2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国九年级上数学月考试卷
考试总分：124 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）
1. 如果是一元二次方程，则 A.B.C.D.
2. 下列命题正确的个数是（ ）
成中心对称的两个三角形是全等三角形；
两个全等三角形必定关于某一点成中心对称；
两个三角形对应点的连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称；
成中心对称的两个三角形，对称点的连线都经过对称中心．
A.B.C.D.
3. 已知函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的两个根为和且，．则的取值范围是( )
A.B.(m −1)+2x −3=0x 2()
m ≠±1
m ≠1
m ≠−1
m =1
(1)(2)(3)(4)1
2
3
4
y =−2x −2x 2x −2x −2−m =0x 2x 1x 2<0x 1>0x 2m −3≤m ≤−2
−3<m <0
C.D.
4. 如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为米，测得它的影子长为米，旗杆高度
为米，则它的影子长为( )
A.米
B.米
C.米
D.米
5. 某市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，年约为万人次，年约为万人次，设观赏人数年均增长率为，则下列方程中正确的是( )
A.B.C.D.
6. 如图，直线与抛物线的图象在同一坐标系中可能是（ ） A.
B.
m >−2
m >−3
3 1.25421.83.6201820202028.8x 20(1+2x)=28.8
28.8(1+x =20
)220(1+x =28.8
)220+20(1+x)+20(1+x =28.8
)2y =ax +b y =a +bx +c x 2
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移个单位，则变换后点的对应点的坐标为(
)
A.B.C.D.
8. 等腰三角形腰长为，底边长为，则它底边上的高为（ ）
A.B.C.D.
9. 已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为 A.和B.和C.和D.和
10. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为(
Rt △ABC C (1,0)A x AC =2△ABC C 90∘3A (6,0)
(4,−2)
(0,0)
(−2,2)
13105
7
10
12
y =−(x −h +4)2h x 1≤x ≤4y 0h ()
−16
26
−13
23
△ABC C(0,−1)180∘△A B C ′′A (a,b)A'
)
A.B.．C.D.
11. 如图，正方形的边长为，为对角线，取中点，与交于点，则等于( )
A.B.C.D.
12. 在平面直角坐标系中，如图是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和；④．其中正确的命题是( )
A.①②③
B.①③④
C.②④
(−a,−b)
(−a −b −1)
(−a,−b +1)
(−a,−b −2)
ABCD 6AC AB E DE AC F sin ∠DFC 10
−−√310−−√10
5
–√310−−√2
y =a +bx +c(a ≠0)x 2a +b +c =0b >2a a +bx +c =0x 2−31−4ac >0b 2
D.①②③④
卷II （非选择题）
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
13. 如果函数是二次函数，那么的值是________．
14. 关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________.
15. 如图，在扇形中，，点为上一点，且，以为边作正方形
，交弧与，点，交 于点．则弧与点构成的阴影部分面积为________
．
16. 已知 的值为________.
17. 分解因式：y =(−4)m 2x m−1m x m −2x +3=0x 2m AOB ∠AOB =,OA =290∘C OB OC =3–√OC OCDE AB F G OA A FG D −|a|=1,+|a|1a 1a
2−8=x 22−8=
2
分解因式：某病毒的大小约为米．数据用科学记数法表示为________.
已知点 与点 关于原点对称，则如图，四边形内接于 ，若它的一个外角 ，则另一个外角（第题） （第题） （第题）
如图是二次函数的部分图象，由图象可知关于．的一元二次方程
的一个根是，则它的另一个根是某种服装原价每件元，经两次降价，现售价为每件元．若设该服装平均每次降价的百分率为Ⅰ，则可列出关于Ⅰ的方程为________.
对于实数、，定义新运算“”）．若关于Ⅰ的方程Ⅰ⑧则的值是________.
如图，把一只篮球放在高为的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得，则该篮球的半径为________．
18. 如图，的直角顶点，另一顶点及斜边的中点都在上， ，，则的半径为________.
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）
19. 如图，直线过点，，与轴交于，与轴交于.
求直线的解析式
若为直线上一点，为直线上一点，若以，，，为顶点的四边形为平行四形，求点，的坐标；
点与关于轴对称，为线段上一动点，将线段绕顺时针旋转度，得到线段，连接并延长与轴交于，①猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由②点从运动到，则对应点运动路径多长，直接写出答案.
