第六章 连续时间系统的系统函数

如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，
所以，必须满足

h(t)dt

4、渐近稳定与临界稳定
h(t)绝对可积，应满足 limh(t) 0 t
h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此 之外h(t)也应是有限的，即：
h(t) M t M为有限的正整数
满足上述条件的系统称渐近稳定。
Z(s)
1

1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：

1 2RC
其中 0
1 , Q 0L ， 1 (0 )
LC
R
Q 0
再从系统函数的极零点分布来考察： 前面已求得：
Z(s) 1
s
c (s p1)( s p2 )
z1 0 , p1,2 j 02 2


1 2RC
,
0

1 LC
，
0
) e j()
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计 出系统的幅频特性和相频特性曲线。
例：系统函数的极、零点分布如图所示， 估计其幅频与相频特性曲线。
一、系统的稳定及其充分必要条件
1、系统的稳定与冲激响应
2、系统的稳定与系统函数H(s)
H(s) 的所有极点在s平面的左半平面则系 统稳定；在虚轴上有一阶极点则临界稳定；在s 平面的右半平面有极点存在则不稳定。
3、系统稳定的充分必要条件
所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产 生有限（有界）的响应的系统。有限的激励也 包括激励为零的情况。
解：
H
(s)

H0
(s

s p1)( s

p2
)
H
(
j)

H0
(
j

j p1)( j

p2
)
H0
B1 A1 A2
e j(90 (12 ))
其中：j B1 e j90 j p1 A1 e j1 , j p2 A2 e j2
1、ω=0+ B1=0 ,
数微分方程表示，所以H(s)的一般形 式可表示为：
H (s)

bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
这种形式不能直观地看出系统的特
性，所以，常根据不同的需要用图
示的方法来表示，常用的有三种：
1、频率特性 若系统是稳定的，则：
H(s) sj H( j) , H( j) H( j) e j()
H( j) — 幅频特性，() — 相频特性
例如：RLC并联电路
Z ( j) 1
1
1 jC
R jL

jRL R 2RLC

jL 1
j
R
R
(1 2LC)
4、ω>>Im(p1) →∞时， A1,A2,B1→∞, |H(jω)| →0
α1,α2→90°,
φ(ω)=β-(α1+α2) → -
90°
下面我们再来看一下前面的并联谐振电路。 我们已经求出：
Z(
j)

1
j
1
R
( 0


)
Q 0
R R etg1
1 j 1 2
H(jω)|=0 ; (α1+α2)=0 ,
φ(ω)=90°
2、ω↗, B1,A2↗,A1↘, |H(jω)| ↗
ω↗, (α1+α2)↗, φ(ω)↘
3、ω→Im(p1), A1→Min, |H(jω)|出 现峰值。
ω<Im(p1) →ω>Im(p1) α1<0→α1>0 φ(ω)迅速减小。 同理ω→零点的虚 部时|H(jω)|出现谷 点，φ(ω)迅速增大
信号与系统
第六章 连续时间系统的系统函数 南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系
吴迪 讲师 wudi82@
§6.1引言
系统函数（转移函数）H(s)，定义为系统零 状态响应象函数R(s)与激励的象函数E(s)之比。 它是由系统本身决定的，而与其输入、输出并 没有关系。它是反映系统特性的重要函数。
还可以看出：
1 180 1 , 2 180 2 , 1 2 360 (1 2 ) 2(1 2 )
这种网络的幅频 特性与频率无关 为常数，而相位 与频率有关，因 此常作为相位效 正电路使用。
三、最小相移网络 全部极点和零点位于左半平面（包括虚轴） 称最小相移网络，否则为非最小相移网络。 最小相移网络的相位变化量要比非最小相 移网络的相位变化量小，因此得名 。

M e h( ) d

设
e(t)

sgn(h(t))

1 1
h(t) 0 显然e(t) h(t) 0
是有界的

则 r(t) h( )e(t )d



r(0) h( )e( )d h( )d


() 1 (1 2 ) :0 : 0 90 90
() 1 (1 2 ) : 0 : 180 90 270
§6.6 系统的稳定性
关于系统稳定性的问题，同学们并 不陌生我们已多次提到。因为，不稳定 的系统不能有效地工作，所以，设计一 个系统一般都希望系统是稳定的。这样 判别一个系统是否稳定就成为一个设计 者必须考虑的问题。本节首先讨论系统 稳定的充分必要条件，然后进一步介绍 线性非时变系统稳定的判别方法。
1 (0 ) Q 0
当ω: -∞→ - ω0 → 0 →ω0 → ∞
ξ: ∞→0 →∞→0→-
∞
, () tg1
2、复轨迹 将H(jω)写成实部和虚部的形式： H(jω)=U(ω)+jV(ω)以为U(ω)横坐标，V(ω) 为纵坐标作出的图称为复轨迹。
上例中
Z ( j) R 1 j
j z B() e j () 称零点矢量，简记为 B e j
H(jω)可写为：
H ( j)

