⎛++
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
++++++++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+++①
又∵()()()()3
a a
b a ab 3a ab 2
2
2
∑∑∑∑∑∑≤⇔≤⇔≤
∴①式()
()()()n
n
n n
n
n
1
n
n
n
21n
1
n
n
12n
11n
12
3
2
3
32
a 32
a 33a 2a =
≥
=
=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∙≥
∑∑∑∑-
++
另：由排序不等式可知：()()()3
a a
b a ab 3a ab 2
2
2
∑∑
∑∑∑∑≤
⇔≤⇔≤
当1n =时，由柯西不等式可知：
()()()()()()()2
33
a 2a a
b 2a
c b a c b a c b a c b a b a c a c b c b a 22
2
2
22=≥≥
+++++=+++++∑∑∑∑
∴
2
3
b a
c a c b c b a ≥+++++ 15、 证明：对任意实数c b a ，，都有()222222c b a a 3c ac a b ab a +++≥+++++，并求等号成立的充要
条件。

证：不等式()2
2
2
2
2
2
4c b 304c b a 2c 2302c a b 2302b a ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+-+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⇔
①
建立坐标系，设点A(a ，0)、B(2
b -，
b 23)、C(2
c -，c 2
3
)、D(4c b +-，()4c b 3+) 结合图形，明显可以看出：不等式①左边为线段AB 和AC 的长度之和，
右边为线段AD 的2倍。

不等式①AD 2AC AB ≥+⇔
D 点为线段AB 的中点，延长AD 至A ′点，使AD D A =', 连接A ′C ，则AD 2AA =' 易知：ΔABD ≌ΔA ′CD ，∴AB
C A ='
在C AA '∆中，由三角形三边关系定理可知：''AA AC C A >+，
即：AD 2AC AB >+
结合图形，显然，当B 点、C 点、D 点三点重合，即c b =时，AD 2AC AB =+成立。

当c b =时，上述式①()22222222b 2a 3a b ab a 2b ab a b ab a ++=+++=++++++⇔ 明显成立。

∴①式取等号的充分必要条件为c b =。

16、 已知z y x ，，为任意实数，且满足1w z y x =+++，求yz 5xz 4y x 3zw 3yw 2xw +++++的最大值。

证：∵()z y x -1w 1w z y x ++=⇔=+++
∴()()()yz 5xz 4y x 3z -y -x -1z 3z -y -x -1y 2z -y -x -1x yz 5xz 4y x 3zw 3yw 2xw +++++=+++++ 整理得
()()()
z 3z 3y 2y 2x x z 3y 2x z 3y 2x yz 5xz 4y x 3zw 3yw 2xw 222222+-++-++-=---++=+++++
2
343424121z 321y 221x 2
22≤
+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
一元二次方程的公共根
1、 首项系数不同的两个二次方程()(
)()()
⎪⎩
⎪⎨⎧=+++--=+++--0b 2b x 2b x 1b 0
a 2a x 2a x 1a 2
222
22（其中b a ,
a
b a
b b a b a --++的值。

解：∵首项系数不同且b a ,为正整数 ∴1b a >≠
设()(
)()()
⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--②
①
0b 2b x 2b x 1b 0a 2a x 2a x 1a 2
222
22 ∴①×()1b --②×()⇔-1a ()()()()[]()()()()0b 2b 1a a 2a 1b x 2a 1b 2b 1a 2222=+--+-++--+-
()()()()ab 2b a b a x ab 2b a b a -++-=-++-⇔ ()()ab 2b a x ab 2b a -++=-++⇔ 当0ab 2b a ≠-++，则公共根1x =，分别代入①②式中，求得⎩
⎨⎧==1b 1
a ，不符合题意，舍去。

∴1
b 3
11b 2b a 0ab 2b a -+=-+=
⇔=-++ ∵b a ,为正整数且1b a >≠
∴1b -为3的因数1，3 ∴⎩⎨
⎧==4a 2b 或⎩⎨⎧==2
a 4
b 原方程组整理为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0
24x 18x 30
8x 6x 22
有两公共根2x 1=，4x 2=，也不符合题意。

