辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题

2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学文科试卷时间:120分钟满分:150分命题人：庞德艳校对人：刘芷欣
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 •已知集合M J x|x
2 -5x • 4乞0、N 邛.0,1,2,3?则集合M门N中元素个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
勺+ 2i
2.己知------- =b i a,b三R，其中i为虚数单位，则a -b二（）
i
A. -1
B. 1
C. 2
D. -3
3•已知log1 a :: log 1 b，则下列不等式一定成立的是（）
2 2
A. f l] cf l]
B.
C.In （a—b）＞0
D. 3心
①13丿 a b
4.若将函数f（x） = 2sin x+ 的图象向右平移一个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来
I 6丿4
的2倍，得到函数g x的图象, 则函数g x图象的一条对称轴为( )
7 二7 二7
A. X = —B= - C.x D.x二——
1224126
x y辽3
5•若实数x, y满足x _ y
1，则z的取值范围为（）
2x y 3x
A. 1,二
B.1,二C
.
2,； D.0,1
6. 在Rt ABC 中,
A
-
90
°
, 点D 是边BC 上的动点，且
AB =3,—
M
A
T T T
=4, AD — kAB + »AC仏＞0,卩＞0），则当瑞1取得最大值时，
A
D的值为（）
A. 7
2
12 5
B. 3
C. 12
D. 5
5 2
7.在等比数列中，a3,a〔5是方程・X2+6X+2=0的根，则a3a15的值为（
a
9
)
A.—卄
2
B. -丘
C. 逅
D. -V5或/2 &给出下列4个命题
” —
1 1
①右，则cos ”的否命题是"若，则cos ■= ”；
3 2 3 2
4
②若命题p : T x三jO,二，si n x 4，则一p为真命题；
si nx
4 4 -I 4
③“平面向量a, b夹角为锐角，则a b . 0 ”的逆命题为真命题；
④"函数y =2x■ m-1有零点”是“函数y=log m x在0, •：：上为减函数”的充要条件
其中正确的命题个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.对大于1的自然数m的三次幕可用奇数进行以下形式的“分裂”：
”1
3
23 3
5
f7
3
15
9 ,43,
17
11
[19
,仿此，若m3的“分裂数”中有一个是73,则m的值为（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
10.已知偶函数f x满足f x • 1 ]= f x -1 ,且当[0,1]时，f x = f ,
则关于
x的方
f （x ）= 10邛在［—3,3】上根的个数是（
）
A. 10 个
B. 8
C. 6
D. 4
11 •如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，
点P所旋转过的
12 .对任意的实数x，都存在两个不同的实数y，使得e23 y-x f-ae2'」=0 成立,则实数a的取值范围为（）
弧AP的长为l ,弦AP的长为d ,则函数d二f （l）的图像大致是（）
A. 吧
B.
C. D. 3e J
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,
共20分.把答案填在答题纸上.
13•已知向量a =(m,2) , b= (-2,1)，且(a b) - 2b，则m 二
14•已知2a +犁=2(a,b E R),则a+2b 的最大值为 ________________ . 15 .如图，四边形AB CD 中，CABD 、
；
BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中
AD =1，BC =4,N ADB = Z C D B 则 AC = ___________ .
16 •对于定义域为 R 的函数f x ，若满足①f 0 =0 ;②当R ，且x = 0时，都有x 「x 0 :③ 当X [ = X 2，且f %计f x 2时，x ! x 2 0 ,则称f x 为“偏对称函数”.现给出四个函数: f x = 1n-x 1
5 ；
、2x
(x>0)
rr
X
③ f (X )= 口2
0 (x =0 )
则其中是“偏对称函数”的函数为
17.(本小题满分12分)
已知集合 A 是函数y =|g 20，8x-X 2的定义域，集合 B 是不等式
2 2
x - 2x 1 - a - 0(a 0)的解集，p ： x A , q ： x B .
(I)若,求a 的取值范围；
(n)若一p 是q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
18.(本小题满分12分) 已知函数 f (x)二 cos 2 x
• 3sin(H -x)cos (二 x)-丄,x R .
2
(I)求函数f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
① f x = X 2 计x ;
④ f x =e X -x-1 .
三、解答题(本大题共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
)
B
(n ) 在锐角 AABC
中，
内角
A ,
B , C
的对边分另U 为a , b , c , 已知
f ( - 1 a ,=b S 3 i C
a s, 求A . ABC 的面积.
19.(本小题满分12分)
已知各项均为正数的等比数列
:an
［中，
a 〔 a 2 a 3 =14,
a ? $4=64 .
(I)求数列的通项公式;
(n)设b n =[2n -1 a n ，求数列江冷勺前n 项和T n .
20. (本小题满分12分)
1
2
已知函数 f x ax - 2a 1 x 2lnx, a R .
