高中数学1-2-2单位圆与三角函数线课件新人教B版必修.
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1．2.2 单位圆与三角函数线
在用两个字母表示有向线段时，将起点 字母写在前， 终点 字母写在后，不能将字母顺序颠倒．
用有向线段表示三角函数值，有向线段的长度表示三 角函数值的 绝对值 ，其方向表示三角函数值的 正负 ．
2．用单位圆中的线段表示三角函数值 如图所示，设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半 轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于 M，则点M是点P在x轴上的 正射影 (简称射影)．由三角函 数 的 定 义 可 知 ， 点 P 的 坐 标为 (cosα ， sinα) ， 即 P(cosα ， sinα)． 其中cosα＝ OM ，sinα＝ MP. 也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的 横坐标 和 纵坐标 ．
4．三角函数线的正负：即三条有向线段的正负．三条 有向线段与x轴或与y轴同向则为正值，与x轴或与y轴反向 则为负值．
如果角α的终边在坐标轴上，就要注意考虑特殊情况， 养成良好的思维习惯，正确处理特殊与一般的关系．
[例1] 确定下式的符号：sin1－cos1. [分析] 在单位圆中作出 1，π4的正弦线、余弦线，将 sin1，cos1 与 sinπ4比较即可． [解析] 因为π4<1<π2，如图所示，由三角函数线可得
若 sinα＝12，则 α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π(k∈Z)，角 α
所对应的正弦线分别为 M1P1、M2P2，当角 2kπ＋π6的终边按
逆时针方向旋转至 2kπ＋56π时，显然 sinα>12，故应舍去，所
以 α 应取线 OP1 和线 OP2 以下的角，如图的阴影部分所示．故 α 的取值集合是
3．如果π4<θ<2π，那么下列各式正确的是 ( ) A．cosθ<tanθ<sinθ B．sinθ<cosθ<tanθ C．tanθ<sinθ<cosθ D．cosθ<sinθ<tanθ [答案] D [解析] 如图所示，当π4<α<2π时，AT>MP>OM，即 tanα>sinα>cosα.
二、填空题 4．如图，已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，试 在图中作出α、β的三角函数，然后用不等号填空：
即sinα>cosα tanα>0
① ②
由②知 α 在第一、三象限．
由①sinα>cosα，用正弦线、余弦线得出图中的阴影部
分满足．
故 α 的取值范围是：4π，π2∪π，54π，故选 B. [答案] B
在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边． (1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
[正解] 如图所示 角23π终边与单位圆交于点 P，过单位圆与 x 轴的正半 轴的交点 A 作单位圆的切线交角23π终边的反向延长线于 点 T，则有向线段A→T就是角23π的正切线．
一、选择题
1．已知MP、OM、AT分别是60°角的正弦线、余弦
线和正切线，则一定有
()
A．MP<OM<AT
B．OM<MP<AT
[解析] 如图所示，连结 AP，设△OAP 的面积为 S△OAP， 扇形 OAP 的面积为 S 扇形 OAP，△OAT 的面积为 S△OAT.弧 AP 的长为 l.
∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT， ∴12OA·MP<12l·OA<12OA·AT. 又∵OA＝1，∴MP<l<AT.即 sinα<α<tanα.
[点评] 三角函数线的长度等于三角函数的绝对值， 方向表示三角函数的正负，这为利用几何图形解决问题提 供了方便．
已知 0<α<2π，求证：sinα＋cosα>1. [解析] 如图，设α的终边与单位圆交于P点，作 PM⊥x轴，垂足为M， 则sinα＝MP，cosα＝OM. 在△OMP中，∵OM＋MP>OP， ∴cosα＋sinα>1.
C．AT<OM<MP
D．OM<AT<MP
[答案] B
[解析] OM<MP<AT.
2．使 sinα·cosα<0 成立的角 α 的集合可以表示为( ) A.α|kπ＋π2<α<kπ＋π，k∈Z B.α|2kπ＋2π<α<2kπ＋π，k∈Z C.α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z D.α|2kπ＋π2<α<2kπ＋32π，k∈Z [答案] A
(1)sinα________sinβ； (2)cosα________cosβ； (3)tanα________tanβ. [答案] (1)> (2)< (3)> [解析] 如图所示，
由图得知sinα>sinβ，cosα<cosβ，tanα>tanβ.
5．利用单位圆写出符合下列条件的角 x： (1)若 sinx<－12，则 x∈ ______________________________________________ __________________________； (2)若 cosα>12，则 x∈ ______________________________________________ __________________________.
sin1> 22>cos1， 故 sin1－cos1>0.
[点评] 熟练运用三角函数线可使问题几何化，更加 直观．利用三角函数线比较三角函数值的大小，不仅要看 其长度，还要看其方向．
利用三角函数线，求 sinα<12的角 α 的范围． [解析] 如图所示，首先在 y 轴上找到12，过此点作平
行于 x 轴的直线，交单位圆于 P1 与 P2 两点．
α2kπ＋56π<α<2kπ＋136π，k∈Z
.