2−8=
x 2(1)0.0000001250.000000125(2)A (x,−2)B (6,y)x +y =
(3)ABCD ⊙O ∠DCE =122∘∠DAF =101114(4)y =a +bx +c x 2ax 2+bx +c =0=1.6x 1=
x 2(5)12080(6)αb C a ⊗b =ab +b 2(x −1)=2(7)16cm EF =24cm cm Rt △ABC C A AB D ⊙O AC =6BC =8⊙O l M(−1，3)N(1，5)x A y B (1)l (2)E y =2x F y =x 12A B E F E F (3)C B x D OA BD D 90DE CE x F ABFC D A O E
20. 解方程：
；
．
21. 如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为
，对称轴交轴于点
．直线经过，C 两点．
求抛物线及直线的函数表达式；
点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明
理由． 22. 如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于点．为抛物线上一点，且与点不重合．连结，以，为邻边作▱， 所在直线与轴交于点．设点的横坐标为.
求点落在轴上时的值；
若点在轴下方，则为何值时，线段的长取最大值，并求出这个最大值；
(1)−x −3=0x 2(2)2x(x −1)+3x −3=0y =a +bx x 2A (−2,0),B (4,0)y C OC =2OA D x E y =mx +n B (1)BC (2)F FA +FC F FA +FC (3)AC P Q BC E Rt △PEQ tan ∠EQP =tan ∠OCA P y =−2x +312x 2y A P A AP AO AP OAPQ PQ x B P m (1)Q x m (2)Q x m BQ 3
当▱的面积为时，请直接写出点的坐标． 23. 某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价 元/千克）与采购量千克）之间的函数关系图象如图中折线 所示（不包括端点．
当时，写出与之间的函数关系式；
葡萄的种植成本为元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过千克，当采购量是多少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？ 24. 思维启迪：
如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得，那么，间的距离是________；
思维探索：
在和中，，，且，．将绕点顺时针旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
①如图，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是
________，________；
②如图，当，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结
论；
③当时，若，，请直接写出的值．
25. 如图，直线＝与轴、轴分别交于、两点，抛物线
＝经过点、，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
(3)OAPQ 32Q y(x （AB →BC →CD A)(1)500<x ≤1000y x (2)81000(1)1A B A B B C BC BC P P A C CD//AB AP D CD =200m A B m (2)△ABC △ADE AC =BC AE =DE AE <AC ∠ACB =∠AED =90∘△ADE A E AC △ADE B D AC αBD P BD PC PE 2△ADE PC PE 3α=90∘D AB PC PE α=150∘BC =3DE =1PC 2y −x +3x y B C y −+bx +c x 2B C x A D EC +ED EC +ED
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
参考答案与试题解析2022-2023学年全国九年级上数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
认真审题，首先需要了解一元二次方程的定义(只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为的方程为一元二次方程)．
【解答】
解：∵是一元二次方程，
∴，
∴．
故选．2.
【答案】
B
【考点】
中心对称
【解析】
根据真假命题的概念，分别判断各命题的真假，再作选择．
【解答】
解：成中心对称的两个三角形是全等三角形，正确；
两个全等三角形不一定关于某一点成中心对称，故错误；
两个三角形对应点的连线都经过同一点，且对应点到同一点的距离相等，则这两个三角形关于该点成中心对称，故错误；
成中心对称的两个三角形，对称点的连线都经过对称中心，正确．
故选．
3.
x E EC +ED EC +ED 2(m −1)+2x −3=0
x 2m −1≠0m ≠1B (1)(2)(3)(4)B
【答案】
C
【考点】
抛物线与x 轴的交点
【解析】
根据一元二次方程的及，解不等式组可求的取值范围．
【解答】
解：由一元二次方程有两根可知，即，
解得；
又，即，
解得，
∴．
故选.4.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
设旗杆的影长为米，根据在同一时刻物高与影长成正比例得出比例式，即可得出结果．
【解答】
解：设旗杆的影长为米，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得：
，解得：．
故选.5.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】−2x −2−m =0
x 2△>0<0x 1x 2m −2x −2−m =0
x 2Δ>04−4(−2−m)>0m >−3<0x 1x 2−2−m <0m >−2m >−2C x x =5x 31.2
x =2B
设这两年观赏人数年均增长率为，根据“年约为万人次，年约为万人次”，可得出方程．
【解答】
解：设观赏人数年均增长率为，
根据题意得，.
