第三章-矩阵代数
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》第三章矩阵 第一.二节
此处 AC BC
,
但 A B
矩阵乘法运算规律
设A、B、C、O、E下面各式中相应的
乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：
(1) 结合律：A（BC）=（AB）C；
b1an b2 an bn an
1 1 1 1 例：A B 求AB 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 解 AB 0 0 1 1 1 1 这里AB 0但A 0, B 0
二、矩阵的概念
定义1
m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
由
a11 a 21 a m1
称为
a12 a 22 am 2
a1 n a2n a mn
简称
m 行 n 列的矩阵
m n
矩阵
为表示它是一个整体，总是加一个大括号，
那么A与B的乘积为C (c ij ) mn ,即C AB
其中cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj
a ik bkj (i 1,2m, j 1,2n)
k 1
s
例如
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
则称矩阵A与B相等，记作A=B
矩阵的代数运算
1、矩阵的加法 定义3 则矩阵 设 A (aij ) mn , B (bij ) mn
C (cij ) mn (aij bij ) mn
A (aij )mn
称为矩阵A与B的和。记为C=A+B
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
线性代数-第三章矩阵
推论4若A，B均为可逆矩阵，则
r（AC）＝r（C）；r（CB）＝r（C）；r（ACB）＝r（C）．
推论5可逆矩阵A仅施行初等行（或列）变换即可化为单位矩阵．
例3.4.2求可逆矩阵A= 的逆矩阵。
5、矩阵的等价和等价标准形
定义3.5.1设A，B均为m×n矩阵．若A经过若干次初等行、列变换可化为B，则称A与B等价．
性质3.5.1设A为一个秩为r的矩阵，则A与 等价，并称 为A的等价标准形
下面介绍判断矩阵等价的几个充要条件．
定理3.5.1设A，B均为m×n矩阵，则下述条件中的每一个均为A与B等价的充要条件：
（１）存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B；
定义3.4.1对单位矩阵 施行一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵．
据此对单位矩阵 施行三种初等变换所对应的初等矩阵分别为:
1、互换
2、倍乘
3、倍加
定理3.4.1对矩阵 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘一个相应的n阶初等矩阵．
推论2设 是秩为r的矩阵，则存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q，使得
（２）r（A）＝r（B）；
定理3.5.2秩 秩 ，秩 秩
习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.5
3、已知 与 等价，则a=为什么？
4、证明：秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。
定理3.1.5设 ，A,B,是矩阵，它们的行数和列数使下列各式有意义，则有
1、
2、
3、
4、
5、
定理3.1.6（１）同阶（反）对称矩阵的和仍为（反）对称矩阵
线性代数 第三章 矩阵 第六节
1
或以数 k 0 乘单位矩阵E 的第i 列(ci k)，得
初等矩阵E (i(k )).
