求一元二次方程近似解20页PPT
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人教版九年级数学上册精品教学课件22.2二次函数与一元二次方程
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
0 -2, 1 y = x2－x＋1
相应的一元二次 方 程 的 根 x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3
0 个交点； 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0 的解集是一切实数.
-1
O
3
x
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 y
第二十二章
二次函数
22.2二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等
式的解集.（重点）
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。
研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。
本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。
煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。
煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。
碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。
同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。
除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。
氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。
此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。
因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。
煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。
氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。
然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。
硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。
硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。
因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。
目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。
除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。
煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。
煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。
孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
二次函数与一元二次方程ppt课件
垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
人教版高中数学必修1(A版) 用二分法求方程的近似解 PPT课件
3.1.2用二分法求方程的近似解
情境引入
情境一：在一个风雨交加的夜里，从甲地到乙地 的某一处电话线路出现了故障。这是一条长10公 里的线路，其中每隔50米有一个电话杆。你能设 计一种方案，以检查最少的次数查出故障吗？ 情境二：中央电视台“幸运52”节目有一个限时 猜物的游戏：如果在限定的时间内你猜中某种商 品的价格，就把该商品奖励给选手。 现在一部价格在500~1000之间的手机，你能设 计一种可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
重复上面的步骤，得零点x0 (2.5,2.625);
f (2.5) f (2.75) 0, 所以零点在区间（2.5, 2.75）内；
x0 (2.5,2.5625), x0 (2.53125,2.5625), x0 (2.53125,2.5390625), 由于 | 2.5390625- 2.53125| 0.0078125 0.01,
(1)若f (c) 0，则c就是函数的零点； (2)若f (a ) f (c) 0, 则令b c(此时零点x0 (a, c )); (3)若f (c) f (b) 0, 则令a c(此时零点x0 (c, b)).
4.判断是否达到精确度： 即若 | a - c | , 则得到零点的近似值a(或b)； 否则重复2~4.
1 1 x 解：原方程可化为3 1 0,即3 1 x 1 x 1
x
g ( x)
且只有一个交点，所以原方程只有一解x x0 . x 1 x x 令f ( x) 3 3 1, x 1 x 1
f (0) 1 1 1 1 0, 1 1 3 f (0.5) 2 1 0, 3 3 x0 (.05, 0).
h( x )
情境引入
情境一：在一个风雨交加的夜里，从甲地到乙地 的某一处电话线路出现了故障。这是一条长10公 里的线路，其中每隔50米有一个电话杆。你能设 计一种方案，以检查最少的次数查出故障吗？ 情境二：中央电视台“幸运52”节目有一个限时 猜物的游戏：如果在限定的时间内你猜中某种商 品的价格，就把该商品奖励给选手。 现在一部价格在500~1000之间的手机，你能设 计一种可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
重复上面的步骤，得零点x0 (2.5,2.625);
f (2.5) f (2.75) 0, 所以零点在区间（2.5, 2.75）内；
x0 (2.5,2.5625), x0 (2.53125,2.5625), x0 (2.53125,2.5390625), 由于 | 2.5390625- 2.53125| 0.0078125 0.01,
(1)若f (c) 0，则c就是函数的零点； (2)若f (a ) f (c) 0, 则令b c(此时零点x0 (a, c )); (3)若f (c) f (b) 0, 则令a c(此时零点x0 (c, b)).
4.判断是否达到精确度： 即若 | a - c | , 则得到零点的近似值a(或b)； 否则重复2~4.
1 1 x 解：原方程可化为3 1 0,即3 1 x 1 x 1
x
g ( x)
且只有一个交点，所以原方程只有一解x x0 . x 1 x x 令f ( x) 3 3 1, x 1 x 1
f (0) 1 1 1 1 0, 1 1 3 f (0.5) 2 1 0, 3 3 x0 (.05, 0).
h( x )
二次函数与一元二次方程 ppt课件
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是
20.5 h
在求直线h=20.5和h=20t-5t2的交点问题，将
O
t
直线h=20.5画出来，即可得出t.