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象
一次函数的图象
【解析】
根据直线与抛物线的解析式中、的符号关系，结合图象的位置，进行逐一判断．
【解答】
解：①当时，二次函数的图象应该开口向上，一次函数的图象应该在一三或一二三或一三四象限，不正确；
②一次函数的图象反映的信息是：，，此时二次函数的图象应该开口向上，且对称轴为，正确；
③一次函数的图象反映的信息是：，，此时二次函数的图象应该开口向下，，不正确；
④一次函数的图象反映的信息是：，，此时二次函数的图象应该开口向下，，不正确；
故选．
7.
【答案】
D
【考点】
坐标与图形变化-旋转
坐标与图形变化-平移
【解析】
根据旋转变换的性质得到旋转变换后点的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【解答】
解：∵点的坐标为，，
x 201420201628.8x 20(1+x =28.8)2C a b a >0a >0b =0x =0a >0b >0a <0a >0b <0a <0B A C (1,0)AC =2A (3,0)
∴点的坐标为.
将先绕点逆时针旋转，
则的坐标变为，
再向左平移个单位长度，则变换后点的对应点坐标为.
故选.
8.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的性质
勾股定理
【解析】
本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理.
【解答】
解：如图：，
△中，⊥，
；△中，，由勾股定理，得：.
故选
．
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数的最值
【解析】
分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
A (3,0)Rt △ABC C 90∘A (1,2)3A (−2,2)D A
B =A
C =13，BC =10ABC AB =AC ，A
D BC ∴BD =DC =BC =512Rt ABD AB =13，BD =5AD ===12−AB 2BD 2−−−−−−−−−−√−13252−−−−−−−√D h <22≤h ≤5h >5h <2h 2≤h ≤50h >5h
【解答】
解：时，随着的增大而减小， 时，随着的增大而增大,
①若 ,则 时，取得最大值,
, (舍去）,
;
②若 ,则 时，取得最大值,
,
(舍去）,
,
综合上述，的值为和.
故选.
10.
【答案】
D
【考点】
坐标与图形变化-旋转
【解析】
我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；还知道平移规律：上加下减；左加右减．在此基础上转化求解．把向上平移个单位得的对应点坐标和对应点坐标后求解．
【解答】
解：把向上平移个单位得的对应点坐标为．
因，关于原点对称，所以对应点．
∴．
故选.
11.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
勾股定理
正方形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
首先连接交于点，根据正方形的性质和相似三角形的判定证得，得出x >h y x x <h y x h <1≤x ≤4x =1y 0−(1−h +4=0)2=−1,=3h 1h 2∴h =−11≤x ≤4<h x =4y 0−(4−h +4=0)2∴=6,=2h 1h 2∴h =6h −16A AA'1A A 1A'A 2AA'1A A 1(a,b +1)A 1A 2A'(−a,−b −1)A 2A'(−a,−b −2)D BD AC G △AFE ∽△DCF AE EF
，再由勾股定理分别求出，，在中，由三角函数的定义求出结果即可.【解答】
解：连接交于点
，如图所示：
四边形为正方形，
，，
，.
又，
，
.的中点为，
，.正方形的边长为，
，
由勾股定理，得，
，
，.
在中，.
故选.
12.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵时，，
∴，故①正确；
=AE CD EF DF
DE DG Rt △DGF BD AC G ∵ABCD ∴AC ⊥BD AB//CD ∴∠AGD =90∘∠BAC =∠DCA ∵∠AFE =∠CFD ∴△AFE ∽△CFD ∴
=
AE CD EF DF ∵AB E
∴==AE CD EF DF 12AE =3∵ABCD 6∴AD =BC =CD =6DE ==A +A D 2E 2−−−−−−−−−−√+6232−−−−−−√===336+9−−−−−√45−−√5
–√BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√+6262−−−−−−√===636+36−−−−−−√72−−√2–√∴DF =DE =2235–√DG =BD =×6=312122–√2–
√Rt △DGF sin ∠DFC ===DG DF 32–√25–√310
−−√10B x =1y =0a +b +c =0=−=−1b
∵，∴，故②错误；
∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴的两根分别为和，故③正确；
由图可得，抛物线与轴有两个交点，
∴，故④正确.
