一阶微分方程解法

y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
§10.2 一阶微分方程
一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题.
一阶微分方程的一般形式为
F(x,y,y')0
一阶方程的初值问题的数学模型为
F ( x , y , y ') 0
y
x x0
y0
根据方程本身的特点,一阶方程又可分为：
1
一. 变量可分离的方程
5
因为
dyxduu dx dx
所 以xd du xuf(u)
分离变量, 得
du 1 dx
f (u)u x
若 u- fu≠0, 两端积分, 得
du
f(duu)u
1dxlnc x
于是, 得
x ce
f (u)u
将变量还原, 便可得原方程的通解.
例5 求方程 dy 2 y y 的通解.
dx x x
这 是 n 3 的 贝 努 里 方 程 ,令 z x 2 , 代 入 上 式 得
dz 2 z 2 y dy y
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
18
e 2 ln y[( 2 y )e 2 ln yd y c ]
y 2[( 2y)y2dyc]
y2[1y4c]1y2cy2
2
2
将 z x 2 代 入 上 式 , 得 原 方 程 的 通 解 为
1
y
x2
ce 2
x2
2
17
例10 设可微函数 fx 满足 求 fx.
x f(x)
2 x3f2(x)xdxf(x)1
解 为了求 fx 在等式两端同时求导, 得
x3
f (x) f 2(x)
x
f
'(x)
这是关于未知函数 fx的一阶方程,且 f(2)=1
令 y = fx ,得
dx x yx3 dy y
形如 fydy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分 离的方程.
形如 y’= fxg(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离的
方程. 设 gy ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程 gd(yy) f(x)dx
若函数f与g连续,则两边分别对 x 与 y 积分, 得
dy g(y)
f(x)dxc
c'(x)q(x)ep(x)dx
两端积分, 得 c(x)q(x)ep(x)dxdxc
10
于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为
y e p (x )d x [q (x )ep (x )d x d x c ]
注1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个 特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质.
dx 令zy1, 即y'z2dz
dx 代 入 方 程 , 得dzxzx3
dx
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
16
ze xdx[x3exdxdx]
x2
x2
e 2
[x3e2dxc]
x2
x2
e 2
[e2
(x2
2)c]
x2
ce 2 x2 2
将 z y 1 代 入 上 式 ,得 原 方 程 的 通 解 为
注2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为 待定函数cx, 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x), 从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 常数变易 法. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.
11
例7 求方程 (x1)dy2yex(x1)3的通解.
dx
解 将方程改写为 dy 2 yex(x1)2
事实上, 在方程的两端同除以 y n , 得 yndyp(x)y1nq(x) dx
利用微分的性质 , 方程也可写成 1 dy1np(x)y1nq(x)
1n dx
令 z y 1 n ,将 方 程 化 为 线 性 方 程
15
dz(1n)p(x)zq(x) dx 求出此方程的通解,并将变量代回 z y1n，便可得 到贝努里方程的通解. 例9 求方程 y’= xy + x3y2 的通解. 解 将方程改写为 dy xy x3y2
就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数.
2
例2 求方程 y’= 2xy 的通解. 解 分离变量, 得 1 dy 2 xdx
y
两边积分,得 lnyx2lnc
于是原方程的通解为 y ce x2
例3 求方程 c o s x s i n y d y c o s y s i n x d x 满足初始条件
2
例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2, 且当 Q = 0 时,
p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = fQ.
解 由需求价格弹性的定义, 有
p dQ 1 Q dp Q2
这是变量可分离的方程,移项化简,得
Q dQ 1 dp p
两边积分,得
1Q2 2
lnplnc1
4
解 令 uy, 即 yux 则得 dy x du u
x
dx dx
代入得
x
du dx
2
u
6
分离变量, 得 d u d x 2u x
两端积分, 得
du 2u
dx x
lnc
于 是 ulnxc
将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为 x
yx(lnxc)2
例6 求方程 xdy y(lnylnx)的通解.
1Q2
即 p c1e 2
又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100
故需求函数为
1 Q2
p 100e 2
二. 可化为变量可分离的方程
1. 齐次方程
形如
y'
f ( y) x
的一阶方程,称为齐次微分方程, 简称
齐次方程.
引入新的变换 uy, 即 yux x
就可将齐次方程化为变量可分离的方程.
y
1 dyc] siny
siny[cosyc]
将初始条件 x = 1, y = π/一式, 得 c = 1
故满足初始条件的特解为 x = siny1-cosy
14
3.贝努里方程 形如 dyp(x)yq(x)ynn≠0,1的方程称为贝努里方程.
dx
这种方程,虽然不是线性的，但是采用变量变换的 方法，就可将其化为一阶线性方程.
dx x1
先求齐方程
dy 2 y 0 的通解
dx x 1
分离变量,
得
dy y
2 dx x1
两端积分并整理, 得齐方程的通解 yc(x1)2

用常数变易法求非齐次线性方程的通解
令yc(x)(x1)2
两 端 求 导 ,得 y ' c ' ( x ) ( x 1 ) 2 c ( x ) 2 ( x 1 )
y ce p(x)dx 其中c为任意常数.
9
2.一阶非齐次线性微分方程的通解 一阶非齐次线性微分方程 y’+ pxy = q(x)是齐次方程 的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如
yc(x)e p(x)dx 的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数.
因 y ' c '(x ) e p (x ) d x c (x ) e p (x ) d x p (x ) 将 y与y’代入方程 y’+ pxy = q(x), 并整理, 得
1 1 y2 cy2 x2 2
再 由 初 始 条 件 f(2 ) 1 ,代 入 上 式 , 得 c 3 4
故 所 求 的 函 数 为
1 x2
1 y2 2
3 y2 4
19
dy
所以由非齐次线性方程的通解公式, 得
xe p (y)d y[q (y)ep (y)d yd y c]
e c o ty d y [ s in 2 y e c o ty d y d y c ]
13
e ln s in y [ s in 2y e ln s in y d y c ]
siny[ sin2