∴本题无解。

256242b a b
1a 1b a b
a b a 624a b a b a
b a
b a b ==⨯==++=++-- 2、 是否存在某个实数m 使得方程02mx x 2=++和0m x 2x 2=++有且只有一个实数根?如果存在，求出这
个实数m 及两方程的公共根，如果不存在，请说明理由。

解；联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++0m x 2x 0
2mx x 22
，解得 ()2m x 2m -=-
当2m =时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
2x 2x 0
2x 2x 0m x 2x 02mx x 22
22，方程组无实数解。

当2m ≠时，公共根12
m 2
m x =--=
，代入方程组02mx x 2=++，得⇔=++02m 13m -=。

3、 已知方程0h kx x 2=++和0k hx x 2=++有且只有一个公共根，求h k 、的关系。

解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0k hx x 0
h kx x 22，解得 ()()h k x h k -=-①
当h k =时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
k kx x 0
k kx x 0k hx x 0h kx x 22
22，
当0k 4k 2
=-=∆时，方程组只有一个实数解。

即0k =或4k =。

当h k ≠时，由①式可知1x =，代入方程组⎩⎨⎧=++=++⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0k h 10h k 10
k hx x 0
h kx x 2
21h k -=+⇔。

∴0h k ==或4h k ==或1h k -=+
4、 试求满足方程07kx x 2=--与()01k x 6x 2=+--有公共根的所有ｋ值及所有公共根和所有相异根。

解：联立方程组()⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=--01k x 6x 0
7kx x 22，解得 ()()k 6x k 6-=-①
当6k =时，方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--0
7x 6x 0
7x 6x 01k x 6x 07kx x 22
22，方程组有解⎩⎨⎧-==1x 7x 21
当6k ≠时，由①式可知公共根1x =，代入方程组6k 07k 107kx x 2-=⇔=--⇔=--
5、 已知2a >，2b >试判断关于的两个二次方程()0ab x b a x 2=++-与()0b a abx x 2=++-有没有公共根，
并说明理由。

解：()()()b x a x 0b x a x 0ab x b a x 212==⇔=--⇔=++-,
当a x 1=时，()()()()b 1a 1a 1a a 0b a b a a 0b a abx x 222-+=+⇔=++-⇔=++-
∵2a >，2b > ∴01a ≠+，01a >- ∴1
a a
b -=
∵2b > ∴
2a 21
a a
<⇔>- 与题意矛盾。

当b x 2=时，同理可知2b <，与题意矛盾。

∴两个二次方程没有公共根。

6、 已知下面三个方程有公共根0c x b x a 2=++，0a x c x b 2=++，0b x a x c 2=++。

求证abc 3c b a 333=++
证：联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++③②①0b x a x c 0a x c x b 0c x b x a 22
2，
式①+②+③()()()()()01x x c b a 0c b a x c b a x c b a 22=++++⇔=++++++++⇔
∵031412<-=⨯-=∆∴多项式01x x 2
>++
∴0c b a =++
∴()()()0abc 6ca bc ab 3a c c b b a 3c b a 0c b a 2222223333=+++++++++⇔=++
()()()
0abc 6ca a c 3c b bc 3ab b a 3c b a 222222333=+++++++++⇔
()()()0abc 6a c ca 3b c bc 3b a ab 3c b a 333=+++++++++⇔④
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+-=+-=+⇔=++b a c a b c c b a 0c b a ，代入④式，得0abc 6cab 3bca 3abc 3c b a 333=+---++
∴abc 3c b a 333=++
7、 已知方程0a a x a x 3212=++与方程0a a x a x 3122
=++有且只有一个公共根。