故选.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
13.
【答案】
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据二次函数的定义可知：，且，从而可求得的值．
【解答】
解：∵函数是二次函数，
∴，且．
解得：．
故答案为：．
14.
【答案】
且【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义
【解析】
【解答】
解：∵方程有两个实数根，
∴方程为一元二次方程，即.
又∵有两个不相等的实数根，
x =−
=−1b 2a b =2a (1,0)x =−1(−3,0)x (−3,0)(1,0)a +bx +c =0x 2−31x −4ac >0b 2B 3
m −1=2−4≠0m 2m y =(−4)m 2x m−1m −1=2−4≠0m 2m =33m <13
m ≠0m ≠0Δ=−4ac =4−12m >0
2
∴,
解得.∴的取值范围是且.故答案为：且.15.【答案】【考点】
勾股定理
三角形的面积
扇形面积的计算
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 两点在弧上，
，
又 ，和为直角三角形，
∴，
根据勾股定理可得 ,
, , , ，
.故答案为：．16.
【答案】【考点】
分式的化简求值
Δ=−4ac =4−12m >0
b 2m <
13m m <
13m ≠0m <13m ≠03−π−13
3–√∵F 、G AB ∴OF =OG =2∵OC =OE =3–√△OCF △OEG Rt △OCF ≅Rt △OEG CF =EG =1∴∠COF =∠EOG =30∘∴∠FOG =∠BOA −∠COF −∠AOG =30∘∴=⋅π=π⋅=πS 扇形FOG 30∘360∘
r 21122213==OC ⋅CF =××1=S Rt △OCF S Rt △OEG 12123–√3–√2∴=−−2S 阴S 正方形OCDE S 扇形FOG S Rt △OEG =3−π−×2=3−π−133–√2133–√3−π−133–√5
–√
绝对值
列代数式求值
【解析】
分和两种进行讨论，即可解答.
【解答】
解：当时，则，故
，等式两边同时平方就得：，∴，∴，即，解得： (负值舍去)；当时，则，故，等式两边同时平方就得：，∴， (不符合题意应舍去，综合所述，
的值为.故答案为：.17.
【答案】
1-458°
4.4
12.5
【考点】
a ≥0a <0①a ≥0|a|=a −a =11a
=(−a)1a 212+=31a 2a 2++2=(+a =51a 2a 21a )2=5(+|a|)1a 2+|a|=1a 5–√②a <0|a|=−a +a =11a
=(+a)1a
212+=−11a 2
a 2)+|a|1a
5–√5–√2(x +2)(x −2)
.25×10−7
120=80
(1−x)2
抛物线与x 轴的交点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
略
略
略
略
略
略
略
18.
【答案】
【考点】
勾股定理
相似三角形的性质与判定
圆的有关概念
【解析】
本题根据已知，运用勾股定理，可得，再结合点是的中点，可得，观察图形，根据，可推出是的直径，根据直径所对的圆周角等于，又可得到 进一步可得到，证得，进而可得
，求出的长度，在中，运用勾股定理，求出的长度，得出半径，得答案.【解答】
解：设与的交点为，连接，，
258
AB =10D AB AD =BD =5∠ACB =90∘AE ⊙O 90∘∠EDA =90∘∠EDB =90∘△EBD ∼△ABC =ED AC BD BC ED Rt △ADE AE BC ⊙O E AE ED
在中， ，，，
，
点是的中点，
，
，且，，三点都在圆上，
是的直径，
，
，
， ，
，
，
，
，
在中， ， ，，
，
的半径.
故答案为：.
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计
70分 ）
19.
