上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题(含解析)

上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）
一、填空题。

1.已知全集，若集合，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合A，即可求解∁U A
【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}
则＝
故答案为
【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．
2.双曲线的焦距为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】
将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．
【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，
可得a，b，c3，
即焦距为2c＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．
3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．
【详解】T5x﹣2，
∴，a＞0．
解得a．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．
4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.
【答案】-3
【解析】
【分析】
先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．
【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，
∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.
【答案】14
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．
而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，
∴直线不过第三象限的概率P，
故答案为．
【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．
7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则
的周长为___.
【答案】24
【解析】
【分析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．
【详解】双曲线x21的a＝1，c5，
两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），
即|F1F2|＝10，
由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，
由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
|F1F2|＝10，
则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．
8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.
【答案】1或
【解析】
【分析】
取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，
∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为
，
∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，
∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，
∴，或，
当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．
当时，EF．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题
9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．
【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，﹣x＜0，
∴f（﹣x）＝x2﹣6，
由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，
∴不等式f（x）＜x可化为，
解得x＞2
∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）
【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.
【答案】7
【解析】
【分析】
化简y=从而作函数的图像，从而可解
【详解】化简y=,作函数在上的
图像如下：
结合图像可知，两个图像共有7 个交点
故答案为7
【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题
11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.
【答案】4
【解析】
【分析】
f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】由题，
∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，
①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．
∴，
分别为：，，…，，1，q，…，q4．
∵
∴0++…+＝，
∴q4q q2．
∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．
②0＜q＜1时，1，∴，
分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵
∴log2q2．
∴2．
∴4，
∴a1＝4．
③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足
舍去．
综上可得：＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.
【答案】或-2
【解析】
【分析】
设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案
【详解】由题意可设椭圆方程为，
又设A（，），B（，），
因为M点在该椭圆上，
∴，则
又因为A、B点在也该椭圆上，
∴，
∴，
即直线OA、OB的斜率乘积为，
同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．
故答案为：或﹣2．
【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．
二、选择题。

13.“”是“不等式成立”的（）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式|x﹣1|＜1，再由充分必要条件即可判断出结论．
【详解】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，
∴“”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的充分条件．
故选：A．
【点睛】本题考查了充分必要条件，绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.给出下列命题，其中正确的命题为（）
A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面；
B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
D. 异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直.
【答案】D
【解析】
试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知
，∴假设不成立，故D正确，故选D．
考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定．
15.已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线
的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据数列的通项公式为,其前项和，那么可知
，可知n=9,那么根据可知a=,b= 3,故可知双曲线
的渐近线方程为，选C.
考点：数列的求和，双曲线的性质
点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。

16.已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数
，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4
，
（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．
∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．
∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，
∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．
∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解；
（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．
∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．
∴x2﹣9+4＝x2﹣5，
∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．
∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；
（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．
（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），
∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，
∵2＜x≤4，∴λ≤11．
∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解；
综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．
三、解答题。

17.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为弧AB的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO,得解
【详解】
（1）证明：在圆锥中，
∵点为弧AB的中点，∴
∴由平面
（2）联结，∵平面
∴为与平面所成的角
设，则，
∴
∴在中，
∴
【点睛】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，熟记判断定理，准确找到所成角是关键，属于中档题．
18.已知函数.
（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；
（2）在中，，，，若任意实数恒有，求面积的最大值.
【答案】（1），函数是非奇非偶函数;（2）
【解析】
【分析】
（1）由化简得则周期可求，计算；
，可判奇偶性；（2）由题得将平方，得t的二次不等式，利用，得，进而得由求得最大值【详解】（1）
所以的最小正周期为
；
，
所以，函数是非奇非偶函数.
（2）由得
因为是的内角，所以0<A<，
由，得
两边平方，整理得，对任意实数恒成立
所以
得则有且
所以
（当且仅当等号成立）
所以，当时，面积的最大值为
【点睛】本题考查三角恒等变换，向量数量积，三角形面积，熟记三角公式，灵活运用二次不等式转化是关键，是中档题
19.数列满足：，，且，，成等差数列，其中. （1）求实数的值及数列的通项公式；
（2）若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{a n}的通项公式；（2）
结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p，设
，通过作差得到数列的单调性，进而得，根据条件即可求出正整数p的值．
【详解】（1）由题意：，
∵，，成等差数列，
∴，解得：
∵，，
∴，检验n=1 成立
故
（2）解：∵，∴
∵，∴显然成立
当时，，设
∴
当时，；当时，；
又，，，，
若还需有2解，则，
即，解得，所以正整数
【点睛】本题考查了等差中项的性质，累加法求数列的通项公式，以及数列单调性的判断与应用，考查方程思想与分类讨论思想的应用，是难题
20.教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。

我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。

已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。

当变化时，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）将直线y＝x代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线,,，再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点在直线上，因为
设、、，且，于是，向量坐标化，得
、、、，将代入椭圆方程，结合、
在椭圆上，整理化简得，即在直线上.
【详解】（1）联立，整理得
依题意，即
（2）设、,于是直线、的方程分别为、
将代入、的方程得且
所以直线的方程为
联立
显然，由，是该方程的两个实根，有，
面积
即
当且仅当时，“=”成立，取得最大值
（3）点在直线上，因为
设、、，且
于是，即、、、
又，
，
，即在直线上.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．
21.一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；
为数表中第行的第个数.
…
…
…
……
（1）求第2行和第3行的通项公式和；
（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得
，且对于任意的，均存在实数，当时，都有.
【答案】（1）。

.
（2）见证明；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g（i），即可得到结论．
【详解】（1）
.
（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，
则由
（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为
.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；
由于，，所以，所以
，由，
得，
于是，
即，又因为，
所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，所以.
（3），
，
令，
.
，
，
，
令，则当时，都有，
∴适合题设的一个等比数列为.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，裂项相消求和，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大，是难题。