3. 以 k 乘单位矩阵E 的第i 行加到第 j 行上 (rj kri ), 得初等矩阵E(i(k), j)
1
E(i(k), j)
10
第i行
k
1
第j行
1
或以 k 乘 E 的第 j 列加到第i 列上 (ci kcj )得 初等矩阵E (i(k), j)
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，则
A1 Pl 1 P11, 于是有
P P 1 1 l l 1
P11 A
E,
及
Pl
1Pl
1 1
P11E
A1,
Pl
1 Pl
1 1
P11
A
E
Pl
1Pl
1 1
P11
A
Pl
1Pl
1 1
P11E
E A1
即对 n 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换，
由上述定理可知：
对任意矩阵A (aij )mn 及 B (bij )mn存在一系列m阶
初等方阵 P1、P2、、PS 和n阶初等方阵Q1、Q2、、Qt
使得
Ps Ps1 P2 P1 AQ1Q2 Qt1Qt B
令: P Ps Ps1 P2 P1 , Q Q1Q2 Qt
则 P、Q是可逆的，于是有: 定理 矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆 阵P 和n阶可逆阵Q，使得
a33 a32 a31
0 0 1 0
a11 AE(1,3) a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
0 1
1 0
0 0 0 0
3--1,2矩阵的基本运算、逆矩阵
1 1 1 1 0 0 BA 1 1 1 1 0 0
即使同型，也未必相等
1 1 2 0 2 2 AC 1 1 0 2 2 2
Note : （1）矩阵乘法不满足交换律，一般 AB BA ； AB 0 A 0 or B 0 ； （ 2）
2015-5-24
（ 3）
12 AB AC B C 即消去律不成立 . 12
Note : 矩阵乘法满足如下性质： （假设以下性质中的运算均可行） （1） 结合律 （2）分配律 (AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB+AC Proof (B+C)A = BA+CA ; (k 是数)
Example 4
1 1 设 A 1 1
1 1 2 0 B C 1 1 0 2 该例得到什么结论？
求 AB、BA、AC . Solution :
1 1 1 1 2 2 AB 1 1 1 1 2 2
（3）数乘结合律 k ( AB) (kA) B A(kB)
对于单位矩阵 E 容易验证： Em Amn Amn，Amn En Amn 简写成 EA = AE = A ( E) A ( EA) A A( E) ( AE) A 数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积 如果方阵 A 与 B 的乘积满足交换律，即 则称 A 与 B 是可交换的.
(A ) A
k l
kl
( k、l 为正整)
( AB)k Ak Bk
AB
右边 A
ABB
B）
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
第第三章矩阵
第三章矩阵§3.1 矩阵的运算练习题1. 如果矩阵X满足X+2A=B－X，其中A=101032302-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭，B=321402010⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭求X。
2. 已知矩阵A=123031⎛⎫⎪⎝⎭，B=130210101⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，计算AB，AB-AB T.3. 设矩阵A=110 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，计算A n,其中n为正整数。
4. 设()1,0,1Tα=-，矩阵A=T αα。
计算n aE A -，其中E 为三阶单位阵，n 为正整数。
5. 设4阶矩阵A=()234,,,αγγγ，B=()234,,,βγγγ，其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式4, 1.A B ==求A B +。
6. 设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AA T=E，A1=。
求A-E。
7. 设矩阵A=110011001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭。
求3阶矩阵X，使得AX=XA。
8.设A是n阶实矩阵。
证明如果AA T=O，则A=O。
9. 设A，B是n阶实矩阵，若A2=A，B2=B，则称A，B为幂等阵。
已知A，B是幂等阵，证明A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA=O。
§3.2 几种特殊的矩阵练习题1. 设矩阵A=12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中12,,,n a a a 两两不同。
证明：与A 可交换的矩阵必是对角阵。
2. 设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵。
证明：AB 是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 。
§3.3 分块矩阵练习题1. 设矩阵A=3400 4300 0020 0022⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭利用分块矩阵求8A。
2. 设矩阵A=100000001000aabb⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，B=000100001000aabb⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭利用分块矩阵计算AA T，（A-B）B T。
3. 设矩阵A=1111 1111 1111 1111 --⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--⎪--⎝⎭利用分块矩阵求A6。
第三章矩阵第二讲
1 j n 于是 A1(1 2 n )＝e1 e2 en.
a 1
A1
.
a 1
由(1)知a 0，故 1 2
1
n＝
a
.
1
a
(3) 若m 0, 对m用归纳法.m 1,显然成立.
x11
设m＝k
1时成立，当m
k
1时，Ak 1 A
xn1
x1n a11
A
C1 k 2 k 1 k 1
C1 k 2 k 1
n1 k n
C k1 n2 k n1 C k1
A
k1
(注意:Cnk1 Cnk Cnk1)
k
k
C n1 k
C n2 k
k n1 k n2
k
f( )
更一般的有：f(A)=
11!f() f( )
21!f() 11!f( )
于是 A 2 BB C'C
3. 设A=(B,C)是n m实矩阵，B是n s子块. 证明： AA BB CC
证： (1)当n=m时，由题2知正确.
