2013江门一模(理数)含答案--全WORD--精心排版

否 是
1 , 1 , 10===n q p
开始 输入a
结束
q p >
输出n a p p +=
a q q ⨯= 1+=n n
3
3
3 4 正视图
侧视图
俯视图
保密★启用前 试卷类型：B
江门市2013年高考模拟考试
数学（理科）
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．
参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈ 已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M （ ） A ．{}1|≤x x B ．{}10|≤<x x C ．{}10|<<x x D ．{}10|≤≤x x
⒉ 在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是i -2（其中， i 是虚数单位），如果点A 关于实轴的对称点 为点B ，则向量OB 对应的复数是（ ）
A ．i --2
B ．i +-2
C ．i +2
D ．i 21-
⒊ 采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后 在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ， 编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 ⒋ 右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）
A ．72
B ．36
C ．24
D ．12
⒌ 在ABC ∆中，若π125=
∠A ，π4
1
=∠B ，26=AB ，则=AC （ ） A ．3 B ．32 C ．33 D ．34
⒍ 若0>x 、0>y ，则1>+y x 是12
2>+y x 的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
⒎ 已知x 、y 满足42
2
=+y x ，则543+-=y x z 的取值范围是（ ） A ．] 15 , 5 [- B ．] 10 , 10 [- C ．] 2 , 2 [- D ．] 3 , 0 [
⒏ 设)(x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当] 1 , 0 [∈x 时，2
2)(x x x f -=，则)(x f 在区间] 2013 , 0 [ 内零点的个数为（ ）
A ．2013
B ．2014
C ．3020
D ．3024
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题） ⒐ 已知数列{}n a 的首项11=a ，若*
∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．
⒑ 执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ． ⒒ 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD - 内（含正方体表面）任取一点M ，则
11
≥⋅AM AA 的概率=p ． ⒓ 在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14
22
2=+-m y m x 的焦距为8，则=m ．
⒔ 在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2
x y =所围成的
封闭图形的面积为
3
2
8，则=a ． (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，曲线2sin =θρ 与2cos -=θρ的交点的极坐标为 ． ⒖（几何证明选讲选做题）如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，
A B C D
1
A 1
B 1
C 1
D M
D
A
B
C
E
F G
•
•PC PD 4=．若O 到AB 的距离为4，则O 到CD 的距离为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)6
52sin()(π
+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-． ⑴求)0(f ；
⑵若函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求ϕ的最小值．
⒘（本小题满分14分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销。

⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率； ⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为m 3元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为m 6元的奖金。

假设顾客每次抽奖中获的概率都是3
1
，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
⒙（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E 。

F 、G 分别是CE 、AD 的中点。

现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0
135．
⑴求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；
⑵求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．
⒚（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率2
3
=e ，右焦点为)0 , 3( F ． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量+与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．
⒛（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，2≥∀n ，43-n S 、n a 2、12--n S 总成等差数列． ⑴求n S ；
⑵对任意*
N k ∈，将数列{}n a 的项落入区间) 3 , 3 (2k
k
内的个数记为k b ，求k b ．
21.（本小题满分14分）
已知x a a x a x x f ln )()12(2
1)(22
+++-=（0>x ，a 是常数），若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．
江门市2013年高考模拟考试 数学（理科）评分参考
一、选择题 BCAD DBAC 二、填空题 ⒐⎩⎨
⎧-=是正偶数是正奇数 ，
2
, 1n n a n ，或23)1(211±-+-
=n n a ⒑4 ⒒4
3
⒓3（未排除4-，给3分） ⒔2 ⒕)4
3 , 22(π
（只对一个坐标，或书写错误，给2分） ⒖7 三、解答题
⒗ 解：⑴因为函数)6
52sin()(π
+
=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-， 所以=2A ，5()2sin(2)6f x x π=+……2分，5(0)=2sin 16
f π
=……4分
⑵函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得52sin[2()]6
y x π
ϕ=++……6分
因为52sin[2()]6y x πϕ=++的图像关于y 轴对称，所以52(0),62
k k Z ππ
ϕπ++=+∈……8分
解得,62k k Z ππϕ=-+∈……10分，因为0>ϕ，所以ϕ的最小值为3
π
……12分
⒘ 解：⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有3
8C 种不同的选法……1分，选出的3种商品中，没有家电的选法有3
6C 种……2分
所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为14
9
1)(383
6=-=C C A P ……4分
⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其可能的取值为0，m ，m 3，m 6（单元：元）…5分
0ξ=表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以27
8
)311()0(3=-==ξP ……6分
同理，9431)311()(213=⨯-⨯==C m P ξ……7分，9
2)31()311()3(212
3=⨯-⨯==C m P ξ……8分
27
1)31()6(33
3=
⨯==C m P ξ……9分，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 m m m m E 3
4
2716923942780)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ……12分（列式2分，计算1分）
由1003
4
≤m ，解得75≤m ……13分 所以故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利……14分。

