2022届百师联盟高三(上)开学数学试卷(理科)(全国ⅰ卷)(学生版+解析版)

2022届百师联盟高三（上）开学数学试卷（理科）（全国Ⅰ卷）
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则∁B A ＝（ ） A ．（﹣2，0）
B ．（﹣2，0]
C ．（﹣2，2]
D ．（0，2）
2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z ⋅(2−i)的虚部为（ ） A ．1
B ．i
C ．﹣1
D ．﹣i
3．（5分）已知函数f （x ）={
2−x +1，x ＜0f(x −2)，x ≥0
，则f （2021）＝（ ）
A ．2
B ．32
C ．12
D ．3
4．（5分）已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，a 1，a 3，a 6成等比数列，则a 5
＝（ ） A ．5
4
B ．7
4
C ．2
D ．3
5．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −2≤0y ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．7
2
D ．9
2
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．﹣4
B ．﹣2
C ．2
D ．4
7．（5分）在△ABC 中，AC →
=2AD →
，P 为BD 上一点，若AP →
=1
4
AB →
+λAC →
，则实数λ的值为（ ） A ．1
2
B ．2
3
C ．3
4
D ．3
8
8．（5分）四色定理（Fourcolortheorem ）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie ）提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A ．36种
B ．72种
C ．48种
D ．24种
9．（5分）将函数y ＝cos （2x +π
3）的图象向左平移φ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的可能取值为（ ） A ．π
3
B ．π
6
C ．
2π3
D ．π
2
10．（5分）已知实数x ，y 满足lnx ＜lny ，则下列结论正确的是（ ） A ．tan x ＜tan y B ．（12
）x ＜（1
2
）y
C ．
1+y x 2
＜
1+x y 2
D ．y 2+
4
x(y−x)
≥8
11．（5分）已知点F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若AB →
=3FB →
，则|AB |＝（ ） A ．9
B ．4√2
C ．2√2
D ．9
2
12．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1C 1上的动点（点P 与A 1，C 1不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A ．BD ⊥CP
B ．三棱锥
C ﹣BP
D 的体积为定值
C ．过P ，C ，
D 1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值最大为1
3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线f （x ）＝lnx +2x 在点（1，f （1））处的切线方程为 ． 14．（5分）写出一个与椭圆C ：
x 25+y 2
3
=1有公共焦点的椭圆方程 ． 15．（5分）在（x 2﹣2x +1）（x +1）4的展开式中，x 5的系数为 （用数字作答）． 16．（5分）已知函数f （x ）是定义域在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=
{32sin(π
2x)，0≤x ≤1，
(1
2)x +1，
x ＞1，
若关于x 的方程（f （x ））2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0有且仅有6
个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足√3cos B ﹣1＝sin （A +C ），b ＝4． （1）求sin B ；
（2）若C ﹣A =π
2
，求△ABC 的面积．
18．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？
非诗词迷
诗词迷
合计 男 女 合计
（2）采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中
任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设ξ＝|x﹣y|，求ξ的分布列及期望．
附：K2=
n(ad−bc)2
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
P（K2＞
k0）
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，P A＝PD＝AD＝DC＝2BC＝2，CD⊥平面P AD，Q为AD的中点．
（1）证明：AD⊥平面PBQ；
（2）求直线PC与平面P AB所成角的正弦值．
20．（12分）已知双曲线C：x2
a2
−y
2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为
√6
2
，且该双曲线经过点
P(√3，√22)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f(x)=me x−lnx
x
−1x−1．
（1）当m＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），均有f（x）≥0，求实数m的最小值．