(i)若曲线y = f x 在x =1和x=3处的切线互相平行，求 a 的值； (n)求函数f x 的单调区间.
21.
(本小题满分12分)
x
2
已知f x =e -ax , g x 是f X 的导函数.
(i )求g x 的极值；
(n)若f x _x 1在x_0时恒成立，求实数 a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答•注意：只能做所选定的题目•如果多做，则按所做的第一个题目 计分.
22.
(本小题满分10分)
x = 2 cos-
(a 为参数)，直线C 2的方程为y=(3x ,
以O
在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求曲线 G 和直线C2的极坐标方程； (n)若直线C 2与曲线C 1交于A, B 两点，求
1 1
OA |OB| y =2 si n：
23. （本小题满分10分）
已知不等式x - x - 3 ：：：x • 6的解集为m, n .
(I)求m, n的值；
(n)若x . 0, y . 0, nx y m = 0，求证：x y 亠16xy .
数学文科试卷答案
1-12 题
CDADB DBABC CA
13 714 . 0 15. 16 .②④
2
三、解答题（以下给分仅供参考）
17.（本小题满分12分）
已知集合A是函数y =|g 20 • 8x -X的定义域，集合B是不等式
2 2
x -2x 1 -a -0（a 0）的解集，p：x 三A, q：x 三B .
（I）若A「I B =乞：，求a的取值范围；
（n）若一p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.
【答案】（I）■；（n）.
解：（I），一J 「:：「：■■: L M：. ...................... .（3 分）
1 4- Q > 10,
1 - d 冬- 2,
若-4n/? = 0，则必须满足I皿>0”解得口二9,
所以、的取值范围是. .......... .. ......................... .（6 分）（n）易得或.
•/ 是•的充分不必要条件，•:是訂一i Z的真子集，............. .（8 分）
1 + *< 10,
1 - a 2,
即I 口>0 且不同时取等 ............ .（10 分）解得的取值范围是m. ................. .（12 分）
18.（本小题满分12分）
—1
已知函数f （x） = cos2x .3sin（蔥一x） cos（二x）—, x R .
2
（I）求函数f （x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（n ）在锐角MBC中，内角A, B, C的对边分别为a, b c,已知f（ A） = -1 a = 3,
bsi nC =asi nA ，求.ABC 的面积.
9©
(n) 1
解（1）原式可化为,
【答案】（i ）最小正周期
一 ，对称轴方程为
fcir n
P +押印.
f{x) — cos 2
x - yi3sinxcos 1 1 + cos2x 2~ 2 2
V3 1
—sin2x ——
2
7T 7T =sfn (- - 2x) =- sin(2x --) ? .(2
2n T ——=打 故其最小正周期 , •(4
n 7T kn IT 2x- - = — + kn(k E Z) x = ------ -(fc E Z) 令 •’
，解得 ’；
，
kn JT
即函数’图象的对称轴方程为, •(6
（2）由（1），知 7T
0<A<- 因为 ，所以 JT 7T bn — . -
r ■ j U 2/1 ■ = V — f (/l)二—57：JI (2/1 ■ =) =
" 1 6
6 6 又 6
n 7i 2/i ■=二= 故得 ，解得 71
A = ■ •(8 分) 由正弦定理及 • ； r 得：-■■■-■' 1 9福 S
^ARC =尹血 A =— 故^ • • • (10 分)
• (12 分)
19.（本小题满分12分） 已知各项均为正数的等比数列 「豪 中， &力2任=14,笑越=64
（i ）求数列 的通项公式；
（n ）设b n 二2n -1 a!，求数列"4 的前
n 项和£ •
【答案】（I）斗；（n）T n= 2n -3 2n 16
解：（I）设等比数列的公比为q,且q . 0 ,
a2 q = 64 ： a3 = 8 ................. .（2 分）2
a〔q 8，又a a2 Os -14
2
二3q _4q _4 =0 q 0 二q =2 ................... .（4分）•••為型............. .（6分）4）由（i）知b n =[2n-1 O n
得 d m2n -1 2n
故T n=b p II+0 =1 213 22川2n_3 2n，2n-1 2n (1)
•- 2£=1 223 23川2n-3 2n2n-1 2n 1•••（2）
1 -
2 得：-Tn =21• 222• 23• |l「2n- 2n-1 2n 1,
••• T n =（2n-3 卜2n^+6 .................. .（12 分）
20. (本小题满分12分)
1
已知函数f x ax^ 2a 1 x 2lnx, a・ R .
(I)若曲线y = f x在x=1和x =3处的切线互相平行，求a的值；
(n)求函数f x的单调区间.
解：函数f x的定义域为0,+：：.
