【质检试卷】2009年4月福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试卷及答案

2009年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式
s = 13
V Sh =
其中x -
为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh = 234
4,3
S R V R ππ==
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1.复数()()122i i -+等于( )
A 43i -
B 3i -
C 34i -
D 3i 2.已知全集{}1,2,3,4,U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则( ) A P Q Q = B ()U P Q Q =ð C P
Q U = D ()
U P Q P =ð 3．为了测算如图阴影部分的面积，作一个变长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800
个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )
A 12
B 9
C 8
D 6 4.函数()1
f x Inx x
=-
的零点所在的区间是( ) A ()0,1 B ()1,e C (),3e D ()3,+∞
5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是变长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积．．．为( )
A 32π
B 54π
C π
D 4
π
6 “1k =”是“直线0x y k -+=与圆2
2
1x y +=相交”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
7.设向量a 与b 的夹角为θ，()()2,1,24,5a a b =+=则cos θ等于( )
A
B C 35 D 4
5
8.设,αβ为不重合的平面，,m n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( ) A 若,,//,//m n m n αβαβ⊂⊂则 B 若,,,n n m m αββα⊂⊥⊥⊥则 C 若//,//,,m n m n αβαβ⊥⊥则 D 若,,,n m n m αββα⊥⊥⊥⊥则
9.双曲线22
21x y a
-=过点()
P ，则双曲线的焦点坐标是( )
A )(),
B )(),
C ((,0,
D ((,0,
10已知0a
，直线220a x y ++=与直线()2110bx a y -+-=互相垂直，则ab 的最小值( )
A 4
B 3
C 3
D 1
11.已知()f x '是函数()y f x =的导函数，且()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =函数的图像可能是( )
12.设M 是由平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称M 为锥，现有下列平面向量的集合：
①(){
}
2
,x y x y ≤ ②()20,30x y x y x y ⎧⎫-⎧⎪
⎪
⎨⎨
⎬-⎩⎪⎪⎩
⎭
③
(){}
2
2
,20x y x
y - ④(){
}
22,340x y x y x
+-
上述为锥的集合的个数是( )
A 1
B 2
C 3
D 4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置。

13.在ABC ∆中，角A,B ,C 的对边分别为,,a b c ，已知0
60,75,4B C a ===， 则b
14.如图所示的程序框图，运行该程序，输出的第3个数是
15.已知,x y 满足约束条件,1,1y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-的最大值是
16.对于实数,,a b c ，若在①lg 21a c =--；②lg32a b =-；③lg 4222a c =--；④lg5a c =+；⑤lg 61a b c =+--中，有且只有两个式子是不成立．．．的，则不成立的式子的序号是
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知()4sin ,0,52ππαα⎛⎫
-=
∈ ⎪⎝⎭
（1）求2
sin 2cos
2α
α-的值
（2）求函数()51
cos sin 2cos 262
f x x x α=-的单调递增区间。

18. ．（本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下： 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85
（I ） 用茎叶图表示这两组数据；
（II ） 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； （I ） 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明
理由。

19．（本小题满分12分）
下面一组图形为三棱锥P-ABC 的底面与三个侧面，已知,,AB BC PA AB PA AC ⊥⊥⊥
（I ） 写出三棱锥P-ABC 中所有的线面垂直关系（不要求证明）； （II ） 在三棱锥P-ABC 中，M 是PA 上的一点，求证:平面MBC ⊥平面PAB （III ） 在三棱锥P-ABC 中，M 是PA 的中点，且，求三棱锥P-MBC 的体积 20. （本小题满分12分）
国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测， 某地今年小排量Q 型车每月的销量将以10%的增长率增长，小排量R 型车的销量每月递增20辆，已知该地今年1月份销售Q 型车和R 型车均为60辆，据此推测，该地今年这两款车的销售总量能否超过3000辆？ （参考数据：1.111≈2.9 。

1.112≈3.1.，1.113≈3.5） 21. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，离心率2
e =，一个焦点的坐标为)
（I ） 求椭圆C 的方程；
（II ）
设直线1
:2
l y x m =
+与椭圆C 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T 。

当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值。

22. （本小题满分12分） 已知函数()()2,mx
f x m n R x n
=∈+在1x =处取得极值2 ， （I ） 求()f x 的解析式；
（II ）
设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点，过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ，试问：是否存在这样的点A,使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由；
（III ）
设函数()2
2g x x ax a =-+，若对于任意1x R ∈的，总存在[]21,1x ∈-，使得
()()21g x f x ≤，求实数a 的取值范围。