求证：这两个方程的另两根
（除公共根以外）是方程0a a x a x 2132
=++的根。

证：联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++②①
0a a x a x 0a a x a x 31223212，解得()()21321a a a x a a -=-
当21a a =时，方程①②为同一方程0a a x a x 3112
=++，则方程①②有两公共根，不符题意。

∴21a a ≠，同理32a a ≠，31a a ≠ ∴321a a a ≠≠
∴()
()32
12
13a a a a a a x =--=
代入①或②中，得()0a a a a 0a a a a a 321332312
3=++⇔=++④
当0a 3=时，式①()0x a x 1=+⇔，可得方程的另一根为1a x -=
式②()0x a x 2=+⇔，可得方程的另一根为2a x -=
联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++③①
0a a x a x 0a a x a x 21323212，解得()()31231a a a x a a -=-2a x =⇔
代入③中，得()0a a a a 0a a a a a 321232212
2=++⇔=++⑤
∵32a a ≠ ∴0a 2≠
∴由⑤式且0a 3=可知：1221321a a 0a a 0a a a -=⇔=+⇔=++
∴1a -是方程③的解。

同理2a -也是方程③的解。

当0a 3≠时，由④可知213321a a a 0a a a --=⇔=++，代入式①②，得
式①()()()0a a x a x 0a a a x a x 21221212
=++-⇔=--++⇔，解得方程另一解为22a x =
式②()()()0a a x a x 0a a a x a x 21121122
=++-⇔=--++⇔，解得方程另一解为12a x =
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++③①0a a x a x 0a a x a x 21323212，解得2a x =，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++③
②
0a a x a x 0a a x a x 21323122，解得1a x =
∴1a ，2a 是方程③的解。

8、 是否存在整数a 使得下列三个方程0a x 2x 2=++，01ax x 22=++，02x ax 2=++有且只有一个公共实
根？如果存在，求出这个a 和三个方程得公共根。

如果不存在，说明理由。

解：分别联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++01ax x 20a x 2x 22，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++02x ax 0a x 2x 22，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
2x ax 0
1ax x 22
2
解得()()()
⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-a
4x 2a a 2x 1a 2a
21x a 422()()()()()()()()()()()()()()()03a 3a 3a 09a 6a a 4a 42a a 2109a 6a a 1a 2a 42a a 209a 6a a 4a 21a 2a 212
3232232=+-+⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫=+-⇔--=--=+-⇔--=--=+-⇔--=--⇔
而()⇒<⨯--=∆0343203a 3a 2≠+-
∴3a -=
代入方程解得三方程公共根为1x =。

9、 设n m ,为正整数，二次方程0n mx x 42=++有相异实数根q p ,，且q p <。

如果方程0q 2px x 2=+-与
p 2qx x 2=+-有公共根。

1）求公共根；
2）求n m ,的一切整数解；
3）若q p ,均为有理数，求方程02q x p x 2=+-的另一根。

解：1）联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-0p 2qx x 0
q 2px x 22，解得()()q p 2x q p --=-
∵q p <∴0q p ≠-
∴公共根2x -=
2）将2x -=代入方程组，解得2q p -=+
∵q p ,是方程0n mx x 42=++的根，由韦达方程可知 ∴24m q p -=-
=+，4
n pq = ∴8m =，q 2p --=
∴()04
n
q 2q 4n q q 22=++⇔=
-- 若q 有解，则有：4n 04n
422
≤⇒≥⨯-=∆ ∵二次方程0n mx x 42
=++有相异实数根
∴4n 0n 44m 2
<⇒>⨯-=∆ 又n 为正整数
∴321n ，，
= 3）2q p -=+且q p < ∴q 1<-，1p -<
又2
n
42q 04n q 2q 2-±-=
⇔=++ ∵2
n
421--->-，舍去 ∴2
n
42q -+-=
当3n =时，2
1q -==，2
3q 2p -=--=为有理数 当2n =时，222q +-=，22
2p --=均为无理数 当1n =时，232q +-=
，23
2p --=均为无理数 将2
1q -=，23p -
=代入02q x p x 2=+-，得01x 2
3x 2
=-+ 解方程得2x 1-=（公共根），2
1
x 2=
10、 若正整系数二次方程0n mx x 42=++有相异实数根q p ,（q p <）有两个相异的有理根，又方程
q 2px x 2=+-与0p 2qx x 2=+-有一公共根，试求方程0q 2px x 2=+-的另一根。