【答案】
解：设直线方程为，
将点，代入方程得，
解得.∵Rt △ABC AC =6BC =8∠ACB =90∘∴AB =10∵D AB ∴BD =AD =5∵∠ECA =90∘E C A ∴AE ⊙O ∴∠EDA =90∘∴∠EDB =90∘∵∠EBD =∠ABC ∠EDB =∠ACB =90∘∴△EBD ∽△ABC ∴=ED AC BD BC ∴=ED 658
∴ED =154∵△ADE ∠EDA =90∘ED =154AD =5∴AE ===D +A E 2E 2−−−−−−−−−−√+()154252−−−−−−−−−−
√254∴⊙O =AE =×=1212254258258(1)y =ax +b M(−1，3)N(1，5){3=−a +b ，
5=a +b
{a =1，
b =4.
即直线方程.
如图若为平行四边形则，，
设点坐标到.由方程组解得点坐标，由中心对称可以点坐标为，故点坐标为或.证，
∴，，
∴.∴，
∴.
可证，.
∴四边形为正方形，由此可知点从运动到，则对应点运动路径为.
【考点】
位置的确定
坐标与图形性质
直线的性质：两点确定一条直线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设直线方程为，
将点，代入方程得，解得.y =x +4(2)ABFE △ABO ≅△EFG EG =FG =4E (m ，n)F(m −4，n −4){2m =n ，=n −4，m −42
m =，43n =.83
E (，)4383E ′(−，−)4383
E (，)4383(−，−)4383
(3)△BDO ≅△EPD PD =OD =OQ PE =BO OC −OQ =PE −PQ
QE =QC ∠OCE =45∘OC =OF =OA =OB BC ⊥AF ACFB D A O E CF =42–
√(1)y =ax +b M(−1，3)N(1，5){3=−a +b ，
5=a +b
{a =1，b =4.
即直线方程.
如图若为平行四边形则，，
设点坐标到.由方程组解得点坐标，由中心对称可以点坐标为，故点坐标为或.证，
∴，，
∴.∴，
∴.
可证，.
∴四边形为正方形，由此可知点从运动到，则对应点运动路径为.20.
【答案】
解：，
，所以，.，
或，所以，．【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-因式分解法
【解析】利用求根公式法解方程；
y =x +4(2)ABFE △ABO ≅△EFG EG =FG =4E (m ，n)F(m −4，n −4){2m =n ，=n −4，m −42
m =，43n =.83
E (，)4383E ′(−，−)4383
E (，)4383(−，−)4383
(3)△BDO ≅△EPD PD =OD =OQ PE =BO OC −OQ =PE −PQ
QE =QC ∠OCE =45∘OC =OF =OA =OB BC ⊥AF ACFB D A O E CF =42–√(1)Δ=(−1−4×1×(−3)=13
)2x =1±13−−√2=x 11+13−−√2=x 21−13−−√2(2)2x(x −1)+3(x −1)=0(x −1)(2x +3)=0x −1=02x +3=0=1x 1=−x 232
(1)(2)
利用因式分解法解方程．
【解答】
解：，
，
所以，.
，
或，
所以，．
21.【答案】
解：（）由点的坐标知，，
∵，故点的坐标为，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；
（2）∵点、关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当
的值最小，理由：由函数的对称性知， ，
则为最小，
当时，，故点，
由点、的坐标知， ，
则，
即点的坐标为的最小值为；
（3）存在，理由：
设点的坐标为、点的坐标为，
①当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，(2)(1)Δ=(−1−4×1×(−3)=13)2x =1±13
−−√2=x 11+13−−√2=
x 21−13
−−√2(2)2x(x −1)+3(x −1)=0(x −1)(2x +3)=0x −1=02x +3=0=1x 1=−x 2321A OA =2OC =2OA =4C (0,4)A B C 4a −2b +c =016a +4b +c =0c =4 a =−12
b =1
c =
4
y =−+x +412x 2B C {0=4m +n n =4{m =−1
n =4BC y =−x +4A B BC F F FA +FC AF =BF AF +FC =BF +FC =BC x =1y =−x +4=3F (1,3)B C OB =OC =4BC =BO =42–√2–√F (1,3),FA +FC 42–√P (m,−+m +4)12m 2Q (t,−t +4)Q P 2P Q x N M
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则，∴，
解得（舍去负值），当寸，，
故点的坐标为．
②当点在点
的右侧时，
分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，
同理可得：，
∴，
即，
