2020年浙江中考数学一轮课件：16第三章 第六节二次函数的综合应用

【分析】(1)由OA＝3，
得OC＝ 由四边形OABC是
矩形，得BC＝OA＝3，所以CD
(2)①由易知得∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，
点B恰好落在AC上的B′处，则DB′＝DB＝DC，∠BDF＝∠BDF＝∠B′DF＝30°，所以BF＝BD·tan 30°＝ ，AF＝BF＝
1 16
解：(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0； ∴二次函数经过点(0，0)，(1，0)， ∴x1＝0，x2＝1，∴y＝x(x－1)＝x2－x，
∴乙说的不对．
(3)证明：二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点， ∴m＝x1x2，n＝1－x1－x2＋x1x2，
考点二 利用二次函数解决实际生活中的最值问题
解：(1)∵抛物线对称轴是直线x＝－1且经过点A(－3，0)， ∴由抛物线的对称性可知抛物线还经过点(1，0)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 即y＝a(x－1)(x＋3)， 把B(0，3)代入得3＝－3a， ∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b， ∵A(－3，0)，B(0，3)，
【分析】(1)把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便 可得A，B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得 y≥0时x的取值范围； (2)根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n， 进而求得m的值．
【自主解答】(1)令y＝0，则－ 1 x2＋2x＋6＝0，
例4 (2019·湖州)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩
形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝ ，
D是BC的中点．
3
(1)求OC的长和点D的坐标；
3
(2)如图2，M是线段OC上的点，OM＝ 2 OC，点P是线段OM上的一个动点，经 过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半3轴于点E，连结DE交AB于点F. ①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点 E的坐标； ②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运 动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
利用二次函数解决实际问题中的最大(小)值时，在解题方法上常用到待定 系数法、配方法、公式法等．在数学思想方面同样体现了函数思想、数形 结合思想、转化思想和分类讨论思想等．求二次函数的解析式和函数的最 大(小)值是考查重点，解题过程中要注意自变量的取值范围．
3．(2019·衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每 天 入 住 的 房 间 数 为 60 间 ． 经 市 场 调 查 表 明 ， 该 馆 每 间 标 准 房 的 价 格 在 170～240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每 间标准房的价格x(元)的数据如下表：
x(元) y(间)
… 190 200 210 220 … … 65 60 55 50 …
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)设客房的日营业额为w(元)．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格 定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
0
5
10 15
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成 本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市 售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加 温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加 温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到 多少度时增加的利润最大？并说明理由．(注：农作物上市售出后大棚暂 停使用)
∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)， 如图，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′B与y轴交于P，则此时△PAB的 周长最小， 点A′的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(4，5)． 设直线A′B的函数解析式为y＝kx＋b，
∴直线A′B的函数解析式为
4．(2019·永州)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其 对称轴为直线x＝－1. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的 面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
例3 (2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两 点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________．
【分析】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后 求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解 决． 【自主解答】
【分析】(1)当m＝0时，二次函数的解析式y＝－x2＋2，画出函数图象， 利用图象法解决问题即可． (2)当m＝3时，二次函数解析式为y＝－(x－3)2＋5，结合图象即可解决 问题． (3)如图中，∵抛物线的顶点P(m，m＋2)，推出抛物线的顶点P在直线y ＝x＋2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图中，E(2，1)，F(2， 2)，观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界) 恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点(点F除外)，求出抛物线经过 点E或点F时m的值，即可判断．
，因为∠BFD＝∠AFE，所以∠B＝∠FAE＝90°，因此△BFD≌△AFE，
AE＝BD＝ ，点E的坐标为
②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y＝
因此
直线DE：
当动点P从点O运动到点M时，求得此时
抛物线解析式为
所以E(6，0)，直线DE：
所以
所以点F运动路径的长为
即G运动路径的长为
【自主解答】 (1)∵OA＝3，
例1 (2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ 1 x2＋2x＋6
的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)．
2
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位，将与该二次函 数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象 上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
解得x1＝－2，x2＝6，
2
∴A(－2，0)，B(6，0)，
由函数图象得，当y≥0时，－2≤x≤6.
