广东省阳江市江城区2024届中考联考数学试题含解析

广东省阳江市江城区2024届中考联考数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．方程2x 2﹣x ﹣3=0的两个根为（ ）
A ．x 1=32，x 2=﹣1
B ．x 1=﹣32，x 2=1
C ．x 1=12，x 2=﹣3
D ．x 1=﹣12
，x 2=3 2．如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”，在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A ．13；13
B ．14；10
C ．14；13
D ．13；14
3．点A （－2,5）关于原点对称的点的坐标是 ( )
A ．（2,5）
B ．（2,－5）
C ．（－2,－5）
D ．（－5,－2）
4．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（ ）
A ．6.7×106
B ．6.7×10﹣6
C ．6.7×105
D ．0.67×107
5．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米. 设A 港和B 港相距x 千米. 根据题意，可列出的方程是（ ）.
A ．32824
x x =- B ．
32824x x =+ C ．2232626x x +-=+ D ．2232626x x +-=- 6．如图：A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，若AB ＝CD ，下列各式表示线段AC 错误的是( )
A ．AC ＝AD ﹣CD
B ．A
C ＝AB+BC C ．AC ＝B
D ﹣AB D ．AC ＝AD ﹣AB
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其
一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ）
A ．11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）
（） B ．10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩
C ．91181013x y x y y x （）
（）=⎧⎨+-+=⎩ D ．91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
（）（） 8．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ）
A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
9．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC
运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已
知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A ．AE=6cm
B ．4sin EB
C 5∠= C ．当0＜t≤10时，22y t 5=
D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形
10．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A．335°°B．255°C．155°D．150°
11．2018年春运，全国旅客发送量达29.8亿人次，用科学记数法表示29.8亿，正确的是（）
A．29.8×109B．2.98×109C．2.98×1010D．0.298×1010
12．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（）
A．1
2
B．
5
9
C．
4
9
D．
2
3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米
14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________．
15．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_____秒．
16．计算
22
11
x
x x
-
--
的结果为_____．
17．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是cm．
18．在一次射击比赛中，某运动员前7次射击共中62环，如果他要打破89环（10次射击）的记录，那么第8次射击
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽测的男生人数为，图①中m的值为；
（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB 的延长线于点F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．
21．（6分）如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证: △BDA∽△CED．
垂足为点D ．
（1）试判断CD 与圆O 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l 与AB 的延长线相交于点E ，圆O 的半径为3，并且∠CAB=30°，求AD 的长．
23．（8分）如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．
24．（10分）解不等式组43(2)52364x x x x --<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩并写出它的整数解． 25．（10分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中b 班征集到作品 件，请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率．
（1）若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x（0≤x≤4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；
（2）在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？
27．（12分）已知抛物线y=ax2+ c(a≠0)．
（1）若抛物线与x轴交于点B(4，0)，且过点P(1，–3)，求该抛物线的解析式；
（2）若a>0，c =0，OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于A、B 两点，求证：直线
AB恒经过定点(0，1
a )；
（3）若a>0，c <0，抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左边)，顶点为C，点P在抛物线上且位于第四象限．直线
PA、PB与y轴分别交于M、N两点．当点P运动时，
OC
OM ON
是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说
明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解题分析】
利用因式分解法解方程即可．
【题目详解】
解：（2x-3）（x+1）=0，
2x-3=0或x+1=0，
所以x1=3
2
，x2=-1．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2、C
【解题分析】
根据统计图，利用众数与中位数的概念即可得出答案．
【题目详解】
从统计图中可以得出这一周的气温分别是：12,15,14,10,13,14,11
所以众数为14；
将气温按从低到高的顺序排列为：10,11,12,13,14,14,15
所以中位数为13
故选：C．
【题目点拨】
本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的求法是解题的关键．
3、B
【解题分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．
【题目详解】
根据中心对称的性质，得点P(−2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2, −5).
故选:B.
【题目点拨】
考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．
4、A
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
解：6 700 000=6.7×106，
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5、A
【解题分析】
通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．
【题目详解】
解：设A 港和B 港相距x 千米，可得方程：
32824
x x =- 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
6、C
【解题分析】
根据线段上的等量关系逐一判断即可.
【题目详解】
A 、∵AD-CD=AC ，
∴此选项表示正确；
B 、∵AB+BC=A
C ，
∴此选项表示正确；
C 、∵AB=C
D ，
∴BD-AB=BD-CD ，
∴此选项表示不正确；
D 、∵AB=CD ，
∴AD-AB=AD-CD=AC ，
∴此选项表示正确.
故答案选：C.