如图所示，最高点纵坐标正好为20，那么直 线h=20.5和二次函数h=20t-5t2没有交点，因 为小球飞行轨迹在2S(顶点横坐标)时，达到 最大高度(最大值)，不会再有比20m还高的
归纳
从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可得如下结论
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴公共点的横 坐标是x0
当x=x0时 ，函数 y=ax2+bx+c 的值 y=0
x=x0是方程 ax2+bx+c = 0的一 个根
问题6 不画图象，你能确定二次函数的解析式、图象与x轴的公共点个数吗？
∆ = b2-4ac
图中代表最高的点距地面是否大于或等于15m 二次函数最高点的纵坐标是否大于或等于15
思路点拨：高度为15 m， 即在函数h=20t-5t2中， 令h=15
①解：解方程 15=20t-5t2， t 2-4t+3=0, t1=1，t2=3.
∴当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为15m.
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在
解：补全图象得：
方程ax2 + bx＋c = 1的根就是抛物线 y = ax2 + bx
＋c与直线y=1的公共点的横坐标.
y=1
由图可得有两个不同的交点，所以有两个不相
等的实数根
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示． (2) 方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，则k的取值范围是多少？
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根
用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
12
题型 1 一元二次方程的解的求法应用
10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方 程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容 补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根．
13
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、 因式分解法)求解．
(3)直接写出使y随x的增大而减小的自变量x的取值范
围：___x_≥__2_；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．
由图象可知，k＜2.
返回
19
题型 3 一元二次不等式的解集的求法应用
上标出方程的解．
略．
返回 17
题型
2
图象法说明一元二次方程 的解与不等式的解集关系
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，根据图象 解答下列问题：
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根：__x_1_＝__1_，__x_2＝__3___;
18
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集：_1_＜__x__＜__3__；
返回 9
7．(中考•咸宁)如图，直线y＝mx＋n 与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－ 1，p)，B(4，q)两点，则关于x的 不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解 集是_x_＜__－___1_或__x_＞__4．
返回
10
8．如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，
使y≤1成立的x的取值范围是( D )
A．2.18
1 第2课时 一元二次方程的根及近似解
本课件仅供交流学习使用，严禁用于任何商业用途
全品教学课件
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九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
全品教学课件
数学
九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
九年级数学下册二次函数 . 二次函数与一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
观察函数图象可知：当x＜－1或x＞1时，y＞0， ∴不等式x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1.
2021/12/11
第二十四页，共二十五页。
内容(nèiróng)总结
5 二次函数与一元二次方程(fāngchéng)。第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程(fāngchéng)的近似根。(1)方程(fāngchéng) －2x2＋8x－6＝0的解是什么。解：函数y＝－2x2＋8x－6的图象如图．。x3－x－2＝0的解(结果精确到0.1)．。[解析] 由题意可知点A
2021/12/11
第十页，共二十五页。
图K－18－3
第2课时 利用(lìyòng)二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] 由图象可知当x＝2时，y＜0；当x＝3时，y＞0.由于直线x＝1是它的对称 轴，则由二次函数图象的对称性可知：当x＝0时，y＜0；当x＝－1时，y＞0.所以另 一个根x2的取值范围为－1＜x2＜0.故答案为－1＜x2＜0.
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
2021/12/11
图K－18－1
第五页，共二十五页。
第2课时 利用二次函数(hánshù)的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] C 由图象可知其对称轴为直线x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线 与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是 x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
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内容(nèiróng)总结
5 二次函数与一元二次方程(fāngchéng)。第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程(fāngchéng)的近似根。(1)方程(fāngchéng) －2x2＋8x－6＝0的解是什么。解：函数y＝－2x2＋8x－6的图象如图．。x3－x－2＝0的解(结果精确到0.1)．。[解析] 由题意可知点A
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图K－18－3
第2课时 利用(lìyòng)二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] 由图象可知当x＝2时，y＜0；当x＝3时，y＞0.由于直线x＝1是它的对称 轴，则由二次函数图象的对称性可知：当x＝0时，y＜0；当x＝－1时，y＞0.所以另 一个根x2的取值范围为－1＜x2＜0.故答案为－1＜x2＜0.