解得（舍去负值），
故，
故点的坐标为，
故点的坐标为或．
【考点】∠PEQ =90∘∠PEN +∠QEM =90∘∠EQM +∠QEM =90∘∠PEN =∠EQM ∠QME =∠ENP =90∘△QME ∽△ENP ===tan ∠EQP =tan ∠OCA ===PN ME EN QM PE QE OA OC 2412
PN =−+m +4,ME =1−t,EN =m −1,QM =−t +4
12m 2==−+m +4
12m 21−t m −1−t +412
m =±13−−√m =13−−√−+m +4=12m 22−513−−√2
P (,)13−−√2−513−−√2Q P P Q N M MQ =t −1,ME =t −4,NE =−+m +4、PN =m −1
12
m 2△QME ∽△ENP ===tan ∠PQE =2MQ EN ME PN EQ PE ==2t −1−+m +4
12m 2t
−4m −1
m =±7–√m =7–√P (,)7–√2+1
7–√2P (,)7–√2+17–√2(,)13−−√2−5
13−−√2
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）由点的坐标知，，
∵，故点的坐标为，将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为；将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线的表达式为；
（2）∵点、关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当
的值最小，理由：由函数的对称性知， ，
则为最小，
当时，，故点，
由点、的坐标知， ，则，即点的坐标为的最小值为；
（3）存在，理由：
设点的坐标为、点的坐标为，
①当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、
，由题意得：，
∴，
∵，
∴，
1A OA =2OC =2OA =4C (0,4)A B C 4a −2b +c =016a +4b +c =0c =4 a =−12b =1c =4y =−+x +412x 2B C {0=4m +n n =4{m =−1n =4
BC y =−x +4A B BC F F FA +FC AF =BF AF +FC =BF +FC =BC x =1y =−x +4=3F (1,3)B C OB =OC =4BC =BO =42–√2–√F (1,3),FA +FC 42–√P (m,−+m +4)
12m 2Q (t,−t +4)Q P 2P Q x N M ∠PEQ =90∘∠PEN +∠QEM =90∘∠EQM +∠QEM =90∘∠PEN =∠EQM ∠QME =∠ENP =90∘
∴，
∴，
∴，则，∴，
解得（舍去负值），当寸，，
故点的坐标为．
②当点在点
的右侧时，
分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，
同理可得：，∴，
即，
解得（舍去负值），
故，
故点的坐标为，
故点的坐标为或．
22.
【答案】
解：，
当时，，
∴，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵点落在轴上，
∴点的纵坐标为，
∴，∠QME =∠ENP =90∘△QME ∽△ENP ===tan ∠EQP =tan ∠OCA ===PN ME EN QM PE QE OA OC 2412
PN =−+m +4,ME =1−t,EN =m −1,QM =−t +4
12
m 2==−+m +4
12m 21−t m −1−t +412
m =±13−−√m =13−−√−+m +4=12m 22−5
13−−√2
P (,)13−−√2−513−−√2Q P P Q N M MQ =t −1,ME =t −4,NE =−+m +4、PN =m −1
12
m 2△QME ∽△ENP ===tan ∠PQE =2MQ EN ME PN EQ PE
==2t −1−+m +4
12m 2t −4m −1
m =±7–√m =7–√P (,)7–√2+17–√2
P (,)7–√2+1
7–√2(,)13−−√2−5
13−−√2(1)y =−2x +312x 2x =0y =3A(0,3)AO =3OAPQ PQ =AO =3Q x P 3−2m +3=312m 2
解得：(舍去)，.
∴的值为.由，可得抛物线的顶点坐标为，∴当点与抛物线的顶点重合时，有最小值，最小值为.
∵，
∴当时，有最大值，最大值为 . 由题意可得，当▱的面积为时，即.∵，∴.∵的横坐标相同，∴点的横坐标为或.当点的横坐标为时，纵坐标为：，此时点的坐标为；当点的横坐标为时，纵坐标为：，此时点的坐标为.综上，点的坐标为或.【考点】
二次函数综合题
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【解答】
解：，当时，，
∴，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵点落在轴上，
∴点的纵坐标为，∴，解得：(舍去)，.
∴的值为.由，可得抛物线的顶点坐标为，∴当点与抛物线的顶点重合时，有最小值，最小值为.