【题目点拨】
7、D
【解题分析】
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【题目详解】
设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，
由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
（）（）， 故选：D ．
【题目点拨】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8、A
【解题分析】
∵AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，
∴DA=DB ，EA=EC ，
则△ADE 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故选A ．
9、D
【解题分析】
（1）结论A 正确，理由如下：
解析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，
故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm ．
（2）结论B 正确，理由如下：
如图，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，
由函数图象可知，BC=BE=10cm ，BEC 11S 40BC EF 10EF 5EF 22∆==
⋅⋅=⋅⋅=， ∴EF=1．∴EF 84sin EBC ∠===．
（3）结论C 正确，理由如下：
如图，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ，
∵BQ=BP=t ，∴2BPQ 11142y S BQ PG BQ BP sin EBC t t t 22255
∆==⋅⋅=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． （4）结论D 错误，理由如下：
当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，
设为N ，如图，连接NB ，NC ．
此时AN=1，ND=2，由勾股定理求得：NB=82NC=17
∵BC=10，
∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．
故选D ．
10、B
【解题分析】
∵∠A +∠B +∠C=180°，∠A =75°，
∴∠B +∠C =180°﹣∠A =105°．
∵∠1+∠2+∠B +∠C =360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故选B ．
点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n 边形内角和为（n ﹣2）×180°（n ≥3且n 为整数）是解题的关键．
11、B
【解题分析】
根据科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且为这个数的整数位数减1，由此即可解答． 【题目详解】
29.8亿用科学记数法表示为：29.8亿=2980000000＝2.98×1．
故选B．
【题目点拨】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12、D
【解题分析】
先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两者的比值即为所求概率.
【题目详解】
任取两张卡片，数字之和一共有﹣3、2、1三种情况，其中和为正数的有2、1两种情况，所以这两张卡片正面数字之
和为正数的概率是2
3
.故选D.
【题目点拨】
本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、
【解题分析】
由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：
14、a≤5
4
且a≠1．
【解题分析】
根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．【题目详解】
由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，
解得a≤5
4
，
又a-1≠0，
∴a≤5
4
且a≠1.
故答案为a≤5
4
且a≠1.
点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．15、7秒或25秒．
【解题分析】
考点：勾股定理；等腰三角形的性质．
专题：动点型；分类讨论．
分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．
解答：解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵BC=8cm，
∴BD=CD=BC=4cm，
∴AD==3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，∴PD2+AD2=PC2-AC2，
∴PD2+32=（PD+4）2-52∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=0.25t，
∴t=7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，
∴t=25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
点评：本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解．
16、﹣2
【解题分析】
根据分式的运算法则即可得解.
【题目详解】
原式＝22
1
x
x
-
-
＝
2(1)
1
x
x
--
-
＝2
-，
故答案为：2
-．
【题目点拨】
本题主要考查了同分母的分式减法，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.
17、4
【解题分析】
已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【题目详解】
设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高．
故答案为4.
18、8
【解题分析】
为了使第8次的环数最少,可使后面的2次射击都达到最高环数,即10环.
设第8次射击环数为x环,根据题意列出一元一次不等式
62+x+2×10＞89
解之,得
x＞7
x表示环数,故x为正整数且x＞7,则
x的最小值为8
即第8次至少应打8环.
点睛：本题考查的是一元一次不等式的应用.解决此类问题的关键是在理解题意的基础上,建立与之相应的解决问题的“数学模型”——不等式,再由不等式的相关知识确定问题的答案.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）50、1；（2）平均数为5.16次，众数为5次，中位数为5次；（3）估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．
【解题分析】
（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；
（Ⅲ）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得．
详解：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为10÷20%=50，m%=14
50
×100%=1%，所以m=1．
故答案为50、1；
（Ⅱ）平均数为3441051661476
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=5.16次，众数为5次，中位数为
55
2
+
=5次；
（Ⅲ）16146
50
++
×350=2．
答：估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．
点睛：本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20、（3）证明见试题解析；（3）3．
【解题分析】
试题分析：（3）先得出OD∥AC，有∠ODG=∠DGC，再由DG⊥AC，得到∠DGC=90°，∠ODG=90°，得出OD⊥FG，即可得出直线FG是⊙O的切线．
（3）先得出△ODF∽△AGF，再由cosA=，得出cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值．试题解析：（3）如图3，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线；
（3）如图3，∵AB=AC=30，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=30÷3=5，由（3），可得：OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∵∠DOF=∠A，∠F=∠F，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，
∴cos∠DOF=，∴OF===，∴AF=AO+OF==，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=30﹣7=3，即CG的长是3．
21、证明见解析.
【解题分析】
不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC 的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．
【题目详解】
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADB=∠DEC=90°，
∴△BDA∽△CED.