(2)由题意得，B1(6，m)，B2(6－n，m)，B3(－n，m)， 函数图象的对称轴为直线 ∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
1．(2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的
第六节 二次函数的综合应用
考点一 二次函数与一元二次方程
【要点知识拓展】 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标． (2)①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2－4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
考点三 利用二次函数解决几何图形中的最值问题
【要点知识拓展】 构造二次函数来确定几何图形中的有关周长、面积的最值问题，求解这类 问题，需要充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股 定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积周长公式等 来寻求等量关系，从而构造二次函数，利用二次函数的性质求解．
解：(1)把(25，0.3)代入p＝－ 1(t－h)2＋0.4得0.3＝－ (125－h)2
＋0.4，
160
160
解得h＝29或h＝21.
∵25≤t≤37，∴h＝29.
(2)①由表格可知，m是p的一次函数， 设m＝kp＋b，
∴m＝100p－20.
③设增加的利润为y元． 当20≤t≤25时， y＝600m＋[100×30－200(30－m)]＝800m－3 000＝1 600t－35 000， 当t＝25时，增加的利润的最大值y＝1 600×25－35 000＝5 000元； 当25＜t≤37时， y＝600m＋[100×30－400(30－m)]＝1 000m－9 000＝－625(t－ 29)2＋ 11 000， ∴当t＝29时，增加的利润的最大值y＝11 000元． 综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11 000 元．
∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 如图，作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M. 设P(x，－x2－2x＋3)，则M(x，x＋3)， ∴PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，
考点四 二次函数与一次函数、反比例函数的综合性问题
【要点知识拓展】 二次函数与一次函数、反比例函数的综合性问题往往涉及用待定系数法求 解函数关系式，一次函数、反比例函数与二次函数图象上点的坐标特征等 问题，有时与几何图形相结合求最值问题，综合性较强．
∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝3. ∵D是BC的中点，
(2)①∵tan∠OAC＝ ∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°. 设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B′处， 则DB′＝DB＝DC，∠BDF＝∠B′DF， ∴∠DB′C＝∠ACB＝30°，∴∠BDB′＝60°， ∴∠BDF＝∠B′DF＝30°.
解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是(
)
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
2．(2019·杭州)设二次函数y＝(x－x1)(x－x2)(x1，x2是实数)． (若(12甲))甲 写求出求得二得的次当结函x果＝数都0图时正象，确的y，＝对你0称；认轴当为，x乙＝并求1求时得该，的函y结＝数果0的；正最乙确小求吗值得？(当说用x明含＝理x121，由时x．，2的y＝代－数式12 . 表示)． (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n是实数)，当0＜x1＜ x2＜1时， 求证：0＜mn＜ .
【要点知识拓展】 二次函数应用问题中商品销售利润等有关的最大(小)值的实际问题，在解 题方法上常用到待定系数法、配方法、公式法等．在数学思想方面同样体 现了函数思想、转化思想和分类讨论思想等，求二次函数的关系式和函数 的最大(小)值是关键，解题过程中注意自变量的取值范围．
例2 (2019·舟山)某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系：如图，当
10≤t≤25时可近似用函数p＝ p＝－ (t－h)2＋0.4刻画．
1
t－ 1 刻画；当25≤t≤37时可近似用函数
(1)求h的1 值．
50 5
160
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p 之间满足已学过的 函数关系，部分数据如下：
生长率p
0.2 0.25 0.3 0.35
求：①m关于p的提函前数上解市析的式； ②用含t的代数式天表数示mm(.天)
②动点P在点O时，
考点五 二次函数综合题
【要点知识拓展】 二次函数综合题常与几何图形结合考查，且涉及到动点问题以及存在性问 题，解决此类问题，利用数形结合思想、分类讨论思想是解题的关键．
例5 (2019·金华)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4， 边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 称 为 好 点 ． 点 P 为 抛 物 线 y ＝ － (x － m)2 ＋ m ＋ 2 的 顶 点． (1)当m＝0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数； (2)当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标； (3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界) 恰好存在8个好点，求m的取值范围．
解：(1)如图所示：
(2)设y＝kx＋b， ∴y＝－x＋160(170≤x≤240)．
(3)w＝xy＝x(－ 1 x＋160)＝－ 1 x2＋160x， ∴∵∴对 a在＝1称－7轴0≤1为＜x直≤0线，24x02＝范－围内2ba＝，1w6随0.x的2 增大而减小， ∴当x＝1270时，w取得最大值，最大值为12 750元．