2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练及答案解析

1
例2.已知函数f(x)
2
x 2x a ,x
[1, )■
2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一求函数的定义域、值域
A
--------------------------------------- ------------------------------------------------------------
例 1 ( 1)函数 f(x) —In C ，x 2 3x 2 . x 2 3x 4)的定义域为()
x
A.(
, 4)
[2,
)；B. ( 4,0) (0,1) ； C. [, 4,0)
(0,1]Q . [, 4,0)
(0,1)
(2)设 f
x
Ig 2
x
，则 f x f 2
的定义域为(
)
2
x
2
x
A. 4,0 0,4
；
B.
4, 1 1,4 ； C. 2,
1
1,2 ；
D.
4, 2
2,4
【答案】( 1)D ； (2) B
【解析】(1)欲使函数f (x)有意义，必须并且只需
x 2 3x 2 0 2
x 3x 4
-------------- --------------------- x [ 4,0) (0,1)，故应选择 D
x 2 3x 2 x 2 3x 4 0
x 0
【易错点】抽象函数的定义域
【思维点拨】 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的
x 的取值范围，实际操作时要
注意：①分母不能为 0;②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幕中，底 数不等于0；⑤负分数指数幕中，底数应大于 0;⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集 合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意 定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

求复合函数定义域
，即已知函数f (x)的定义为［a,b ］，则函
数f ［g(x)］的定义域是满足不等式 a g(x) b 的x 的取值范围；一般地，若函数f ［g(x)］的定义域是［a,b ］， 指的是x ［a,b ］，要求f (x)的定义域就是x ［a,b ］时g(x)的值域。

(2)由乙一0得，f (x)的定义域为
2 x
x
解得x 4,1U1,4。

故f -
2 △ 2, 2 x 2，故
2
2 2 -2.
x
f
2 的定义域为
4, 1 1,4 .选 B
x
2
(1
1>
1
(［)当a 1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x ［1,
), f (x) 0恒成立，试求实数a 的取值范围。

【答案】(1) f (x)在区间［1
)上的最小值为f(i)- ， 2
(2)a 3
1
1 1 【解析】(1)当 a —时，f(x) x
2, f'(x)
1 2
2
2x
2x 2
x 1， f (x) 0。

f (x)在区间［1,)上为增函数。

f (x)在区间［1,)上的最小值为f (1)
7。

2
2
(2) f (x) x 红工 0在区间［1,)上恒成立；
x
x 2 2x a 0在区间［1,)上恒成立； x 2 2x a 在区间［1,)上恒成立；
函数y x 2 2x 在区间［1,)上的最小值为3， a 3
【易错点】不会求函数的值域。

否成立，否则会得到
1 f(x) (x
) I 2 2 x
1
2 .22
2x
2x
而认为其最小值为 •、2 2，但实际上， 要取得等号, 1 必须使得
x ——，这时x
1 [?)
2x
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。

其次 ，不等式恒成立问题常
转化为求函数的最值。

本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函 数的配方
法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型二函数图像
【思维点拨】对于函数f (x)
1
x 一 2x 2,若x 0，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是
例1(1)函数y e |lnx |x 11的图象大致是( )
C
(2)设函数的集合
1 1
P f(x) log2(x a) ba 〒。

，彳吐1,0,1，
平面上点的集合
1 1
Q (x, y) x -,0,2,1； y 1,0,1 ，
则在同一直角坐标系中，P中函数f (x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
(A)4 ( B)6 ( C) 8 ( D)10
⑶如图所示，一质点P(x, y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的
运动速度V V(t)的图象大致为
【答案】
(1)
D ；
(2)答案 B
(3)答案 B
【解
析】
(1)当x
(2)当x 1时，1 时，y x (x 1) 1 ，可以排除A和C;又当x
3
—，可以排
除
x (x 1) 1，可以排除A和C;又当x
1时,
2
1时，
2
3，可以排除B
2
⑶解析由图可知，当质点P(x, y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到
O
3
4
负数，再到0,到正，故A 错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近 0，故D 错误；质点P(x,y)
在开始时沿直线运动，故投影点
Q(x,0)的速度为常数，因此 C 是错误的，故选 B .
【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。

【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考 57
【答案】f 57
4
2
x x 3 —
3
【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。