【题目点拨】
本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．
22、（1）CD与圆O的位置关系是相切，理由详见解析;(2) AD=9
2
．
【解题分析】
（1）连接OC，求出OC和AD平行，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；
（2）连接BC，解直角三角形求出BC和AC，求出△BCA∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．【题目详解】
（1）CD与圆O的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠OCA=∠CAD ，
∴OC ∥AD ，
∵CD ⊥AD ，
∴OC ⊥CD ，
∵OC 为半径，
∴CD 与圆O 的位置关系是相切；
（2）连接BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠BCA=90°，
∵圆O 的半径为3，
∴AB=6，
∵∠CAB=30°， ∴133332
BC AB AC BC ====，， ∵∠BCA=∠CDA=90°，∠CAB=∠CAD ，
∴△CAB ∽△DAC ， ∴,AC AB AD AC
= 3333
= ∴92AD =
． 【题目点拨】
本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23、见解析
利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．
【题目详解】
如图所示：P 点即为所求．
【题目点拨】
本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
24、不等式组的解集是5＜x ≤1，整数解是6，1
【解题分析】
先分别求出两个不等式的解，求出解集，再根据整数的定义得到答案.
【题目详解】
43(2)52364
x x x x --<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①② ∵解①得：x ＞5，
解不等式②得：x ≤1，
∴不等式组的解集是5＜x ≤1，
∴不等式组的整数解是6，1．
【题目点拨】
本题考查求一元一次不等式组，解题的关键是掌握求一元一次不等式组的方法
25、（1）抽样调查；12；3；（2）60；（3）
25
． 【解题分析】
试题分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C 的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A 、C 、D 的件数即为B 的件数；
（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；
（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
所调查的4个班征集到作品数为：5÷150360=12件，B 作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为抽样调查；12；3；把图2补充完整如下：
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品x =12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；
（3）画树状图如下：
列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P （一男一女）=1220=35，即恰好抽中一男一女的概率是35． 考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法；5．图表型．
26、（1）2
3(4)x 0≤x≤4）；(2) 不能为正方形，添加条件：AC=BC 时，当点D 运动到AB 中点位置时四边形CDBF 为正方形．
分析：（1）根据平移的性质得到DF∥AC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD=，BG==，所以由三角形的面积公式列出函数关系式；（2）不能为正方形,添加条件:AC=BC时,点D运动到AB中点时，四边形CDBF为正方形；当D运动到AB中点时，四边形CDBF是菱形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推
知CD=1
2
AB,BF=
1
2
DE,所以AD=CD=BD=CF,又有BE=AD,则CD=BD=BF=CF,故四边形CDBF是菱形，根据有一内
角为直角的菱形是正方形来添加条件.
详解：（1）如图（1）
∵DF∥AC，
∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°
∵BD=4﹣x，
∴GD=，BG==
y=S△BDG=××=（0≤x≤4）；
（2）不能为正方形，添加条件：AC=BC时，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形．
∵∠ACB=∠DFE=90°，D是AB的中点
∴CD=AB，BF=DE，
∴CD=BD=BF=B E，
∵CF=BD，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形；
∵AC=BC，D是AB的中点．
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四边形CDBF为菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
点睛：本题是几何变换综合题型,主要考查了平移变换的性质,勾股定理,正方形的判定,菱形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线.(2)难度稍大,根据三角形斜边上的中线推知CD=BD=BF=BE是解题的关键.
27、（1）211655y x =-；（2）详见解析；（3）OC OM ON +为定值，OC OM ON +=12 【解题分析】
（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y =ax 2+ c (a ≠0)，用待定系数法求解即可；
（2）如图作辅助线AE 、BF 垂直 x 轴，设A (m ，am 2)、B (n ，an 2)，由△AOE ∽△OBF ，可得到21a mn =-，然后表示出直线AB 的解析式即可得到结论；
（3）作PQ ⊥AB 于点Q ，设P （m ，am 2+c ）、A （–t ，0）、B （t ，0），则at 2+c =0， c = –at 2
由PQ ∥ON ，可得ON =amt +at 2，OM = –amt +at 2，然后把ON ，OM ，OC 的值代入整理即可.
【题目详解】
（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y =ax 2+ c (a ≠0)，
1603a c a c +=⎧⎨+=-⎩
， 解之得
15165a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴211655
y x =-； （2）如图作辅助线AE 、BF 垂直 x 轴，设A (m ，am 2)、B (n ，an 2)，
∵OA ⊥OB ，
∴∠AOE=∠OBF ，
∴△AOE ∽△OBF ，
∴AE OF OE BF =，22am n m an
=-，21a mn =-， 直线AB 过点A(m ，am 2)、点B(n ，an 2)，
∴()()1y a m n x amn a m n x a =+-=++过点（0，1a
）;
∵PQ∥ON，
∴ON OB PQ QB
=，
ON=
()
2
am c t
PQ OB
QB t m
-+
⋅
=
-
=
()
2
am c t
m t
+
-
=
()
22
am at t
m t
-
-
=
()()
at m t m t
m t
-+
-
=at(m+t)= amt+at2，
同理：OM=–amt+at2，
所以，OM+ON=2at2=–2c=OC，
所以，
OC
OM ON
+
=
1
2
.
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理.正确作出辅助线是解答本题的关键.。