（二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4一4：坐标系与参数方程]10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=1−√2t
y=√2t
（t为参数）．以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P（0，1），曲线C1与C2交于A，B两点，求||P A|﹣|PB||．
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）设函数f（x）的最小值为t，已知a2+b2+c2＝t，求a+2b+3c的最大值．
2022届百师联盟高三（上）开学数学试卷（理科）（全国Ⅰ卷）
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则∁B A ＝（ ） A ．（﹣2，0）
B ．（﹣2，0]
C ．（﹣2，2]
D ．（0，2）
【解答】解：∵A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}， ∴∁B A ＝（﹣2，0]． 故选：B ．
2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z ⋅(2−i)的虚部为（ ） A ．1
B ．i
C ．﹣1
D ．﹣i
【解答】解：∵z ＝1﹣i ，
∴z ⋅(2−i)=(1+i)⋅(2−i)=3+i ， ∴z ⋅(2−i)的虚部为1． 故选：A ．
3．（5分）已知函数f （x ）={
2−x +1，x ＜0f(x −2)，x ≥0
，则f （2021）＝（ ）
A ．2
B ．32
C ．12
D ．3
【解答】解：f （2021）＝f （2019）＝f （2017）＝...＝f （1）＝f （﹣1）＝2+1＝3， 故选：D ．
4．（5分）已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，a 1，a 3，a 6成等比数列，则a 5
＝（ ） A ．5
4
B ．7
4
C ．2
D ．3
【解答】解：∵{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴（1+2d ）2＝1×（1+5d ），解得d =1
4（d ≠0）， ∴a 5=a 1+4d =1+4×1
4=2． 故选：C ．
5．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +y −2≤0y ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．7
2
D ．9
2
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立{x −y +1=0
x +y −2=0，解得A （12，32
），
由z ＝x +2y ，得y =−−x 2+z 2，由图可知，当直线y =−−x 2+z
2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为7
2．
故选：C ．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．﹣4
B ．﹣2
C ．2
D ．4
【解答】解：由程序图可得， 第1次循环，S ＝4+2
−1=2，i ＝2， 第2次循环，S ＝2+2
1=4，i ＝3，
第3次循环，S ＝＝4+
2
−1=2，i ＝4， 第4次循环，S ＝＝2+21
=4，i ＝5，•
， 可知S 随i 变换的周期为2，当i ＝2022时退出循环， 输出的是S ＝2． 故选：C ．
7．（5分）在△ABC 中，AC →
=2AD →
，P 为BD 上一点，若AP →
=14AB →+λAC →，则实数λ的值
为（ ） A ．1
2
B ．2
3
C ．3
4
D ．3
8
【解答】解：∵AC →
=2AD →
，
∴由AP →
=14AB →+λAC →，得AP →=14AB →+λAC →=14
AB →
+2λAD →，
∵B ，P ，D 三点共线， ∴1
4+2λ＝1，得λ=3
8
，
故选：D ．
8．（5分）四色定理（Fourcolortheorem ）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie ）提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A ．36种
B ．72种
C ．48种
D ．24种
【解答】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为A 、B 、C 、D ， 然后给A 面涂色，有3种；给B 面涂色，有2种；
给C 面，若C 与A 相同色，则D 面可以涂2种；若C 与A 不同色，则D 面可以涂1种， 所以共有4×3×2×（2+1）＝72； 故选：B ．
9．（5分）将函数y ＝cos （2x +π
3
）的图象向左平移φ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的可能取值为（ ） A ．π
3
B ．π
6
C ．
2π3
D ．π
2
【解答】解：将函数y ＝cos （2x +π
3）的图象向左平移φ个单位后，得到的函数为f （x ）＝cos[2（x +φ）+π
3
]＝cos （2x +2φ+π3
）， 由题意可知，f （x ）的图象关于y 轴对称， 则2φ+π
3=kπ，k ∈Z ， 解得φ=−π
6+kπ
2，k ∈Z ， 当k ＝1时，φ=π3． 故选：A ．
10．（5分）已知实数x ，y 满足lnx ＜lny ，则下列结论正确的是（ ） A ．tan x ＜tan y B ．（1
2
）x
＜（1
2
）y
C ．
1+y x 2
＜
1+x y 2
D ．y 2+
4
x(y−x)
≥8
【解答】解：∵实数x ，y 满足lnx ＜lny ，∴0＜x ＜y ．