【思维点拨】因数配形。

题型三函数的性质
例1 (1)函数f(x)的疋义域为R ，右f (x 1)与f (x 1)都是奇函数，则( A. f (x)是偶函数
B. f (x)是奇函数
C. f(x) f(x 2)
D. f (x 3)是奇函数
(2)对于正实数 ，记M 为满足下述条件的函数
f (x)构成的集合:
2 x ，此为抛物线方程，其焦点为F
3 0'1
,准线方程为
记点 A 3,4，则①可以改写为 x 2 y 2
3 3 ，它表示为抛物线上的
4
点M x, y 到点 A 与到焦点F 的距离之和: MA MF , 注意点A
在抛物线的上方, 由于点M 到焦点的距离等于其到准线的距离: MF MH ,故当点M 移至M j 使在垂线
AH 1上时，MA MH 的值最小，为AM 1 MH 1 AH 1 4
19
，即-f
4
3
19 19
，所以f
4
4
57 例2求函数f x
9 x 3 2 x 2 12 2
-------------------------------- 2
2 2
9 9x x -
4
的最小值.
【解析】由于-f x
3
…①
x !, x 2 R 且 x 2 x-i ，有
5
【易错点】函数性质掌握不够透彻
【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证
1 •当a 8时，求f X 的单调区间;
2 .对任意正数a ，证明：1
即f (X )在(0,1］中单调递增，而在［1,)中单调递减.
A . 若 f(x) M 1，g(x) M 2， 则 f(x) g(x)
M 1 2
B
.
若 f(x) M 1，g(x) M 2， 且 g(x)
0,则
f(X)
M 1
g(x) 二
C . 若 f(x) M 1，g(x) M
2
, 则 f(x)
g(x)
M 1 2 D
. 若 f(x) M 1，g(x)
M 2， 且
1
2，则
f(x) g(x)
【答
案】 (1) D
；
(2) C ;
(X 2 X i ) f(X 2) f(X i )
(x 2 X 1) •下列结论中正确的是 Q f (X 1)与 f (x 【解
析】
1)都是奇函数, (1)
M 1
f( X 1)
f(X 1),f (
X 1)
f(X 1)，
函数f (X )关于点(1,0), 及点 (1,0)对称，函数f (X)是周期T
2［1 ( 1)］ 4的周期函数.
f( X 1
4) f (X 1 4)， f( X 3) f(x 3)，即 f(x 3) 是奇函数。

故选D
(2)对于
(X 2 X 1)
f (X 2) f (X 1)
(X 2 X ,),即有
f(X 2) f(xj
X 2 X 1
f(X 2) f(xj X 2 X-i
，不妨设 f (X ) M 1 , g(x) M 2，即有 1
k f
1,
2
k g
2，因此有
k f k g
1
2，因此有
f(x) g(x)
例2•已知函数f X
山 X
V 1 a
，X 0,
【答案】 f(x)在(0,1］中单调递增，而在［1,
)中单调递减.
【解析】 1 、当 a 8 时，f x
1
丄，求得
3
于是当X (0,1］时，f X 0 ；
而当X ［1,)时，f
6
8
若令b
，贝U abx 8…①，而f x
ax
1%
2，a ：b 8
(一)、先证
1 x
1 1 1
又由 2 a b x 2, 2a 2 bx 44 2abx 8，得 a b x 6 •所以
1 1 1 丄 1 .1 x . 1 a . 1 b 1x1a
3 2(a b x) (ab ax bx) (1 x)(1 a)(1 b)
9 (a b x) (ab ax bx) (1 x)(1
a)(1 b)
1 (a b x) (ab ax bx) abx
(1 x)(1 a)(1 b)
(二)、再证f x 2 ；由①、②式中关于 x,a,b 的对称性，不妨设 x a b •则0 b 2
1
(i)、当 a b 7,则 a 5，所以 x a 5，因为 --------------------- ：1,
2
=1,此时f x
1 x ,1 a .1 5
(i)、当 a b 7
③，由①得 ,x
因为 —1 1 b
b 2
b 4(1 b)2 同理得」
V 1 a
a 2(1 a) 1
2 •
1 x 1 a 1 b
ab
ab '
, 1 x '、ab 8
[1
扎]2
所以,Ab 1令
⑤，于是
今证明 ab
只要证 ab 2
■ ab 8 a
b
⑦，因为—
—2
1 a 1 b
ab (1 a)(1 b)，
(1 a)(1 b) ab 8
ab
，即ab 8 (1 a)(1 b)，也即a b 7,据③，此为显然.
因此⑦
(2).对任意给定的a 0, x 0,由f(x)
1
得证•故由⑥得f（x） 2 • 综上所述，对任何正数a,
x，皆有1 f x 2 •
【易错点】函数性质掌握不够透彻
【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论
证
【巩固训练】
题型一求函数的定义域和值域
5
2 , ［］1），对于给定的n
4
C；n(n 1)L(n x 1),x 1, x(x 1)L (x x 1)
3
求当x 3,3时，函数的值域
2
【解析1// 16]
(4,] (28,28];当x [| ,2）
时，
[x]
1 , C；-，因为函数u —在［—,2）上是减函
数，
3 3 2 x x 2
得4 816 .,
当x C x56
因为O
彳\ o 由单［调丿性7
得
得4 ; 当[2,3)时,[x] 2 ,C8 , 因为2 x( x 1） 6 , 由单调性得得x 3 x(x 1)
1答案1（4弓（亍28］
28 56 3 x(x 1) 28，故当x -,3时，函数C；的值域是（4,16］（迟,28］
2 3 3 2 x
2•设函数f (x) In ，则函数g(x)
2 x
x 1
f( ) f()的定义域是 _______________
2 x
1 1 1答案1 (4,
2 J
【解析1由乙丄0得，f （x）的定义域为2 x 2。