解：同25题3）。

11、 已知三个不同的实数c b a ，，满足3c b a =+-，方程01ax x 2=++和方程0c bx x 2=++有一个相同的
根，方程0a x x 2=++和方程0b cx x 2=++也有一个相同的根，求c b a ，，的值。

解：联立方程组
1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②①0c bx x 01ax x 22
，解得()1c x b a -=-
联立方程组
2）⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++④③0b cx x 0a x x 22，解得()b a x 1c -=-
∵3c b a =+-且c b a ，，为三个不同的实数
∴0b a ≠-，3c ≠
当1c =时，方程组2）无解 ∴1c ≠
∴c 3b a -=-，03c ≠-，01c ≠- ∴方程组1）c 31c b a 1c x 1--=--=
；方程组2）1c c
31c b a x 2--=--= 设0k x 1≠=，则k
1
x 2=
分别将21x x ，解代入原方程①③并联立得⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⇔⎪
⎩⎪⎨⎧=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++k 1k 1k 1k a 0a k 1k 101k a k 2
22
2 2
c 1c 31c 1k k 1k 2
=⇔=--⇔=⇔⎪⎭
⎫
⎝⎛=⇔ ∴2k
1k a 2
-=+-=
∴33c a b -=-+=
12、 两个二次方程0m x x 2=++与01x x m 2=++分别有两个不同的实数根，但其中一个是公共根α，求
α的值。

解：由二次方程可知：0m ≠
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②
①
01x x m 0m x x 22，解得()2m 1x 1m -=-
当1m =时，方程①②为同一方程01x x 2=++，且无实数根，不符题意。

当1m ≠时，1m 1
m m 1x 2
--=--=
，代入方程①得0m 2m 2=+， 解得0m 1=舍去，2m 2-= 公共根1121m =-=--=α
13、 求k 的值，使得两个一元二次方程01x k x 2=-+与02k x x 2=-++有公共根，并分别求这两个方程
的根。

解：联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=-++=-+②①
02k x x 01x k x 22，解得()1k x 1k -=-
当1k =时，方程①②为同一方程01x x 2=-+，解方程得251x 1+-=，2
5
1x 2+-=
当1k ≠时，11
k 1
k x =--=
，代入方程①，得0k 01k 1=⇔=-+ 方程①01x 2=-⇔，解得1x 1=，1x 2-=
方程②02x x 2=-+⇔，解得1x 1=，2x 2-=
Vasc 不等式
1、 设0c b a >，，且1c b a 444=++。

求证()()()2
9
b a
c 1
a c
b 1
c b a 1
333
≥+++++ 证：由柯西不等式可知：()()()
()∑∑+++≥+++++3
32
333
ab b a 111b a c 1
a c
b 1
c b a 1
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤，()2
23a ab 3∑∑≤
由均值不等式可知：()∑∑∑∑∑∑∑≤⇔≤+⇔≤4224422422a 3a a 3a b a 2a 2b a 2 ∴()()()()
29
a 3227a 227
b a
c 1
a c
b 1
c b a 14
2
2333=⨯≥
≥
+++++∑∑ 2、 设0c b a >，，且1abc =。