A ．tan x ＜tan y 不一定成立，例如取x =π3，y =7π
6，因此不正确； B .(12)x ＞(12
)y ，因此不正确；
C ．由（x ﹣y ）（x 2+xy +y 2+x +y ）＜0，可得：x 3﹣y 3+x 2﹣y 2＜0，化为：1+x y ＜
1+y x ，因此
不正确； D ．y 2+
4x(y−x)≥y 2+4(x+y−x 2
)
2=y 2+16
y 2≥8，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号，因此正确．
故选：D ．
11．（5分）已知点F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若AB →
=3FB →
，则|AB |＝（ ）
A．9B．4√2C．2√2D．9
2【解答】解：如图，设A，B在准线上的投影分别为C，D，
设BF＝m，则AF＝2m，
根据抛物线定义可得AC＝AF＝2m，BD＝BF＝m，
过B作BM⊥AC于M，
在△AMB中，AM＝m，AB＝3m，
∴cos∠BAC=1
3，sin∠BAC=
2√2
3．
∴AB=2p
2
=48
9
=92．
故选：D．
12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点（点P与A1，C1不重合），则下列说法不正确的是（）
A．BD⊥CP
B．三棱锥C﹣BPD的体积为定值
C．过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D ．DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值最大为1
3
【解答】解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1C 1上的动点， 对于A ，连接AC ，如图1所示：
所以BD ⊥AC ，因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，
又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又CP ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CP ，选项A 正确；
对于B ，设正方体的棱长为a ，则三棱锥C ﹣BPD 的体积为V 三棱锥C ﹣PBD ＝V 三棱锥P ﹣BCD =1
3
S
△BCD
•CC 1=1
6a 3是定值，选项B 正确；
对于C ，连接A 1C 1、B 1D 1，交于点O ，如图2所示，
当点P 在OC 1上（包括点O ）时，则过P ，C ，D 1三点作正方体的截面，截面图形D 1MC 为三角形；
当点P 在OA 1上（不包括点O ）时，则过P ，C ，D 1三点作正方体的截面，截面图形D 1NQC 为梯形，所以选项C 正确；
对于D ，连接A 1C 1、B 1D 1，交于点O ，如图3所示，
由题意知∠DOD 1是直线DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的最大值值，该角的正弦值最大，
最大值为
1√D 1D 2+OD 12
=
a +(√22
a)=
√6
3
，所以选项D 错误． 故选：D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线f （x ）＝lnx +2x 在点（1，f （1））处的切线方程为 3x ﹣y ﹣1＝0 ． 【解答】解：由已知得f （1）＝2，故切点为（1，2）， f ′(x)=1
x +2，故k ＝f ′（1）＝3，
切线方程为y ﹣2＝3（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：3x ﹣y ﹣1＝0．
14．（5分）写出一个与椭圆C ：x 25+y 23=1有公共焦点的椭圆方程 x 210+y 28
=1（答案
不唯一） ．
【解答】解：与椭圆C ：x 25+y 2
3=1有公共焦点坐标的椭圆系为：x 25+λ+y 23+λ
=1（λ＞
﹣3），
令λ＝5，即可得到一个与椭圆C ：x 25+y 2
3=1有公共焦点的椭圆方程x 210+y 28
=1，
故答案为：
x 210
+
y 28
=1（答案不唯一）．
15．（5分）在（x 2﹣2x +1）（x +1）4的展开式中，x 5的系数为 2 （用数字作答）．
【解答】解：（x +1）4的展开式的通项公式为T r +1=C 4r x 4﹣
r ，
又（x 2﹣2x +1）（x +1）4＝x 2（x +1）4﹣2x （x +1）4+（x +1）4，
所以（x 2﹣2x +1）（x +1）4的展开式中，x 5的系数为C 41
−2C 40=2．
故答案为：2．
16．（5分）已知函数f （x ）是定义域在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=
{32sin(π
2x)，0≤x ≤1，
(1
2)x +1，
x ＞1，
若关于x 的方程（f （x ））2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0有且仅有6
个不同实数根，则实数a 的取值范围是 （1，32
） ．
【解答】解：根据题意，函数f （x ）是定义域在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=
{32sin(π2x)，0≤x ≤1，
(1
2)x +1，
x ＞1，
则f （x ）的图象大致如图：
对于方程（f （x ））2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0，变形可得[f （x ）﹣a ][f （x ）﹣1]＝0， 即方程有两个根f （x ）＝1和f （x ）＝a ， y ＝f （x ）与直线y ＝1有且只有2个交点，
若关于x 的方程（f （x ））2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0有且仅有6个不同实数根，必有y ＝f （x ）与直线y ＝a 有4个交点， 结合图象可得：1＜a ＜3
