第三节 可降阶的高阶微分方程

例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
2
由 y′ = 0 得 C =0， x =0 1
x ln( p + 1 + p ) = a
2
x ln( p + 1 + p ) = a
3. y′′ = f ( y, y′) 型
dp dpdy dp = =p 。 dx dy dx dy
令 p = y′ ，则 y′′ =
于是， 于是，原方程化为
dp p = f ( y, p )。 dy
这是一个一阶微分方程。 这是一个一阶微分方程。设其通解为 dy = p = ϕ ( y, C1 ) 。 dx 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。
GM g = 2 , GM = gR 2 . 于是方程（*）成为 所以 R
d2 y gR 2 =− 2 . 2 dt y
(**)
初始条件为
y (0) = l , y′(0) = 0
dy 先求物体到达地面时的速度. 由 = v, 得 dt
d 2 y dv dv dy dv = = ⋅ =v , 2 dt dt dy dt dy
次积分即可求解这类方程，但请注意： 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数。 每次积分都应该出现一个积分常数。
例1
解
的通解。 求方程 y′′′ = ln x 的通解。
得到所求的通解： 对方程两边关于 x 连续积分 3 次，得到所求的通解：
y′′ = ∫ ln x d x = x ln x − x + C1， y′ = ∫ ( x ln x − x + C1 ) d x
代入方程（**）并分离变量，得
gR 2 vdv = − 2 dy. y
积分，得
2 gR 2 v2 = + C1. y
由初始条件，得
2 gR 2 C1 = v = 2 gR − , v = − R 2 g − . y l y l
y′(b − y ) dt ds − − (b − y )v0 ⋅ + b − y y′ ds dx = 2 (b − y ) ′2 y
(v0 v1 ) ⋅ y′ ⋅ 1 + y′ =− b− y
2
2
由题设可得初值问题如下：
d2 y (v0 v1 ) ⋅ y′2 ⋅ 1 + y′2 λ y ′2 ⋅ 1 + y ′2 , =− 2 =− b− y b− y dx y (0) = 0, b y′(0) = . v0 其中 λ = < 1. a v1
积分，得
1 t= R
由初始条件
l y 2 ly − y + l arccos + C2 2g l y (0) = l 得C2 = 0.
于是，前式变为
1 l y 2 ly − y + l arccos t= R 2g l
在上式中令 y=R,便得到物体到达地面所需的时间为
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程
二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。
通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法，称为“降阶法” 分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。
“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 降阶法
H
y
T M
A o
θ
ρ gs
x
把作用于弧 AM 上的力沿垂直及水平方向分解，得
T sin θ = ρ gs, T cos θ = H
1 tan θ = s a
又 tan θ = y′, s =
H (a = ) ρg
1 + y ′ 2 dx ,
代入上式，得到微分方程：
∫
x
0
1 x y′ = ∫ 1 + y′2 dx a 0
例2
解
的通解。 求方程 y ( n ) = 1 的通解。
得到所求的通解： 对方程两边关于 x 连续积分 n 次，得到所求的通解：
y ( n −1) = x + C1 ，
y
( n−2)
1 2 = x + C1 x + C2 ， 2
1 3 1 y = x + C1 x 2 + C2 x + C3 ， 3! 2! LLLLLLLL 1 1 n −1 ′= y x + C1 x n − 2 + L + Cn − 2 x + Cn −1 ， (n − 1) ! ( n − 2) !
( a, b)
M ( x, y )
O
则有：
x
dy b− y = dx a + v0t − x
为消去参数 t ，对上式两端求关于 x 的导数，得
dy b− y = dx a + v0t − x
dt − y′(a + v0t − x) − (b − y )(v0 − 1) 2 d y dx = 2 2 (a + v0t − x) dx
综上所述， 综上所述，原方程的通解为
y = C2 eC1x。
例6 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始
落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）. 解 取联结地球中心与该物体的直线为y轴， 其方向铅直向上，取地球的中心为原点O(如图） 设地球的半径为R，物体的质量为 m ，物体 开始下落时与地球中心的距离为 l (l>R),在时 刻 t 物体所在位置为 y l
ln x 3 =x − + C1 x + C2， 2 4
2
2 ln x 3 − + C1 x + C2 d x y = ∫ x 2 4
1 3 11 3 C1 2 = x ln x − x + x + C2 x + C3 。 6 36 2
令 p = y′，则原方程化为 d p 2x d x = ， 2 p 1+ x
两边积分， 两边积分，得
p = C1 ( 1 + x 2 ) ，
dy = C1 ( 1 + x 2 ) ， 即 dx 再积分， 再积分，得原方程的通解 1 3 y = ∫ C1 ( 1 + x ) d x = C1 ( x + x ) + C2 。 3 = 1，y′ x =0 = 3 代入，得 C1 = 3 ， C2 = 1。 代入，
R
y
= ϕ (t ),
从而速度为 o
dy v(t ) = . dt
根据万有引力定律，即得微分方程
GmM d2 y m 2 =− , 2 y dt
整理后为
d2 y GM =− 2 , 2 dt y
y (*) l
R
其中M为地球的质量，G为引力常数. 因为y=R时，
d2 y = −g 2 dt
o
(取负号是因为物体运动加速度的方向与y轴的正向相反）
1 l R 2 lR − R + l arccos . t= R 2g l
例 导弹跟踪飞机问题。 y
如右图所示，设在初始 时刻 t = 0 时，导弹位 于坐标原点（0, 0）， 飞机位于点
A( x A , b)
b
( a, b)
( x, y )
(a, b).