2
且f x =ax -：；2a 1 (x 0) ........................... .(2
x
(i)因为曲线 y = f x 在x = 1和x = 3处的切线互相平行， 所以 f 1 = f 3 •即 a —? 2a • 1 i 亠 2 = 3a —? 2a i 亠 2 , 3 2 解得a =-. ............ 分(4 3 ax-1 x-2 (n) t f x (x . 0). x ①当 a _0 时，x . 0 , ax _1 ：：： 0 , 在区间0,2上，r x 0 ；在区间2,；上f x :：: 0, 故f x 的单调递增区间是 0,2，单调递减区间是 2,； ........................ .（6分） 1 1 ②当 0 ::: a :::—时， — 2 , 2 a M ) ( 1 在区间(0,2 和 一，址 I 上, f '(x )>0 ；在区间 2,— 上 f '(x )c 0, la 丿 I a 丿 故f （x ）的单调递增区间是（0,2 ）和〕，亦j ,单调递减区间是 1 ③ 当a = 1时， 2 亠2 (x —2 ) 因为f x 二 -0,故f x 的单调递增区间是 0, = . .................................... .(10分) 2x ④ 当 a -时，0 . 1 :: 2 , 2 a
f '（x ）＞0；在区间.一，2 上 f "（x ）＜0,
\a 丿
故f x 的单调递增区间是10,—和2,=,单调递减区间是I —,2 . ............................... .（12分）
I a 丿 la 丿
21. （本小题满分12分）
.(8 分) 在区间
已知f x =e x-ax2, g x是f x的导函数.
（i）求g x的极值；
（n）若f x -x 1在x_0时恒成立，求实数a的取值范围. 解：（i）f x 二e x-ax2, g x = f' x = e x-2ax, g' x 二e x-2a ,
.(1 分)
当a岂0时，g' x • 0恒成立，g x无极值；
当 a 0时，g' x ]=0，即 x = ln 2a ,
由 g' x 0，得 x In 2a ；由 g' x :: 0，得 x ： In 2a ,
所以当x=ln 2a 时，有极小值2a -2aln 2a ,无极大值
......... .(4分) x 2 x
(n)令 h x [=e -ax -x-1，则 h' x i=e -1-2ax ，注意到 h 0i=h' 0严0 ,
X X
令 k x 二e -1-x ，则 k' x 二e -1,且 k' x 0 ,得 x 0 ； k' x ：：0 ,得 x ：0 , ••• k x -k 0i ；=0，即 e x _1 x 恒成立，故 h' x _x-2axh[1_2a x ,
当 a 冷时，1 -2a _0 , h' x -0 ,
于是当 x _0 时，h x _ h 0]=0，即 f x _x • 1 成立. .. .............. .(8 分)
1 当 a 时，由 e x 1 x ( x = 0 )可得 e - .1-x ( x = 0). 2
h' x :::e x —1 2a e 公—1 =e^ e x -1 e x -2a ,
故当 x"0,ln 2a 时，h' x : 0 ,
于是当 x 0,ln 2a 时，h x : h 0 =0, f x -x 1 不成立.
（n
综上，a 的取值范围为 -：：，一 .... ... ........ .（12分）
I 2」
22. （本小题满分10分）
1 x 二
2 亠 cos
在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为
（：•为参数），直线C 2的方程为y = 3x ,以O =2 +si n a
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系
. （I ）求曲线C 和直线C 2的极坐标方程；
2 2
解: （ I ）曲线 G 的普通方程为（x —2 ） +（y -2） =1,
则C 的极坐标方程为 俨-4»coS -4咤网+7 = 0, .
................ .（2分） 由于直线C 2过原点，且倾斜角为",故其极坐标为'= R （或tan = 3） 3 3 f
（n ）若直线
G 与曲线G 交于A, B 两点，求
丄—1
|oA |OB
.(5 分)
2
卩-4「COST -4『sinv 7=0
（U ）由
,得評_ 2・、3・2山亠7=0, \Q =— I 3
故=2 3 2,仁=7, . ................ .（7分）
1 1 OA +|OB| R+P
2 2書+2
OA 阿 一 |OA| ]OB| _ P 1P 2 — 7
23. （本小题满分10分）
已知不等式 x + x —3<x + 6的解集为（m,n ）.
（1）求m,n 的值；
（n ）若 x . 0. y . 0, nx y m = 0，求证： x y _ 16 xy
（n ）由（I ）知 x . 0, y . 0,9 x y =1,
1 1 16,即 x y _16xy. ................ .（10 分） x y 解：（i ）由 解得 x + x —3 cx+6 x _3 0 ：： x : 3 3x6 或 X^O , - x 3 - x ： x 6
-1 ： x ：：：9,. m - -1,n =9,
•
（
5 .（10 分） y 9x
x y
当且仅当 y 9x
即 y
1 1 x=12,y 肓时取等号
+ 1 i （9x + y ） = 10 + y 丿 -10 2。