(2)当m>n时, 由B-C公式知 AA ＝0，而 BB 0 CC 0，故结论证毕.
(3)当m<n时，AX=0有非零解且基础解系至少含n m个向量,取n m个线
b2n
bnn
bij bi1 j bij1 bij
(i n, j 1) (1)
bnj bnj1 bnj
(i n, j 1) (2)
bn1 bn1
(i n, j 1) (3)
bi1 bi11 bi1
(i n, j 1) (4)
由(4)得 bi11＝0，即 b21=b31 bn1 0 (5)
j=1
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3.
2016/5/11
用rref化为行最简形以后求解 用除法求出一个特解，再用null求得一个齐 次组的基础解系 用符号数学工具箱中的solve求解(第七章)
第三章 矩阵代数 15
3.3 计算实验：线性方程组求解
相似对角化及应用
如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存 在正交矩阵P, 使得 P-1AP= , 其中是A的特征值 构成的对角矩阵，P的列向量是对应的n个正交特 征向量。 使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单 位向量(即模等于1)，并且属于同一特征值的线性 无关特征向量已正交化，所以由此容易进行相似 对角化。
2016/5/11
第三章 矩阵代数
10
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
矩阵分析
rank(A) 秩 det(A) 行列式; inv(A) 逆矩阵; null(A) Ax=0的基础解系； null(A,’r’) 基础解系的有理 (整数或分数)形式 orth(A) A列向量正交规范化 norm(x) 向量x的范数（长度，模） norm(A) 矩阵A的范数
与数组运 算相同
与数组运 算不同
2016/5/11
第三章 矩阵代数
7
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
矩阵运算与数组运算的区别
数组运算按元素定义，矩阵运算按线性代数定义 矩阵的加、减、数乘等运算与数组运算是一致的
注意：矩阵的乘法、乘方、除法与数组乘法、乘 方、除法不同！ 数与矩阵加减、矩阵除法在数学上是没有意义的。 但在MATLAB中有定义。
第三章 矩阵代数
5
3.1 预备知识：线性代数
特征值与特征向量 对于方阵A，若存在 数和非零向量x 使 A x = x，则称为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征 值的特征向量。 特征值计算归结为特征多项式的求根。 特征向量计算：齐次线性方程组 (A - E) x = 0 的所有一组线性无关解。
d3
x3
注：bij=cijxj
22
第三章 矩阵代数
投入产出平衡
行：分配平衡
xi cij x j di , i 1 ~ n
X=B各行之和+外界需求 列：消耗平衡
j 1
n
x j cij x j f j , j 1 ~ n
n
X=B各列之和+新创造价值
第三章 矩阵代数 23
第三章 矩阵代数 19
2016/5/11
投入产出分析
xi cij x j di , i 1 ~ n
令 C =（cij），X = (x1, …, xn)’,D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’, 则 分配平衡方程组 X=CX+D 令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵 A称为列昂杰夫矩阵。
2016/5/11 第三章 矩阵代数 20
n
j 1
c11x1 c12 x2 c1n xn c21x1 c22 x2 c2 n xn B=C diag ( x) 注：bij=cijxj c x c x c x nn n n1 1 n 2 2 B表示各部门间的投入产出关系，称 为投入产出矩阵。 Y = [1,1,…,1] B （B各列的和） Y表示各部门的总投入(消耗)。 新创造价值 F=X –Y'
2016/5/11
第三章 矩阵代数
13
3.3 计算实验：线性方程组求解
例3.1 解方程组
x 2y 1 3x 2 y 4
x 2y 1 3x 2 y 4 x y 2
2016/5/11 第三章 矩阵代数
x 2y z 1 3x 2 y z 4
2016/5/11
第三章 矩阵代数
11
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
特征值与标准形
p=poly(A) 返回方阵A的特征多项式 eig(A) 方阵A的特征值 [V, D]=eig(A)返回方阵A的特征值和特征向量。其 中D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的 V的列为属于该特征值的一个特征向量。 [V, J]=jordan(A) 返回A的相似变换矩阵和约当标 准形(A的相似对角化)
2016/5/11
第三章 矩阵代数
4
3.1 预备知识：线性代数