故
2 x x 2 1 x
1 1
解得4 x 或x 4。

2 2
3.求函数f (x) \ x210x 9 x268x 256 的最大值.
1.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］N*,定义
7
【答案】最大值
3 ...35 .
【解析】f(x) . (x 1)(9 x) . (x 4)(64 x)，则定义域为4x9.
为了从两个根式中移出相同的常数，注意(x 1) (64 x) 63，即
63 ________ 2
64 x 1
63
2
cos ,
N63
，令
x 1
63
64 x
------- sin ,为锐角,
又由(x 4) (9 x) 5，即
cos ，为锐角;
所以r~i 、63cos ,9 x .5 cos ，■, 64 x,63sin
疋
，
f (x) 3 35 cos cos sin sin 3、、35
cos(
时等号成立，此时
x 1
\ 63 cos cos
x 1 9 x (x 1) (9 x)
126
63 63 5
68 即当x 17 '
143
1 空,x 1
17 17
143，而
17
竺4,9 ;
17
解二: 17
利用
f(x)取得最大值3.35 . ,ab . cd .. (a c)(b d),
(因为ab cd 2 , abed ab cd (ad bc)，即(、,ab cd)2(a c)(b d) 两边开方便得上式，其中取等号当且仅当ad bc)
因此f(x) , (x 1)(9 x) ... (64 x)(x 4) (x 1 64 x)(9 x x 4)
63 5 3^35，其中取等号当且仅当(x 1)(x 4) (9 x)(64 x)，即x 143 17
题型二函数图像问题
1•已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f (x 4) f (x)，且在区间［0,2］上是增函
数
若方程f(x)=m(m>0)
8
9
在区间 8,8上有四个不同的根 x-i ,x 2, x 3, x 4则x-i x 2 x 3 x 4 ___________________ . 【答案】-8
【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足 f(x 4) f(x),所以f(x 4) f( x),所以，由f(x)为奇函 数,所以函数图象关于直线
x 2对称且f(0) 0,由f (x 4) f (x)知f(x 8) f(x),所以函数是以 8
为周期的周期函数，又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数 所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数•如图所示，那么 方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根x-i, x 2 ,x 3, x 4 ,不妨设x 1
x 2 x 3 x 4由对称性知
【答案】B ;
并，试求出这些区间长度的总和.
200
【答案】S x 10 2010 2010
i 1
1
2 【解析】考虑函数f (x)— — , 200
10，由于当x 1时，
f(x) 0,故在区间(，1)
L x 1 x 2 x 200
内，不存在使f (x)
0的实数x ；
对于集｛1,2丄,200｝中的任一个k ， 由于当x
k 0 时，f(x)
而当
x k 0 时，f (x)
，且当 x 时，x 10，所以方程
f(x)
0在区间
X i X 2
12 x 3 x 4 4 所以 x - x 2 x 3 x 4 12 4 8
2•如图，动点P 在正方体ABCD ^B 1C 1D 1的对角线BD 1上•过点P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的直线，与正
方体表面相交于 M , N •设BP
x , MN y ，则函数y f (x)的图象大致是(
【解析】过点P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的直线，当点P 运动时，线与正方体表面相交于 M , N 两点形成的
轨迹为平行四边形，可以看出
x 与y 的变化趋势是先递增再递减，并且在 x 的中点值时y 取最大
3•证明：满足不等式
200 x 200
10的实数x 的集合E 可以表为一些互不相交的开区间之
10
(1,2),(2,3), L ,(199,200),(200,
)内各有一个解；依次记这 200 个解为 ^,x 2,L , x ?。