∵，=0m 1=4m 2m 4(2)y =−2x +312x 2(2,1)P PB 1PQ =3m =2BQ 2(3)OAPQ 32OB ⋅AO =32AO =3OB =12P ，B ，Q P 12−12P 12−1+3=18178Q (,−)1278P −12+1+3=18338Q (−,)1298Q (,−)1278(−,)1298
(1)y =
−2x +312x 2x =0y =3A(0,3)AO =3OAPQ PQ =AO =3Q x P 3−2m +3=312m 2=0m 1=4m 2m 4(2)y =−2x +312x 2(2,1)P PB 1PQ =3BQ
∴当时，有最大值，最大值为 . 由题意可得，当▱的面积为时，即.∵，∴.∵的横坐标相同，∴点的横坐标为或.当点的横坐标为时，纵坐标为：，此时点的坐标为；当点的横坐标为时，纵坐标为：，此时点的坐标为.综上，点的坐标为或.23.
【答案】
解：设当时，
与之间的函数关系式为：，
解得故与之间的函数关系式为：；
设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
则当时，有最大值元，
当时，，
故当 时，有最大值为元，
综上所述，一次性采购量为千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为元.【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设当时，
与之间的函数关系式为：，
解得故与之间的函数关系式为：；m =2BQ 2(3)OAPQ 32OB ⋅AO =32AO =3OB =12P ，B ，Q P 12−12P 12−1+3=18178Q (,−)1278P −12+1+3=18338Q (−,)1298Q (,−)1278(−,)1298(1)500<x ≤1000y x y =ax +b {
500a +b =30,1000a +b =20,{a =−0.02,b =40.
y x y =−0.02x +40(2)x w 0<x ≤500w =(30−8)x =22x x =500w 11000500<x ≤1000w =(y −8)x =(−0.02x +32)x
=−0.02+32x
x 2=−0.02(x −800+12800)2x =800w 1280080012800(1)500<x ≤1000y x y =ax +b {
500a +b =30,1000a +b =20,{a =−0.02,b =40.
y x y =−0.02x +40(2)
设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
时，，
则当时，有最大值元，
当时，，
故当 时，有最大值为元，
综上所述，一次性采购量为千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为元.24.
【答案】
①延长交于
，如图所示：
由知，
，.
又，，
.
又，
是等腰直角三角形.
，
，.
故答案为：；．
②与的数量关系和位置关系分别是：
，．
理由如下：作，交延长线于点，连结，
.
由①同理，可知，，.
，
.
当时，，
，.
，，
.
在和中，(2)x w 0<x ≤500w =(30−8)x =22x x =500w 11000500<x ≤1000w =(y −8)x =(−0.02x +32)x
=−0.02+32x
x 2=−0.02(x −800+12800)2x =800w 1280080012800200(2)EP BC F (1)△FBP ≅△EDP (ASA)∴PF =PE BF =DE ∵AC =BC AE =DE ∴FC =EC ∵∠ACB =90∘∴△EFC ∵EP =FP ∴PC =PE PC ⊥PE PC =PE PC ⊥PE PC PE PC =PE PC ⊥PE BF//DE EP F CE CF △FBP ≅△EDP (ASA)
∴BF =DE PE =PF =
EF 12∵DE =AE ∴BF =AE ∵α=90∘∠EAC =90∘∴ED//AC EA//BC ∵FB//AC ∠FBC =90∘∴∠CBF =∠CAE △FBC △EAC BF =AE,
，
，.
，
，
是等腰直角三角形.
，，．③作，交延长线于点，连结，，过点作交延长线于
点，
当，由旋转可知，，与所成夹角的锐角为，
，
同②可得，
同②是等腰直角三角形，，.
在中，，，
，.
又，
，
，
．
【考点】
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
.