[例 2] 若 0<α<π2，证明 sinα<α<tanα. [分析] 解答本题的思维步骤： (1)在直角坐标系中，利用单位圆，作出角α的正弦线 和正切线； (2)根据图形，利用相关三角形及扇形的面积，构造不 等关系； (3)利用三角函数的几何意义，即证得结论．
[解析] 如下列各图所示：
[例 4] 画出角23π的正切线． [误解] 如图所示 角23π的终边与单位圆交于点 P，单位圆与 x 轴的负半 轴交于点 A，过点 A 作单位圆的切线交角23π的终边于点 T， 则有向线段A→T就是角23π的正切线．
[辨析] 作角 α 的正切线时，应过单位圆与 x 轴的正 半轴的交点 A(1,0)作单位圆的切线，该切线与角 α 的终边 或终边的反向延长线有一个交点为 T，则有向线段A→T就是 角 α 的正切线，而本题误解中，将点 A(1,0)误认为是单位 圆与 x 轴的负半轴的交点(－1,0)．
2．要清楚三角函数线的位置，正弦线为角α的终边与 单位圆的交点到x轴的垂直有向线段，余弦线在x轴上，正 切线在过单位圆与x轴正半轴交点的切线上，三条有向线段 中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．
3．要抓准三角函数线的方向，正弦线由垂足指向α终 边与单位圆交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点 指向切线与α终边(或终边的反向延长线)的交点．
[答案] (1)2kπ－56π，2kπ－6π，k∈Z (2)2kπ－π3，2kπ＋π3，k∈Z
三、解答题 6．利用单位圆中的三角函数线，求使－12≤cosθ< 23的 角 θ 的取值范围．
[解析] 作直线 x＝－12交单位圆于 A、B 两点，连结 OA、OB，作直线 x＝ 23，交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则图中阴影部分区域即为角 θ 的终边的范围， 即 2kπ＋π6<θ≤2kπ＋23π或 2kπ－23π≤θ<2kπ－π6，k∈Z.
[例 3] 已知点 P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在
[0,2π)内的角 α 的取值范围是
()
A.2π，34π∪π，54π C.π2，34π∪54π，32π
B.4π，π2∪π，54π D.4π，π2∪34π，π
[解析] ∵点 P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，
∴sinα－cosα>0 ， tanα>0
重点：正确运用单位圆中的三角函数线表示任意角的 三角函数值．
难点：正确用单位圆中的三角函数线表示三角函数值 及运用三角函数线求解简单三角不等式．
1．教材比较重视单位圆中的三角函数线．与单位圆有 关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种“形”上 的补充，它作为三角函数的几何表示，使我们对三角函数 的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角 函数的定义域及三角函数的符号规律，加深了形与数的结 合．
在用两个字母表示有向线段时，将起点 字母写在前， 终点 字母写在后，不能将字母顺序颠倒．
用有向线段表示三角函数值，有向线段的长度表示三 角函数值的 绝对值 ，其方向表示三角函数值的 正负 ．
2．用单位圆中的线段表示三角函数值 如图所示，设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半 轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于 M，则点M是点P在x轴上的 正射影 (简称射影)．由三角函 数 的 定 义 可 知 ， 点 P 的 坐 标为 (cosα ， sinα) ， 即 P(cosα ， sinα)． 其中cosα＝ OM ，sinα＝ MP. 也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的 横坐标 和 纵坐标 ．
4．三角函数线的正负：即三条有向线段的正负．三条 有向线段与x轴或与y轴同向则为正值，与x轴或与y轴反向 则为负值．
如果角α的终边在坐标轴上，就要注意考虑特殊情况， 养成良好的思维习惯，正确处理特殊与一般的关系．
[例1] 确定下式的符号：sin1－cos1. [分析] 在单位圆中作出 1，π4的正弦线、余弦线，将 sin1，cos1 与 sinπ4比较即可． [解析] 因为π4<1<π2，如图所示，由三角函数线可得
若 sinα＝12，则 α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π(k∈Z)，角 α
所对应的正弦线分别为 M1P1、M2P2，当角 2kπ＋π6的终边按
逆时针方向旋转至 2kπ＋56π时，显然 sinα>12，故应舍去，所
以 α 应取线 OP1 和线 OP2 以下的角，如图的阴影部分所示．故 α 的取值集合是
3．如果π4<θ<2π，那么下列各式正确的是 ( ) A．cosθ<tanθ<sinθ B．sinθ<cosθ<tanθ C．tanθ<sinθ<cosθ D．cosθ<sinθ<tanθ [答案] D [解析] 如图所示，当π4<α<2π时，AT>MP>OM，即 tanα>sinα>cosα.
二、填空题 4．如图，已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，试 在图中作出α、β的三角函数，然后用不等号填空：
即sinα>cosα tanα>0
① ②
由②知 α 在第一、三象限．
由①sinα>cosα，用正弦线、余弦线得出图中的阴影部
分满足．
故 α 的取值范围是：4π，π2∪π，54π，故选 B. [答案] B
在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边． (1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
[正解] 如图所示 角23π终边与单位圆交于点 P，过单位圆与 x 轴的正半 轴的交点 A 作单位圆的切线交角23π终边的反向延长线于 点 T，则有向线段A→T就是角23π的正切线．
一、选择题
1．已知MP、OM、AT分别是60°角的正弦线、余弦
线和正切线，则一定有
()
A．MP<OM<AT
B．OM<MP<AT
[解析] 如图所示，连结 AP，设△OAP 的面积为 S△OAP， 扇形 OAP 的面积为 S 扇形 OAP，△OAT 的面积为 S△OAT.弧 AP 的长为 l.
∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT， ∴12OA·MP<12l·OA<12OA·AT. 又∵OA＝1，∴MP<l<AT.即 sinα<α<tanα.
[点评] 三角函数线的长度等于三角函数的绝对值， 方向表示三角函数的正负，这为利用几何图形解决问题提 供了方便．
已知 0<α<2π，求证：sinα＋cosα>1. [解析] 如图，设α的终边与单位圆交于P点，作 PM⊥x轴，垂足为M， 则sinα＝MP，cosα＝OM. 在△OMP中，∵OM＋MP>OP， ∴cosα＋sinα>1.
C．AT<OM<MP
D．OM<AT<MP
[答案] B
[解析] OM<MP<AT.
2．使 sinα·cosα<0 成立的角 α 的集合可以表示为( ) A.α|kπ＋π2<α<kπ＋π，k∈Z B.α|2kπ＋2π<α<2kπ＋π，k∈Z C.α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z D.α|2kπ＋π2<α<2kπ＋32π，k∈Z [答案] A
(1)sinα________sinβ； (2)cosα________cosβ； (3)tanα________tanβ. [答案] (1)> (2)< (3)> [解析] 如图所示，
由图得知sinα>sinβ，cosα<cosβ，tanα>tanβ.
5．利用单位圆写出符合下列条件的角 x： (1)若 sinx<－12，则 x∈ ______________________________________________ __________________________； (2)若 cosα>12，则 x∈ ______________________________________________ __________________________.
sin1> 22>cos1， 故 sin1－cos1>0.
[点评] 熟练运用三角函数线可使问题几何化，更加 直观．利用三角函数线比较三角函数值的大小，不仅要看 其长度，还要看其方向．
利用三角函数线，求 sinα<12的角 α 的范围． [解析] 如图所示，首先在 y 轴上找到12，过此点作平
行于 x 轴的直线，交单位圆于 P1 与 P2 两点．
α2kπ＋56π<α<2kπ＋136π，k∈Z
.
[例 2] 若 0<α<π2，证明 sinα<α<tanα. [分析] 解答本题的思维步骤： (1)在直角坐标系中，利用单位圆，作出角α的正弦线 和正切线； (2)根据图形，利用相关三角形及扇形的面积，构造不 等关系； (3)利用三角函数的几何意义，即证得结论．
[解析] 如下列各图所示：
[例 4] 画出角23π的正切线． [误解] 如图所示 角23π的终边与单位圆交于点 P，单位圆与 x 轴的负半 轴交于点 A，过点 A 作单位圆的切线交角23π的终边于点 T， 则有向线段A→T就是角23π的正切线．
[辨析] 作角 α 的正切线时，应过单位圆与 x 轴的正 半轴的交点 A(1,0)作单位圆的切线，该切线与角 α 的终边 或终边的反向延长线有一个交点为 T，则有向线段A→T就是 角 α 的正切线，而本题误解中，将点 A(1,0)误认为是单位 圆与 x 轴的负半轴的交点(－1,0)．
2．要清楚三角函数线的位置，正弦线为角α的终边与 单位圆的交点到x轴的垂直有向线段，余弦线在x轴上，正 切线在过单位圆与x轴正半轴交点的切线上，三条有向线段 中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．
3．要抓准三角函数线的方向，正弦线由垂足指向α终 边与单位圆交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点 指向切线与α终边(或终边的反向延长线)的交点．
[答案] (1)2kπ－56π，2kπ－6π，k∈Z (2)2kπ－π3，2kπ＋π3，k∈Z
三、解答题 6．利用单位圆中的三角函数线，求使－12≤cosθ< 23的 角 θ 的取值范围．
[解析] 作直线 x＝－12交单位圆于 A、B 两点，连结 OA、OB，作直线 x＝ 23，交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则图中阴影部分区域即为角 θ 的终边的范围， 即 2kπ＋π6<θ≤2kπ＋23π或 2kπ－23π≤θ<2kπ－π6，k∈Z.
[例 3] 已知点 P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在
[0,2π)内的角 α 的取值范围是
()
A.2π，34π∪π，54π C.π2，34π∪54π，32π
B.4π，π2∪π，54π D.4π，π2∪34π，π
[解析] ∵点 P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，
∴sinα－cosα>0 ， tanα>0
重点：正确运用单位圆中的三角函数线表示任意角的 三角函数值．
难点：正确用单位圆中的三角函数线表示三角函数值 及运用三角函数线求解简单三角不等式．
1．教材比较重视单位圆中的三角函数线．与单位圆有 关的三角函数线是对任意角三角函数定义的一种“形”上 的补充，它作为三角函数的几何表示，使我们对三角函数 的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角 函数的定义域及三角函数的符号规律，加深了形与数的结 合．