,
于是函数y f(x)的图像大致如下:
y
卓
今构作多项式p(x) (x 1)(x 2)L (x 200) f(x)，由于p(x)是一个200次多项式，故方程
p(x) 0至多有200个互异根，显然每个使 f (x) 0的x 都是p(x) 0的根(注意
x 1,2,L ,200都不是p(x) 0的根，因为每个x k 均使f(x)无意义).
因此X I ,X 2,L ,X 200便是p(x) 0的全部根.这表明，每个X k 是其所在区间
(k,k 1),k 1,2, L ,199 及(200,)中的唯一根.
200
1 据③④得， x —a-i
(其中 i 1
10
F 面由②直接计算x 199的系数a 1:
A
r\
QQQ
从而不等式 f(x)
0的解集是E
(1,X JU(2,X 2)UL U(200,X 200)，故得所有区间长度的总和为
S (X 1 1)
(X 2 2)
L (x
200
200)
注意 p(x)
X 2
x
200
) (1
200)
200
x i 10 i 1
2010
(x 1)(x 2)L (x
200)(
如将p(x)展开，其最高项系数为 10,设
200 199
198
p(x) 10x qx
a 2x
L a
199
X
a
200
又有 p(x) 10(x xj(x X 2)L
(x X 200)
6为p(x)的x 199的系数)
由于在p(x) (x 1)(x 2)L (x 200)(」—L 10)中,x199的系数是
x 1 x 2 x 200
K t199
10 (1 2 L 200) 10 20100 ,(这是因为，在(x 1)(x 2)L (x 200) 中，x199的系数为k,
x k
k 1,2,L ,200 .)
199
所以p(x)中的x 的系数是(10 1) 20100，即Q 11 20100 ；
200 1 200
从而x i— a111 2010 •由①得，S x i10 2010 2010.
i 1 10 i1
题型三函数的性质
1.设函数f(x )在(，)上满足f (2 x) f (2 x), f (7 x) f (7 x)，且在闭区间[0,7]上，只有
f(1) f(3) 0.
(i)试判断函数y f (x)的奇偶性；
(i)试求方程f(x) 0在闭区间[2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.
【答案】见解析
【解
(i)方法-:若 f (x)是偶函数，则
析】
f( x) f[2 (x 2)] f[2 (x 2)] f(4 x) f(x)
于是有f(7) f(4 3) f (3) 0，这与在闭区间［0,7］上，只有f(1) f (3) 0.矛盾
故f (x)不是偶函数；
若f (x)是奇函数，则f(0) f( 0) f(0) 0，这与在闭区间［0,7］上，只有f(1) f (3) 0.矛盾,故若f (x)不是奇函数
所以f (x)既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间［0,7］上，只有f(1) f (3) 0.故f(0) 0，即f (x)不是奇函数
又由f(2 x) f(2 x)知，f( 1) f (5)，而f(5) 0，所以f( 1) 0，又f(1) 0.
所以f( 1) f(1)，可见f(x)不是偶函数
所以f (x)既不是偶函数，也不是奇函数
(i)方法-:因为f(x) f[2 (x 2)] f[2 (x 2)] f(4 x)
f(x) f[7 (x 7)] f[7 (x 7)] f (14 x)
所以f(14 x) f (4 x),即f[10 (4 x)] f(4 x)
所以f (10 x) f (x)，即f(x) f (x 10n )(
n
Z)
又f(1) f(3) 0.，所以x 10n 1和
x
10n 3(n Z)都是方程f (x) 0的根
由2005 10n 1 2005和2005 10n 3 2005 及n Z得到
n 0, 1, 2,, 200
故方程f(x) 0在闭区间［2005,2005］上的根至少有802个
如果存在c (7,10］使得f(c) 0，则f(14 c) f (c) 0
但7 14 c 4，这与在闭区间［0,7］上，只有f(1) f (3) 0.矛盾
故f(x) 0在［0,10］上只有两个根，即x 1和x 3
设d是方程f(x) 0在闭区间［2005,2005］上任意一个根，则存在整数n，使得
d 10n r,r ［0,10］，且f(d) f(10n r) f(r) 0
由上可知r 1或r 3，所以d 10n 1或d 10n 3 (n Z)
所以故方程f(x) 0在闭区间［2005,2005］上仅有802个根
方法二：由f(x) f［2 (x 2)］f［2 (x 2)］ f (4 x)
f［7 (3 x)］ f ［7 (3 x)］ f (10 x)知f (x)是周期为10 的函数，
由f (7 x) f (7 x)知f (x)的图象关于直线x 7对称
又因为f (x) 0在［0,7］上仅有f(1) f (3) 0.所以f (x) 0在［7,10］上没有根
即f(x) 0在［0,10］上只有两个根，即x 1和x 3
于是，f(x) 0在［0,2000］内只有400个根，在［2000,2005］上仅有2个根，在［2000,0］内仅有400个
根，在［2005, 2000］上没有根。