点是的中点，
BF =AE,∠CBF =∠CAE,BC =AC,
∴△FBC ≅△EAC (SAS)∴CF =CE ∠FCB =∠ECA ∵∠ACB =90∘∴∠FCE =90∘∴△FCE ∵EP =FP ∴CP ⊥EP CP =EP =EF 12BF//DE EP F CE CF E EH ⊥AC CA H α=150∘∠CAE =150∘DE BC 30∘∴∠FBC =∠EAC =α=150∘△FBP ≅△EDP (ASA)△FCE CP ⊥EP CP =EP =CE 2–√2Rt △AHE ∠EAH =30∘AE =DE =1∴HE =12AH =3–√2
∵AC =BC =3∴CH =3+3–√2E =C +H =10+3C 2H 2E 23–√∴P =E =C 212C 210+33
–√2(1)∵CD//AB ∴∠C =∠B ∵P BC ∴BP =CP
.
在和中，
，
.
，
．
故答案为：．
①延长交于
，如图所示：
由知，
，.
又，，
.
又，
是等腰直角三角形.
，
，.
故答案为：；．
②与的数量关系和位置关系分别是：
，．
理由如下：作，交延长线于点，连结，
.由①同理，可知，，.，
.
当时，，
，.
，，
.
在和中，
，
，.
，
∴BP =CP △ABP △DCP ∠APB =∠CPD,
PB =PC,∠B =∠C,
∴△ABP ≅△DCP (ASA)∴DC =AB ∵AB =200m ∴CD =200m 200(2)EP BC F (1)△FBP ≅△EDP (ASA)∴PF =PE BF =DE ∵AC =BC AE =DE ∴FC =EC ∵∠ACB =90∘∴△EFC ∵EP =FP ∴PC =PE PC ⊥PE PC =PE PC ⊥PE PC PE PC =PE PC ⊥PE BF//DE EP F CE CF △FBP ≅△EDP (ASA)∴BF =DE PE =PF =EF 12∵DE =AE ∴BF =AE ∵α=90∘∠EAC =90∘∴ED//AC EA//BC ∵FB//AC ∠FBC =90∘∴∠CBF =∠CAE △FBC △EAC BF =AE,∠CBF =∠CAE,BC =AC,
∴△FBC ≅△EAC (SAS)∴CF =CE ∠FCB =∠ECA ∵∠ACB =90∘∴∠FCE =90∘
，
是等腰直角三角形.
，
，．
③作，交延长线于点，连结，，
过点作交延长线于
点，当，由旋转可知，，
与所成夹角的锐角为，
，
同②可得，
同②是等腰直角三角形，，
.在中，，，
，.又，
，，．25.
【答案】
直线＝与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：＝，
令＝，则＝或，故点；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时
为最小，函数顶点坐标为，点，
将的坐标代入一次函数表达式并解得：
∴∠FCE =90∘∴△FCE ∵EP =FP ∴CP ⊥EP CP =EP =
EF 12BF//DE EP F CE CF E EH ⊥AC CA H α=150∘∠CAE =150∘DE BC 30∘∴∠FBC =∠EAC =α=150∘△FBP ≅△EDP (ASA)△FCE CP ⊥EP CP =EP =CE 2–√2Rt △AHE ∠EAH =30∘AE =DE =1∴HE =12AH =3–√2∵AC =BC =3∴CH =3+3–√2E =C +H =10+3C 2H 2E 23–√∴P =E =C 212C 210+33–√2y −x +3x y B C B C (3,0)(0,3)B C {
−9+3b +c =0c =3{ b =2c =3
y −+2x +3x 2y 0x −13A(−1,0)1C x C'CD'x E EC +ED D (1,4)C'(0,−3)CD CD
直线的表达式为：＝，
当＝时，，故点，则的最小值为；
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）直线＝与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解；
（3）分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解．
【解答】
直线＝与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：＝，
令＝，则＝或，故点；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时
为最小，函数顶点坐标为，点，
将的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：＝，
当＝时，，故点，则的最小值为；CD y 7x −3y 0x =
37
E(,0)37EC +ED DC'==51+(4+3)2−−−−−−−−−−√2–√y −x +3x y B C B C (3,0)(0,3)B C 1C x C'CD'x E EC +ED P x P x y −x +3x y B C B C (3,0)(0,3)B C { −9+3b +c =0c =3{ b =2c =3
y −+2x +3x 2y 0x −13A(−1,0)1C x C'CD'x E EC +ED D (1,4)C'(0,−3)CD CD y 7x −3y 0x =
37E(,0)37EC +ED DC'==51+(4+3)2−−−−−−−−−−√2–√。