求证()()()2
3
a c a 1
c b c 1
b a b 1
≥+++++ 证：设y x
a =，z
y b =，x z
c =，代入，整理得
()()()()()()222
222222222222222x zy y y y z xy x x x y xz z z z x zy y z xy x y xz z a c a 1c b c 1b a b 1+++++=+++++=+++++ 由柯西不等式可知：()()(
)()
∑+≥+++++2
23
2
22
22
2222222
22y x y x
x x zy y y y z xy x x x y xz z z z
由Vasc 不等式可知：()2
23x y x 3∑∑≤，
由均值不等式可知：()2
222x y x 3∑∑≤
∴()
()()()
233
x 3x x y
x y x x 2
22
22
22
2
3
2
2=
+≥
+∑∑∑∑∑∑
∴()()()23
a c a 1c
b
c 1b a b 1≥+++++
3、 设0c b a >，，，求证()()()6b
ca b -a 2c a bc a -c b 2c ab c -b 2a 2
2
22
22
≥++++++++
证：
()()()()()()()()()
2
22
2222
2222
22
2
2
22
2b ca c b -a 2c c a bc b a -c b 2b c ab a c -b 2a a b ca b -a 2c a bc a -c b 2c ab c -b 2a ++++++++=++++++++
由柯西不等式可知：()()()()()()
()
∑+≥++++++++2
232
22
22
2222
222
2
2b a b a a 2b ca c b -a 2c c a bc b a -c b 2b c ab a c -b 2a a
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤，
由均值不等式可知：()2
222a b a 3∑∑≤
∴
()()()()
()()()
6
3
a 3a a 4
b a b a a 2b ca b -a 2
c a bc a -c b 2c ab c -b 2a 2
22
22
22
232
22
2
2
22
2=+≥
+≥
++++++++∑∑∑∑∑∑
4、 设0c b a >，，，求证
1b ca a c a bc c b c ab b a 2
22
222222≥++++++++
证：()()()2222
2222222222222222222
2b ca a c c c a bc c b b b c ab b a a a b ca a c a bc c b c ab b a ++++++++=++++++++ 由柯西不等式可知：()()(
)()
∑∑∑+≥++++++++2
2
3
2
22
222
22222222
222b
a 2
b a a b ca a
c c c a bc c b b b c ab b a a a
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤，
由均值不等式可知：()2
222a b a 3∑∑≤
∴()
()()()
1
3
a 23a a
b a 2b a a b ca a
c a bc c b c ab b a 2
22
22
22
232
22
22
222222=+≥
+≥
++++++++∑∑∑∑∑∑
5、 设R c b a ∈，，，且满足3c b a 444=++。

求证：3a c c b b a 555≤++
证：2
32323555c a c b c b a b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯=++
由均值不等式可知：()
()()∑∑∑
∑+=
+≤⨯4
23
24
2
3
2
3
a b a 2
12
a b a a b a
由Vasc 不等式可知：()
()()[]()3
a 3a
b a b a 2
422
22
3
22
3
∑∑∑∑=≤
=
∴()3333
121a a 3
121a c c b b a 2424555=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⨯=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+≤++∑∑
6、 设0c b a >，，，且3c b a =++。

求
1
ca c
1bc b 1ab a +++++的最小值。

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-++-++--=+++++1ca a c 1bc c b 1ab b a 31ca c c 1bc b b 1ab a a 31ca c 1bc b 1ab a 222 由均值不等式可知：()
∑-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-2
b
a ca 2a c bc 2c
b ab 2b a 1ca a
c 1bc c b 1ab b a 3
222222
由Vasc 不等式可知：()()
2
3
a 21a 212
b
a 23
-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥-∑∑∑ ∴
2
3
2331ca c 1bc b 1ab a =-≥+++++ 7、 设0c b a >，，，且1c b a =++。

求证：()
2222
22c b a 3a
c c b b a ++≥++。

证：设22x b a =，2
2y c b =，22z a c =，0z y x >，，，则
x b a =，y c
b =，z a
c = 由Vasc 不等式可知：()
∑
∑
∑∑∑∑==⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔≥ac
ab a 3c
b a aa 3c
b b a 3b a y x 3x 433
2232
2
由均值不等式可知：ac ab ac ab 2+≤ ∴∑∑
+≥ac ab 2a 3ac
ab a 34
4
由柯西不等式可知：()
()
∑∑∑∑∑
=≥+ab
a 3a
b 2a 23a
c ab 2a 32
22
24
由均值不等式可知：
()
()
()
()2
22
2
2
2
2
a 9
3
a a 3ab
a 3∑∑∑∑=∑≥
∴⇔
≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∑2
2
a 3b
a (
)
222222c b a 3a c c b b a ++≥++ 8、 设0c b a >，，。