所以故方程f(x) 0在闭区间［2005,2005］上仅有802个根
2•定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x 0,2时，f (x) 具。

求
9x 1 f (x)在2,2上的
解析式。

【答案】f(x)
3x
-x ,0 x 2,
9x1
0,x { 2,0,2},
3x
9
1'2
【解析】⑴当0
时,
£ 2) 1
(24)
2, f( x)
3x3x
9 x 1 9x 1
又f (x)为奇函数,f(x) f( x)
3x 1 9x
当x 0时，由f ( 0) f(0) f(0) 0Q f(x)有最小正周期4, f( 2) f( 2 4) f(2) f( 2) f (2) 0
3x门
x ,0 x 9x1 综上，f(x) 0,x { 2,0,2},
3x
9x1,2,
2x0
3•已知函数f x的图象在a,b 上连续不断，定义:
min f t a t x a,b ，f2 x max f t a t x x a,b ，
其中min f x x D表示函数 f x在D上的最小值, max f x x D表示函数值•若存在最小正整数k，使得f2 x i x k x a对任意的x a,b成立，则称函数f x在D上的最大x为a, b上的’k
阶收缩函数”
cosx
，
x 0, ，试与出f1 x ，f2 x的表达式;
(i)已知函数f x
x 2, x 1,4，试判断f x 是否为 1,4上的k 阶收缩函数”，如果是，求出
对应的k ；如果不是，请说明理由; x 3 3x 2是0,b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围
函数
令
(i) b 2时，f x 在0,b 上单调递增,
因此，1 :2 x
f x x 3 3x 2 , t X f 0 0.
由 题意可得 f 1 x cosx ,
x 0,
f 2 x 1 , x 0,
x 2
x 1,0
1 x
1,1
f 1 x
,f;
> x
x
0,4
x
x 1,4
1 x
2 x 1,0
f 2
x
f 1 x
1 x 0,1
x 2
x
1,4
当 x 1,0
1
时, 1 x 2 k x 1 ,
解
彳
导k 1 x , 故k 2 当 x
0,1 时， 1 k x 1
，解得 k
1 ，故k 1 ；
x 1
当 x
1,4 时， x 2 k x 1
，解得k
2
x
，故k 16
x 1
5，
综上所述， k 16
(i) 5 即存在
是 1,4上的4阶收缩函数
【解析】(i ) (i )已知b 0，函数f x
4，使得f x
(i)
2
3x 6x 3x x 2
，令f X 0，得x
0 或 x 2.
因为f x x 3 3x 2是o,b 上的2阶收缩函数, 所以，①f 2 x f i x 2x0对x 0,b 恒成立; ②存在x 0,b ，使得f 2 x
f 1 x x 0成立.
①即：x 3 3x 2 2x 对x 0,b 恒成立, 由 x 3 3x 2 2x ，解得：0 x 1 或 x 2，
要使 x 3x 2x 对x 0,b 恒成立，需且只需 0 b 1.
由 x x 3x 1 3 5
2 3 .5
f x , 0 x 2
此时f 2 x f 1 x
f 2 , 2 x b
若f x x 3 3x 2是0,b 上的2阶收缩函数,
则f 2 x t x 2x0对x 0,b 恒成立， 则f x 2x 对x 0,2恒成立， 即x 3 3x 2 2x 在0,2上恒成立， 而解x 3x
2x ，得0x1或x 2 ,
故x 3 3x 2 2x 在0,2上不可能恒成立， 故2 b 3 时不符合条件.
3时， 0, 0 x 3 f x , 0 x
2 (i)当 b
f 1 x
,3 ,,f 2 x
f x x b
f 2 ,
2 x
b
f x ,
0x2 此时 f 2 x f 1 x f 2 ,
2x3 ,
f 2 f x , 3 x b
②即: 存在x
0,b ，使得 x x 2 3x
0成立.
(i)当 2
3时,
所以需且只需 综合①②可得:
若f x x3 3x2是0,b上的2阶收缩函数,
则f2 x f l x 2x0对x 0,b恒成立，
则f x 2x对x 0,2恒成立，
即x3 3x2 2x在0,2上恒成立，
而解x 3x 2x，得0x1或x 2 ,
故x3 3x2 2x在0,2上不可能恒成立，
故b 3时不符合条件•
综合以上，可得：--- -- 5 b 1 .
2。