2009年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本
解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变题的内容和难度，可视影
响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分
1.A
2.C
3. B
4.B
5.C
6. A
7. D
8.B
9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共16分。

13. 14.-1 15. 5 16. ②⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力。

满分12分。

解：
()44
sin ,sin 55
30,,cos 25πααπαα-=∴=
⎛⎫
∈∴=
⎪⎝⎭
又
（I ）
2
sin 2cos 2
1cos 2sin cos 2
3
14352552425
α
αααα-+
=-
+=⨯⨯- （II ）
()531s i n 2c o s 2
652i n 242222
4
2
3,88
f x x x x k x k k x k k Z
πππππππ
π
ππ=⨯-⎛⎫=
- ⎪⎝
⎭-≤-
≤+
-
≤≤+
∈令得
∴函数()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦ k Z ∈
18.本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分
解：（I ）作出茎叶图如下；
（II ）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(),x y 表示基本事件：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()82,95,82,75,82,80,82,90,82,85,82,95,82,75,82,80,82,90,82,85,79,95,79,75,79,80,79,90,79,85,95,95,95,75,95,80,95,90,95,85,87,95,87,75,87,80,87,90,87,85,
基本事件总数25n =
记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含的基本事件：
()()()()()()()()()()()()82,75,82,80,82,75,82,80,79,75,95,75,
95,80,95,90,95,85,87,75,87,80,87,85,
事件A 包含的基本事件数12m = 所以()12
25
m P A n =
=
（III ）派甲参赛比较合适，理由如下：
170180390192275855x -
=⨯+⨯+⨯+++++=甲（）， 1
(70180290250505)855x -=⨯+⨯+⨯+++++=乙
2
222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65S =-+-+-+-+-=甲
222222
1[(7585)(8085)(8085)(9085)(9585)]505
S =-+-+-+-+-=乙
22
,x x s s -
-
=<乙甲乙甲， ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率12
5
P =， 乙获得85分以上（含85分）的概率235
P =
21P P >，∴派乙参赛比较合适。

19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、三棱锥体积的呢个基础知识，考查
空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，满分12分。

解法一：（I ）如图，在四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ， B C P A B ⊥平面 （II ）
,,,,PA AB PA AC AB AC A
PA ABC PA BC
BC AB PA
AB A
BC PAB BC MBC MBC PAB
⊥⊥=∴⊥∴⊥⊥=∴⊥⊂∴⊥平面又
且平面又平面平面平面
（III ）
3,PA =M 是PA 的中点，32
MA ∴=
4,3
1113433
3322
111
4336
332
633
M A B C A B C P A B C A B C P M B C P A B C M A B C A B B C V S M A V S P A V V V -∆-∆---==∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=∴=-=-=又又
解法二：（I ）同解法一 （II ）同解法一 （III ）
3,4,PA AB == M 是PA 的中点
111
343222
PBM PBA S S ∆∆∴==⨯⨯⨯=
又
BC PAB ⊥平面且BC=3
11
33333
P MBC C PBM PBM V V S BC --∆∴==⋅=⨯⨯=
20 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满
分12分
解：设该地今年第n 月Q 型车和R 型车的销量分别为n a 辆和n b 辆 依题意，得{}n a 是首项160,a =，公比110% 1.1q =+=的等比数列
{}n b 是首项160,b =，公差20d =的等差数列
设{}n a 的前n 项和为n S ，则()
()121212601.116001.1112601.11
S -=
=-≈-
设{}n b 的前n 项和为n T ，则()1220
601212121720132020402
T =⨯+⨯-=+= 1212126020403300S T ∴+≈+=
∴可推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆
21.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力，考查数形结合思想和化
归与转化思想等，满分12分。

解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=()0a
b
3,2
c c e a ==
= 2222,1a b a c ∴==-= ∴椭圆C 的方程是2
214
x y +=
（II ）2
214
12
x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由
2
22221442220
28-40,22
x x m x mx m m m ⎛⎫
++=++-= ⎪⎝⎭∆∴-得，即令0，得 设()()1122,,,A x y
B x y ，AB
中点为()00,M
x y
()21212012002,22111,,
222
1,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-=
=
==+=-=+=⎛
⎫∴- ⎪
⎝
⎭则
()1012,0,,1233,,044MT AB m
T t MT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=
⋅=-+⎛⎫
=
-∴- ⎪
⎝⎭
设解得
11222TAB MT S AB MT m ∆∴==∴=
⋅==-<<∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为5
8
解法二：（I ）通解法一
（
II ）2
214
12
x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由
2
22221442220
28-40,x x m x mx m m m ⎛⎫
++=++-= ⎪⎝⎭∆>><<得，即令0，得 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y
212122,22x x m x x m ∴+=-=-
()01200111,,222
1,2x x x m y x m m M m m =
+=-=+=⎛⎫
∴- ⎪
⎝⎭
MT AB ⊥
MT ∴的方程为3
22
y x m =--
令0y =，得34x m =-
，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -
()1212225
4111
244
25
5 828
TAB TR m S TR y y TR x x TR m m ∆∴=
=⋅-=⋅-=+-=≤⋅
≤
∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为5
8
22.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查shuxing 结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