H0
B1B2 Bm A1 A2 An
e j( 12 m 12 n )
m
H0
Bi
m
n
j( i k )
i1 n
e i1 k1 H ( j
用数学式子表达：
若激励 |e(t)|≤Me -∞<t<∞ 则响应 |r(t)|<Mr
-∞<t<∞ 其中Me ，Mr 为有限的正实数。
有前面的讨论我们可以直观地看到 要系统稳定必须h(t)绝对可积。

h(t)dt

可以证明，它不仅是必要条件还是充分条 件。
r(t) e(t) h(t) r(t) e(t) h(t) M e h(t)

1
R

2

j
1
R
2
u( )
jv( )

u

1
R

2
v

1
R
2
(1) (2)
由(1)得 2 (R u) / u 代入(2)
v2

R2 2 (1 2 )2

Ru u2
(u R )2 v2 ( R )2 为圆方程
(
j)

H0
( j ( j
z1 )( p1 )(
j j

z2 )( j zm ) p2 )( j pn )
显然(jω-z)，(jω-p)也是可以表示为矢量的， 将它们表示为模和复角的形式：
j p A() e j() 称极点矢量，简记为 A e j
h(t) H(s)
若系统稳定 ：
sj
H (s)
H ( j)
s 域形式 sj 频域形式
h(t) H ( j)
主要内容
系统函数的表示法 (极零点表示 ) 系统函数极点、零点与系统频率 特性的关系 系统的稳定性
§6.2 系统函数的表示法
一线性非时变系统可用线性常系
|H(jω)| →∞
在零点、极点附近φ(ω)则会出现180° 的跃
变。
二、全通网络
稳定系统的极点不能在右 半平面，但零点可在右半 平面。如果极点零点关于 虚轴镜象对称，则 |H(jω)|=H0（常数）于频 率无关，称全通网络。
如图所示，画出了有两个 极点和两个零点的网络， 显然A1=B1 , A2=B2，所以， |H(jω)|=H0 （常数）。
,
0

1， LC
且设： 0
则：p1 , p2 为一对共轭复根
p1,2 j 02 2
§6.3 系统函数极点和零点的分布
极点、零点或位于s平面的实 轴上，或以一对共轭复根的形式 出现，或是r阶重根（也称r阶极点 或零点），总之它们是对称于实 轴的。
1、系统函数一般有n个有限极点和m个
另一种情况是H(s)在虚轴上有一阶 极点，是理想化的无耗系统，例如纯LC 网络，其冲激响应h(t)为直流或等幅的正 弦振荡，显然是不满足绝对可积条件的。 但响应是有限的，并且这种系统是常见 的低耗无源系统的近似，我们也把它看 成是稳定的。为了区别于渐近稳定把这 种情况称为临界稳定。
于是我们可以作出 它的极点、零点分 布图，并根据前面 的例子可作出其幅 频和相频曲线的略 图。
对照两图不难得出如下结论： 1.曲线形状相同。 2.但极值点出现在 02 2
处，与原图不符，因此称略图。 3.α越接近于0（极点越靠近虚轴）越准确。 4.当α=0（系统为纯电抗网络，无损耗） ω→零点时， |H(jω)| →0 ；ω→极点时，
6、两个特殊的点s=0，s=∞ 根据复变函
数理论，认为它们是在虚轴上的，因此
系统稳定在s=0，s=∞只能有一阶极点，
即：若m>n 则 m-n<1。
7、虽然系统函数对零点没有限制（只要 对称于实轴），但在网络理论中，阻抗 和导纳互为倒数，因此，对于这种情况 对零点的限制与极点相同。
§6.4 系统函数极点、零点与系统频率 特性的关系
则
H (s)

H0
(s z1)( s (s p1)( s

z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
,
H0

bm an
可见一个系统的极点零点确定后， 系统函数就基本确定了。若再确定H0， 则H(s)就完全确定。但H0为常数与变量s 无关，仅是一个比例因子而已。
我们还是以RLC并联电路为例将jω换成s
2
2
当 ω : - ∞ → - ω0 → 0 →ω0 → ∞
ξ: ∞→0 →∞ →0→-∞ 复轨迹顺时针方向 重复两次。
3、极零点表示
H (s)

N (s) D(s)

bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
若 N (s) 0 有m个根：z1, z2 ,zm 称m个零点 D(s) 0 有n个根：p1, p2 , pn 称n个极点
L
令 0
1, LC
Q 0L
R
则：Z ( j)
1
R
j 1 (0

)
Q 0
令 1 (0 ) Q 0
Z ( j) R R etg1 1 j 1 2
Z( j) R , () tg1 12
Z( j) R 12
有限零点；
2、n

m时lim H (s) s

lim
s
bmsm an s n
0
说明在s 处有一个(n m)阶零点；
3、m
n时lim H(s) s
lim s
bmsm an s n

说明在s 处有一个(m n)阶极点；
4、极、零点数目相等；
5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚 轴上可有一阶极点存在；
一、H(s)的矢量表示
则
H (s)

H0
(s z1)( s (s p1)( s

z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
,
H0

bm an
其中的s，z，p都可用矢量表示，进一步 (s-z)，(s-p)也可表示为矢量。
对于稳定的系统： H (s) sj
H