2
， 即a 的取值范围为（1，32）；
故答案为：（1，3
2
）．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足√3cos B ﹣1＝sin （A +C ），b ＝4． （1）求sin B ；
（2）若C ﹣A =π
2，求△ABC 的面积．
【解答】解：（1）因为√3cos B﹣1＝sin（A+C）＝sin B，
所以√3cos B﹣sin B＝1，可得cos（B+π
6）=
1
2，
因为B∈（0，π），可得B+π
6
∈（
π
6
，
7π
6
），
所以B+π
6
=π3，
可得B=π
6，可得sin B=
1
2．
（2）因为b＝4，B=π
6，C﹣A=
π
2，
所以A+C＝A+A+π
2
=5π6，可得A=π6，C=2π3，
所以由A＝B，可得a＝b＝4，
所以S△ABC=1
2ab sin C=
1
2
×4×4×√32=4√3．
18．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？
非诗词迷诗词迷合计男
女
合计
（2）采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设ξ＝|x﹣y|，求ξ的分布列及期望．
附：K2=
n(ad−bc)2
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
P（K2＞
k0）
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）在抽取的100人中，“非诗词迷”共有75名，则“诗词迷”有25名，
又女性有55名，
所以2×2列联表如下所示：
非诗词迷 诗词迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，可得K 2
=100×(30×10−45×15)2
75×25×45×55=100
33
≈3.030＜3.841，
所以没有95%的把握认为是否为“诗词述”与性别有关；
（2）由题意可知，采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人，则男性3名，女性2名，再抽取2人， 当x ＝2时，y ＝0， 当x ＝1时，y ＝1， 当x ＝0时，y ＝2， 所以ξ的所有取值为0，2， 则P(ξ=0)=C 21C 31
C 52=3
5，
P(ξ=2)=
C 30C 22
+C 32C 2
C 5
2=2
5，
所以ξ的分布列为：
ξ 0
2
P
35
25
故E(ξ)=0×3
5
+2×
25=45
． 19．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，P A ＝PD ＝AD ＝DC ＝2BC ＝2，CD ⊥平面P AD ，Q 为AD 的中点． （1）证明：AD ⊥平面PBQ ；
（2）求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为△P AD 为正三角形，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ． 又AD ∥BC ，AD ＝DC ＝2BC ，
所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以BQ ∥CD ． 因为CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥AD ． 所以BQ ⊥AD ． 又PQ ∩BQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PBQ ．
（2）解：因为PQ ⊥AD ．PQ ⊥CD ， 所以PQ ⊥平面ABCD ． 所以QA ，QB ，QP 两两垂直， 由题得PQ =√3．
分别以直线QA ，QB ，QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则Q （0，0，0），A （1，0，0），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），P(0，0，√3)， PC →
=(−1，2，−√3)，AP →
=(−1，0，√3)，AB →
=(−1，2，0)， 设m →=(x ，y ，z)为平面P AB 的一个法向量，
由{m →
⋅AP →
=0，m →⋅AB →=0，得{−x +√3z =0，−x +2y =0，取z ＝1，则m →=(√3，√32
，1)．
设直线PC 与平面P AB 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈m →
⋅PC →
〉|=√38×√
194
=√114
38， 所以直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值为
√114
38
．
20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2
b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√62
，且该双曲线经过点P(√3，
√2
2
)．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2均经过点Q （2，1），且直线l 1，l 2与双曲线C 分别交于A ，B 两点（A ，B 异于点Q ），若k 1+k 2＝1，试判断直线AB 是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由离心率为c
a =
√6
2
，且c 2＝a 2+b 2，得c 2＝3b 2，a 2＝2b 2， 即双曲线方程为
x 2
2b 2
−
y 2b 2
=1．
又点P(√3，√2
2)在双曲线C 上，∴3
2b −1
2b =1，
解得b 2＝1，a 2＝2， ∴双曲线C 的方程为