求证：8
3
a c c c
b b b a a 3
33≥
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+。

证：()()∑∑∑+=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+34333
b a a a b a a b a a 由柯西不等式可知：
()
()
()
()
∑∑∑∑∑∑∑∑+++=
+≥
+3
22342
23
2
23
4
ab b a 3b a 3a a b a a a b a a a
∵()22224a b a 2a ∑=+∑∑
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤，()223a ab 3∑∑≤
由均值不等式可知：()2
222a b a 3∑∑≤
∴()
()
()
()()()()()833
a 3a a a a a
b b a b a 3a a ab b a 3b a 3a a 2
22
22
22
22
23
2232
22
23
22342
2=
+
++≥
+++=
+++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∴83a c c c b b b a a 3
3
3
≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+
9、 设0c b a >，，。

求证：()()()()()()5
3
c b a c -b a b a c b -a c a c b a -c b 2
22
222222≥+++++++++++ 证：()()()()[]
∑∑
+++=+++2222
2222a c b b a -c b b a c b a -c b 由柯西不等式可知：()()[]()∑∑∑∑∑
++≥+++2
2
3
4
2
22
2
2
2
2
b
a 2
b a 2a a a
c b b a -c b b ∵()22224a b a 2a ∑=+∑∑
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤
∴()
()()()(
)()533
2113
a 2a a
b a 2a a b a 2b a 2a a 2
22
22
23
2
22
22
2342
2=
+
=
+≥+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∴
()()()()()()5
3c b a c -b a b a c b -a c a c b a -c b 2
22
222222≥
+++++++++++ 10、 设0c b a >，，。

求ca
b a
c bc a c b ab c b a 22
2222222++++++++的最小值。

证：()()
∑∑∑⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++3
224
322422222222222ab c b b b a c a a ab c b b b ab c a a a ab c b a 由柯西不等式可知：()
()
∑∑∑∑∑∑∑++
+≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+++2
232
22
232
23
224
3224b a ab a b a b a a ab c b b b a c a a
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤ ，()223a ab 3∑∑≤ 由均值不等式可知：()2
222a b a 3∑∑≤
()
()
()()()
()()()
3
2
3233
a 3a a 3
a 3a a b
a ab
a b
a
b a a 2
22
22
22
22
22
22
2
3
2
22
2
3
2
2=+=
++
+≥
++
+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 11、 设0c b a >，，，且3c b a =++。

求证：2
3
a c c c
b b b a a 2
22222≥+++++。

证：设()
∑∑∑+=+=+2234
22222
2b a a a b a a a a b a a 由柯西不等式可知：
()
∑∑∑+∑≥
+2
232
22234
b a a a b a a a
∵3a 3c b a =⇔=++∑，()22224a b a 2a ∑=+∑∑
∴()[]
()[]∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+++∑=
+++=
+=+2
2
3
3
2
2
2234
2
23223b a b a b a a 3
1b a c b a a
3
1b a a a 31b a a
由Vasc 不等式可知：()2
23a b a 3∑∑≤，()2
23a ab 3∑∑≤
由均值不等式可知：()2
222a b a 3∑∑≤
∴()
()
()()
()()()()
233
13131133
a 3a 3
a
a
a 3b
a b a b a a a 3b a a a 2
22
22
22
22
2
2
2
3
3
2
22
2
2
232
2=
+++
=∑+∑+∑+∑∑≥
+++∑∑=
+∑∑∑∑∑∑
∴
2
3
a c c c
b b b a a 222222≥+++++。