（I ）
()()()()
()
222
2
2
2
2,2mx
f x x n
m x n mx x
mn mx f x x n x n =++-⋅-'∴=
=
++
又()f x ∴在1x =处取得极值2
()()()2
010412,12141
mn n f m m n f n
x
f x x -=⎧'=⎧=⎧⎪⎪
∴⎨⎨⎨
===⎩⎪⎪⎩+⎩∴=+ 即 解得 （II ）由（I ）得()()
2
2
2
441x f x x
-'=
+
假设存在满足条件的点A,且00204,1x A x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，则2
041OA x
k x =+ ()()()(
)2
02
00222200
2
042000
22200
2
00044164224121644,,5421440,,5OA
x x x f x x x x x k f x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫⎝⎭'== ⎪⎝⎭⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎛⎫
'==∴= ⎪+⎝⎭+≠∴==依题意得即 所以存在满足条件的点A ，此时点A
是坐标为⎝⎭
或⎛ ⎝⎭
（III ）()()()
()
2
2
4111x x f x x
-+-'=
+
令()011f x x x '==-=，得或
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x 在1x =-处取得极小值()12f -=-
在1x =处取得极大值()12f = 又
0x
时，()0f x ，()f x ∴的最小值为-2
对于任意的1x R ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤
∴当[]1,1x ∈-时，()g x 最小值不大于-2
又()()2
2
2
2g x x ax a x a a a =-+=-+-
当 1a ≤-时，()g x 的最小值为()113g a -=+，由132a +≤- 得1a ≤-
当1a ≥时，()g x 最小值为()11g a =-，由12a -≤-，得3a ≥ 当1
1a -时，()g x 的最小值为()2g a a a =-
由2
2a a -≤-，得1a ≤-或2a ≥，又11a ∴-，所以此时a 不存在。

综上，a 的取值范围是(][)13-∞-+∞，，
解法二：（I ）同解法一 （II ）同解法一 （III ）
()()()
()
2
2
4111x x f x x
-+-'=
+，令()0f x '=得11x x =-=或
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x 在1x =-处取得极小值()12f -=-
在1x =处取得极大值()12f = 又
0x
时，()0f x ，()f x ∴的最小值为-2
对于任意的1x R ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤
∴当[]1,1x ∈-时，()2g x ≤-有解
即2
220x ax a -++≤在[]11-，有解
设()2
22h x x ax a =-++
()()()()()
()()[]
2
2222242424210,-12;
0,21
2220212201
0,
10,10,10,2311322011a a a a a a a a a a x ax a x a x ax a x h a a h a a a x ax a ∆=--+=--=-+∆∆===-=-++≤==--++≤=-∆⎧⎪
-⎨⎪-⎩
∆⎧⎪
⎨⎪⎩
--++≤-由得由得或时，由，解得，由，解得由知不存在由解得综上，当时，在，上无解 所以当1a ≤-或3a ≥时，[]
2
22011x ax a -++≤-在，上有解 解法三：（I ）同解法一
（II ）同解法一 （III ）()()()
()
2
2
4111x x f x x
-+-'=
+，令()0f x '=得11x x =-=或
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x 在1x =-处取得极小值()12f -=-
在1x =处取得极大值()12f = 又
0x
时，()0f x ，()f x ∴的最小值为-2
对于任意的1x R ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x ≤
∴当[]1,1x ∈-时，()2g x ≤-有解
[]
[]()(]()(]
(]()()(]()()2
29221,,3,14193,0,2499224,31
9
004
199012,2,0149
01,10
01112t t x t at t t a t t t t t t t a t a t a t h x t t t t t h x t
h t h t h ++-=≥∈⎛⎫
∈-≤++ ⎪
⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫++=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴≤-=≥∴⎛⎫
∈≥++=++∈ ⎪⎝⎭'∈=-∴≥=令则当时当且仅当时，等号成立当时，不成立，不存在
当，时，设，，在，为减函数3
a ≥，从而
综上，a 的取值范围是(][)13-∞-+∞，，。