逆矩阵 方阵A称为可逆的，如果存在方阵B， 使A B = B A = E，记 B = A-1 方阵A可逆的充分必要条件:A0
A-1 =A*/|A| （A
这里A*为A的伴随矩阵
E） 行变换
（E A-1）
2016/5/11
x 2y 1 2 x 4 y 2
14
3.3 计算实验：线性方程组求解
例3.2 线性方程组通解
x1 x 2 x3 x 4 1 x1 x 2 x3 x 4 1 2 x 2 x x x 1 2 3 4 1
MATLAB数学实验
第三章 矩阵代数
第三章 矩阵代数
3.1 预备知识：线性代数 3.2 矩阵代数的MATLAB指令 3.3 计算实验：线性方程组的通解 3.4 建模实验：投入产出分析和基因遗传
2016/5/11
第三章 矩阵代数
2
3.1 预备知识：线性代数
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
2016/5/11 第三章 矩阵代数 17
3.4 建模实验
设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位 产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为 部门j新创造的价值。 分配平衡方程组(部门i产品=内部需求+外部需求)
xi cij x j di , i 1 ~ n
举例说明
2016/5/11
第三章 矩阵代数
9
3.2 矩阵代数的MATLAB指令
矩阵处理
trace(A) 迹(对角线元素的和) diag(A) A对角线元素构成的向量; diag(x) 向量x的元素构成的对角矩阵. tril(A) A的下三角部分 triu(A) A的上三角部分 flipud(A) 矩阵上下翻转 fliplr(A) 矩阵左右翻转 reshape(A, m, n) 矩阵A的元素重排成m行n列矩阵
j 1
n
n
消耗平衡方程组(部门j产值=生产消耗+新创造价值)
x j cij x j f j , j 1 ~ n
i 1
2016/5/11 第三章 矩阵代数 18
列昂杰夫 Leontief, Nobel经济学奖 1973年
W. W. Leontief was a Russian-American economist notable for his research on how changes in one economic sector may have an effect on other sectors. Leontief won the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences in 1973, and three of his doctoral students have also been awarded the prize (Paul Samuelson 1970, Robert Solow 1987, Vernon Smith 2002).
例子 P56-57
第三章 矩阵代数 12
2016/5/11
3.3 计算实验：线性方程组求解
矩阵除法
(1) 当A为方阵，A\B结果与inv(A)*B一致； (2) 当A不是方阵, AX=B存在唯一解, A\B将给出这个 解； (3) 当A不是方阵, AX=B为不定方程组(即无穷多解)， A\B将给出一个具有最多零元素的特解； (4) 当A不是方阵, AX=B若为超定方程组（即无解）, A\B给出最小二乘意义上的近似解，即使得向量 AX－B的范数达到最小。
2016/5/11 第三章 矩阵代数 26
i 1
2016/5/11
投入产出分析
例3.4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂 和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25 元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力， 发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及 0.05元的运输费; 创收一元钱的运输费,铁路要支 付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤 矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金 额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。
2016/5/11
第三章 矩阵代数
24
问三个企业间一周内总产值多少才能满足 自身及外界需求？三个企业间相互支付多 少金额？三个企业各创造多少新价值? 解：这是一个投入产出分析问题。设 x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产 值, x3为铁路总产值, 则
x1 (0 x1 0.65x2 0.55x3 ) 50000 . x3 ) 25000 x2 (0.25x1 0.05x2 010 x (0.25x 0.05x 0 x ) 0 1 2 3 3
记为
Ax=b
第三章 矩阵代数 3
2016/5/11
3.1 预备知识：线性代数
线性方程组