⒙ ⑴证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE ⋂=⊂，平面，
∴ AE ⊥平面CDE ， 3分， AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ． 5分 ⑵（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系 6分
DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0
135，……7分
1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0
，0）
，B （2,1,0），C （0,1,0），E （0,0,0），D （0，1-,1）9分 F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F
1（0，，0）2，G -11
（1，，）22
10分 ∴FG =-11
（1，，）2
,AE =（-2，0，0）
， 11分，由⑴知AE 是平面DCE 的法向量， 12分
设直线FG 与面DCE 所成角02
π
αα≤≤
（）
，则22
sin 3
322
FG AE FG AE
α⋅-==
=⨯， 故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为2
3
． 14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分
由⑴知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分
G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，2
2
=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0
135，……9分
在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 22
22 45)22(222122141=-⨯⨯⨯-+（或2
5=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2
3
22=+=FH GH GF
……13分（列式1分，计算1分）
所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为3
2
sin ==
∠GF GH GFH ……14分 ⒚ 解：⑴设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>， 1分
椭圆C 的离心率23=e
，右焦点为)0
, 3( F ，∴c c
a =
=， 222
a b c =+，∴2,1,a b c === 3分，故椭圆C 的方程为2214
x y +=． 4分
⑵假设椭圆C 上是存在点P （00,x y ），使得向量+与FA 共线， 5分
00(,1)OP OA x y +=+
，(FA =-，
∴01
1y +=，即001)x y =+，（1） 6分 又点P （00,x y ）在椭圆22
14x y +=上，∴220014
x y += (2) 7
分 由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩，或0071
7x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪
=⎪⎩
， 9分，∴(0,1)P -，或1()77P -， 10分 当点P
的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =，
当点P
的坐标为1
()7
P 时，直线AP 44
0y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． 12分
⒛ 解：⑴2≥∀n ，43-n S 、n a 2、12--n S 总成等差数列，所以22n a ⨯=（43-n S ）+（12--n S ）…1分
因为1(2)n n n a S S n -=-≥，所以14()n n S S --=（43-n S ）+（12--n S ），即132n n S S -=-……3分 又因为21=a ，110n S --≠，
1111321
311
n n n n S S S S ------==--，111S -=，
所以数列{}1n S -是首项等于1，公比q =3的等比数列……6分，1113n n S --=⨯，即1
13n n S -=+……7分 ⑵由⑴得2≥∀n ，122
1(13)(13)23n n n n n n a S S ----=-=+-+=⨯……8分
1n =时，2123212n a -⨯=⨯==，所以，任意*n N ∈，223n n a -=⨯……9分
任意*N k ∈，由k n k a 233<<，即k n k 22
3323<⨯<-……11分，
（k n k 2)2(2log 3<-+<，2log 222log 233-+<<-+k n k ……12分 因为12log 03<<，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）
n 可取2+k 、3+k 、……、12+k ……13分，所以k b k =……14分
21．解：依题意，x
a a a x x f +++-=2/
)12()(……1分
)(00x f y =，曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=-……2分，
即))((00/0x x x f y y -+=，所以))(()(00/
0x x x f y x g -+=……3分
直接计算得)1)(ln ()12(21)(0
02200-++++--
=x x x a a x a x x x x g ……5分， 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln
()(210
02
20≥+-++-x x x x a a x x ……7分 记)1)(ln
()(21)(0
02
20+-++-=x x x x a a x x x h ，则 )1)(()11)(()()(0
2002
0/
xx a
a x x x x a a x x x h +--=-++-=……8分
若02
≤+a a ，则由0)(/=x h ，得0x x =…9分，且当00x x <<时，0)(/<x h ，当0x x >时，0)(/>x h …10分，所以)(x h 在0x x =处取得极小值，从而也是最小值，即0)()(0=≥x h x h ，从而)()(x g x f ≥恒成立…11分。

若02
>+a a ，取a a x +=20，则0)1)(()(0
20/
≥+--=xx a a x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ，)(x h 单调递
增……12分，所以当00x x <<时，0)()(0=<x h x h ，与)()(x g x f ≥恒成立矛盾，所以02
≤+a a ……13分，从而a 的取值范围为01≤≤-a ……14分。