x 22
−y 2=1；
（2）当直线AB 的斜率不存在时，点A ，B 关于x 轴对称， 设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0）， 则由k 1+k 2＝1，得y 0−1x 0−2
+
−y 0−1x 0−2
=1，
即
−2x 0−2
=1，解得x 0＝0，不符合题意，故直线AB 的斜率存在．
不妨设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，代入
x 22
−y 2=1，
整理得（2k 2﹣1）x 2+4ktx +2t 2+2＝0（2k 2﹣1≠0），△＞0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4kt
2k 2
−1，x 1x 2=
2t 2+2
2k 2
−1
由k 1+k 2＝1，得
y 1−1x 1−2
+
y 2−1x 2−2
=1，即
kx 1+t−1x 1−2
+kx 2+t−1x 2−2
=1，
整理得（2k ﹣1）x 1x 2+（t ﹣2k +1）（x 1+x 2）﹣4t ＝0，
∴(2k−1)⋅2t2+2
2k2−1
+(t−2k+1)⋅(−4kt
2k2−1
)−4t=0，
整理得：t2+（2k﹣2）t﹣1+2k＝0，即（t﹣1）（t+2k﹣1）＝0，
∴t＝1或t＝1﹣2k．
当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx+1，经过定点（0，1）；
当t＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意．综上，直线AB过定点（0，1）．
21．（12分）已知函数f(x)=me x−lnx
x
−1x−1．
（1）当m＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），均有f（x）≥0，求实数m的最小值．
【解答】解：（1）函数f(x)=me x−lnx
x
−1x−1，
所以f（x）的定义域为（0，+∞），
当m＝0时，f(x)=−lnx
x
−1x−1，则f′(x)=lnx
x2
，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；（2）因为对任意的x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，
即m≥x+lnx+1
xe x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)=x+lnx+1
xe x，
则g′(x)=−(x+1)(x+lnx)
x2e x
，
令h（x）＝x+lnx，
则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为ℎ(1
e
)=1e−1＜0，h（1）＝1＞0，
所以存在x0∈(1
e，1)，使得h（x0）＝x0+lnx0＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
由x0+lnx0＝0，可得x0＝﹣lnx0，则e x0=e−lnx0=1
x0．
所以g(x)max =g(x 0)=x 0+lnx 0+1
x 0e x 0
=1，
又m ≥
x+lnx+1
xe x
恒成立， 所以m ≥1， 故m 的最小值为l ．
（二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4一4：坐标系与参数方程]10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{
x =1−√2t
y =√2t
（t 为参数）．以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P （0，1），曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，求||P A |﹣|PB ||． 【解答】解：（1）由{
x =1−√2t
y =√2t
（t 为参数），消去参数t ，
可得直线C 1的普通方程为x +y ﹣1＝0． 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
∴x 2+y 2﹣2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x ＝0； （2）直线C 1的参数方程的标准形式为{
x =−
√2
2
t′
y =1+
√2
2
t′
（t ′为参数）， 代入x 2+y 2﹣2x ＝0，整理可得(t ′)2+2√2t′+1=0． ∴t′1+t′2=−2√2，t ′1t ′2＝1，
∴||P A |﹣|PB ||＝|t ′1﹣t ′2|=√(t′1+t′2)2−4t′1t′2=√8−4=2． [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|． （1）求不等式f （x ）≥6的解集；
（2）设函数f （x ）的最小值为t ，已知a 2+b 2+c 2＝t ，求a +2b +3c 的最大值．
【解答】解：（1）f （x ）={−2x +2，x ≤−1
4，−1＜x ＜3
2x −2，x ≥3
，
不等式f （x ）≥6等价于{x ≤−1−2x +2≥6或{−1＜x ＜34≥6或{x ≥32x −2≥6，
解得：x ≤﹣2或x ≥4，
综上所述，不等式解集是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． （2）由（1）可知f （x ）min ＝4，即t ＝4， 所以a 2+b 2+c 2＝4，
由柯西不等式可得（a +2b +3c ）²≤（1²+2²+3²）（a 2+b 2+c 2）＝56， 当且仅当a
1=
b 2
=c
3
，即a =
√14
7
，b =
2√147，c =3√14
7
时等号成立， 所以a +2b +3c ≤2√14，
所以a +2b +3c 的最大值为2√14．。