O
飞机沿着平行于 x
p = ϕ ( x, C1 ) ，
型的方程： 这是一个 y ( n ) = f ( x) 型的方程： y ( n −1) = ϕ ( x, C1 ) ，
连续积分即可求解。 连续积分即可求解。
例3
解
求方程 ( 1 + x 2 ) y′′ = 2 xy′ 满足条件 y x =0 = 1，y′ x =0 = 3 解。
1. y ( n ) = f ( x) 型 令 u = y ( n −1)，则原方程化为 du = f ( x) 。 dx
这是变量可分离的方程，两边积分， 这是变量可分离的方程，两边积分，得
u = ∫ f ( x) d x + C1 = ϕ ( x) + C1 ,
即
(n) y ( n −1) = ϕ ( x) + C1 。 仍是 y = f (x) 型
2
以条件 y x =0
故所求特解为
y = x 3 + 3 x + 1。
例4
解
求方程 x y ( 5) − y ( 4 ) = 0 的通解。
令 p = y ( 4 )，则原方程化为 dp x − p = 0， dx 分离变量， 分离变量，得 d p dx = ， p x 积分， 积分，得
y ( 4 ) = p = Cx ， y ( n ) = f ( x) 型
( n −3)
y=
1 n 1 x + C1 x n −1 + L + Cn −1 x + Cn 。 n! (n − 1) !
2. y ( n ) = f ( x, y ( n −1) ) 型 令 p = y ( n −1)，则原方程化为
dp = f ( x, p ) 。 dx 这是一个一阶微分方程。 这是一个一阶微分方程。设其通解为
2
由此解得
1 p = (e − e ) 2
x a − x a
x a
−
x a
即
− a a 积分，得 y = (e + e a ) + C 2 2
1 y′ = (e − e ) 2 x x
y x =0 = a 解得 C2=0，所以 y = a (e + e ) = a cosh x 由 2 a
x a
−
x a
为 y = y ( x).
H
y
T M
A o
θ
ρ gs
x
研究绳索上由点 A 到另一点 M (x, y)间的一段弧 AM ，设其长为 s . 假定绳索的线密度为ρ，则弧 AM 的重量为 ρ gs.
由于绳索是柔软的，因而在点 A 处的张 力沿水平的切线方向，其大小设为 H ， 在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 设其倾角为θ , 其大小为 T . 因作用于弧段 AM 的外力相互平衡，
连续积分 4 次，得原方程的通解为 C y = C1 x + C2 x + C3 x + C4 x + C5 ， ( C1 = )。 120
5 3 2
例4 设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 求在平衡状态时绳索所在曲 线的方程. 解 设绳索的最低点为 A . 取 y 轴通过 A 点垂直向上，并取 x 轴水平向右，且 |OA| 等于某 个定值. 设绳索所在曲线的方程
x
轴的方向以常速度 v0 飞行。导弹在时刻 t 的位置为点 ( x, y ), 其速度为 v1 , 导弹在飞行过程中，按照制导系统始指向飞机。试 确定导弹的飞行轨迹以及击中飞机所需要的时间 T .
飞机 解 在 t 时刻，
y
b
A( x A , b)
( 的坐标为：a + v0t , b).
飞机和导弹同时在导弹 飞行路线上点 M ( x, y ) 处的切线上，设导弹飞行 的路线方程为 y = y (x ),
令
y ′ = p,
d2y dp =p 2 dx dy
代入原方程，可得
p2 1+ p2 dp = −λ p dy b− y