B．3.2
C．4.4
D．以上都不对
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图K－18－1
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第2课时 利用二次函数(hánshù)的图象求一元二次方程的近似根
[解析(jiě xī)] C 由图象可知其对称轴为直线x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线 与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是 x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
初三下数学课件(北师版)-利用二次函数图象求一元二次方程的近似值
利用二次函数图象求一元二次方程的近似值．
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法：(1)先画出函数 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象；(2)确定抛物线与 x 轴的交点分别在哪两个相 邻的 整数 之间；(3)列表，在(2)中的两个 整数 之间取值，从而利用计算器 确定方程的近似根．
自我诊断 1.下列表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数值 y 的对
自我诊断 2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1，与 x 轴的一个交 点是(3,0)，则方程式 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3 .
1．借助二次函数 y＝2x2－3x－1 的图象，可求出下面方程______的近似根
(C ) A．x2＋5x－1＝0
B．2x2＋3x－1＝0
应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c 为常数)的一个解 x 的范围是
( C)
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
易错点：不会利用对称轴公式求抛物线与 x 轴的交点坐标．
(2)由题意可得yy13＝ ＝xx＋2＋n2，x－10 ∴x2＋2x－10＝x＋n，x2＋x－10－n＝0， ∵只有一个交点，∴b2－4ac＝0，∴1－4×(－10－n)＝0，n＝－441.
12．已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)直线 y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点 M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＜x2)， 当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴为 x＝1，∴－2×b－1＝1，∴b＝2，抛物线 y＝ －x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)，即－x2＋bx＋c＝0 的 解为 m－2 和 2m＋1，则有(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，∴ m＝1，c＝3，∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法：(1)先画出函数 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象；(2)确定抛物线与 x 轴的交点分别在哪两个相 邻的 整数 之间；(3)列表，在(2)中的两个 整数 之间取值，从而利用计算器 确定方程的近似根．
自我诊断 1.下列表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数值 y 的对
自我诊断 2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1，与 x 轴的一个交 点是(3,0)，则方程式 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3 .
1．借助二次函数 y＝2x2－3x－1 的图象，可求出下面方程______的近似根
(C ) A．x2＋5x－1＝0
B．2x2＋3x－1＝0
应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c 为常数)的一个解 x 的范围是
( C)
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
易错点：不会利用对称轴公式求抛物线与 x 轴的交点坐标．
(2)由题意可得yy13＝ ＝xx＋2＋n2，x－10 ∴x2＋2x－10＝x＋n，x2＋x－10－n＝0， ∵只有一个交点，∴b2－4ac＝0，∴1－4×(－10－n)＝0，n＝－441.
12．已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)直线 y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点 M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＜x2)， 当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴为 x＝1，∴－2×b－1＝1，∴b＝2，抛物线 y＝ －x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)，即－x2＋bx＋c＝0 的 解为 m－2 和 2m＋1，则有(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，∴ m＝1，c＝3，∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
高一数学一元二次不等式应用.pptx
转化为 x 的区间是 (,1.373 46) U (9.939 54, ) ．
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1. 解下列不等式 (1)xx－ －12≥0；(2)23x－－41x>1.
解析：(1)原不等式等价于xx－－21≠x0－ ，2≥0， 解得 x≤1 或 x>2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1，或 x>2}．
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(3)当 x 3 时, f (x) 0 .又函数 y=f(x)的图像是一条不间断的 曲线,并且 f(x)的符号每顺次经过 x 轴的一个交点就会发生
一次变化,其规律很明显，从右到左在每个区间 f(x)符号正负相间.
穿针引线法
所以,不等式的解 集为 (1, 2) (3, ) .
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25 依题意，得 y 2400m 8% 78%, 即 12 m(x2 42x 400) 2400m 8% 78%,
25 整理，得 x2 42x 88 0, 解得 44 x 2. 根据 x 的实际意义，知 0 x 8, 所以 0 x 2 为所求． 答 x 的取值范围是 0 x 2 ．
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1.一元二次方程根的分布问题； 2.分式不等式的解法； 3.高次不等式的解法； 4.实际应用问题．
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5.三个二次的关系：
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迎头搏击才能前进，勇气减轻了命运的打
击。
——德谟克里特
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感谢您的观看。
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化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或<０)．再利用穿根法写出解 集，其穿根的步骤： (1)分解因式； (2)确定零点； (3)在数轴上按照从小到大的顺序标根； (4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．