海南省文昌高二上学期期末考试数学试卷有答案

海南省文昌高二上学期期末考试数学试卷
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名准考证
号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（每题5分，共60分）
X2-K0,
1 ,不等式组5 2的解集为（）
x2— 3xv 0
A. {x|- 1<x< 1}
B. {x|0<x< 3}
C. {x|0v xv 1}
D. {x|-1<x< 3}
————
2.平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60° ,且RB|= 1 , ———
|AD|=2, |AA」=3,则|AC1|等于（）
A. 5
B. 6
C. 4
D. 8
3.已知a, b为非零向量，则“ a
A.充分而/、必要条件
C.充分必要条件
4.卜列四个命题中的真命题为（
A. ? x0 C Z , 1 v 4x0v 3
C. ? xC R, x2- 1=0
5.已知命题p：“ ? xC [1,2] ,
x2 题“p且q”是真命题，则实
数A . aw — 2 或a= 1
C. a>1 i^b 是函数f(x)= (x a+b) (x b—a)为一次函数的(
)
B.必要而不充分条件
D .既/、充分也不必要条件
)
B. ? x0C Z, 5x0+ 1= 0
D. ? x€ R, x2+x+ 2>0
—a > 0 ;叩q：?xC R, x+2 ax +2 — a = 0 .若命a的取值范围为( )
与AE 所成角的余弦值为（
）
一点P,使AF 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则 m 的取值范围是（
C. 1
11.已知抛物线y 2=2px （p>0）的焦点为F,点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足/ AFB=90 °
A
-嘤
B
・嚅
C.需
3 10
7.等差数列｛a n ｝的前n 项和为若a i=2, S3=12, 则生等于（
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
8.已知51下2
为双曲线 C: x 2
—y 2=2的左右焦点，点
P 在 C 上,|PF 11=2| PF 2I ，则
cos/ F 1PF 2 =
B. 3
5
C. 3
4
D.-
5
x+2y-5<0,
9 .设变量x,y 满足约束条件 <x
—y —2
^0,
^>0,
则目标函数 z= 2x+3y+1的最大值为（
）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8.5
10.设F I ,F 2是椭圆二+与=1 2
b 2
（a> b> 0）的左右焦点，若直线x = ma （ m > 1 ）上存在
3
>- 2
过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为N,则
MN AB
的最大值为（
A. 1
,3
B. ----
2
/2
D . ---
2
12.设双曲线C 的中心为原点 O,若有且只有一对相交于点
O,所成的角为60。

的直线A I B I
和A 2B 2,使|A I B I |=|A 2B 2| ,其中A I 、B I 和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线 C 的交
点，则该双曲线的离心率的取值范围是（
正,+OO)
3 B.[
竽,2)
2、3
工, 2
]
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每题5分，共20分)
13.已知命题p：若x>y,则一xv —y,命题q：若x>y,则x2>y2。

在命题①pA q;②p V q；
③pA(n q);④(ip)Vq中，真命题是^ (写出正确答案序号)
14.已知AABC的三边长成公比为J2的等比数列，则其最大角
的余弦值为^
.一一 ...x2y2…—公」
15.如图，F1, 52是双曲线 - ---------- = 1(a>0)的左、右焦点，
12a224
过F1的直线l与双曲线分别交于点A、B,若^ ABF2为等边
三角形，则△ BF1F2的面积为
16.曲线C是平面内与两个定点F1 (—1, 0)和F2 (1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1) 的点的轨迹。

给出下列三个结论：
① 曲线C过坐标原点；② 曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于-a2.
2
其中，所有正确结论的序号是^
三、解答题(本大题6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17.(10分)在AABC 中，角A, B , C对应的边分别是a , b , c。

已知cos2A—3cos(B+C)=1
(I)求角A的大小；
MBC 的面积S=5/3, b = 5,求sinBsinC 的值. 2 2
(n)若
18.(12分)已知椭圆与十一=1,(a Ab > 0)的左焦点为F ,左右顶点分别为A、C,上a b
顶点为B,。

为原点，P为椭圆上任意一点，过F,B,C三点的圆的圆心坐标为(m,n)
(1)当m + nM0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)在(1)的条件下，椭圆的离心率最小时，若PF PO的最小值为；，求椭圆的方程.
19. （12分）如图，在直^封主 ABCD — AB 1
c l
D 1 中，AD//BC , /BAD =90, AC _L BD,BC =1
AD =AA =3.
(I )证明：AC _L B 1D ;
(n)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值
20. (12分)已知抛物线 C 的方程C: y 2
=2 p x (p>0)过点A (1, —2).
(I)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(II)是否存在平行于 OA (O 为坐标原点)的直线1,使得直线l 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与l 的距离等于 —?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

5
21. (12分)如图，四棱锥 P —ABCD 中，平面APD_L 平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,
(1)当M 在PC 中点时，求点 A 到平面MBQ 的距离;
(2)当二面角 M — BQ —C 的大小为60 ,求强的值.
PC
(12分)已知椭圆的两个焦点为 F 1(-1 , 0), F 2(1 , 0),且椭叶直线
y = x —-翔目切.
(I )求椭圆的方程；
(n )过F1作两条互相垂直的直线 l 1, l 2,与椭圆分别交于 P, Q 及M, N,求四边形PMQN
面积的最大值与最小值.
/BAD =60 , Q 是AD 的中点，且
PA=PD = AD = 2,点M 在线段PC 上。

22. P
M
D
Q
参考答案
第I卷（选择题，共60分）
、选择题（每小题5分，共60分）
第II卷（非选择题，共90分）
、填空题（每题5分，共20分）
. .................................... ; -
13.②③（恰对一个计2分，含错误选项不计分.）14. -^-2 15. 8M
16.②③（恰对一个计3分，含错误选项不计分.）
三、解答题（本大题6小题，满分70分）
17.解：（1） cos2A—3cos（B+C）=1 ，cos2A+3cosA =1 ...... 1 分
2
2cos A+3cosA—2=0 1 1........ 3分•••（cosA 2）（2cos A-1）=0
1
•・ cos A =一又A为二角形内角-A = —....... 5分
2 3
，… - 1
（2）S = - bcsinA
2
由余弦定理得
又由正弦定理得18.解：（I ）设椭圆半焦距为
c.a2= b2c2- 2bccosA = 21
.sin A sin A sin B b,sin C c
sin Bsin C
. 2
sin A 5
—2- bc 二
10分
19.方法
由题意FC,BC的中垂线方程分别为
「•圆心坐标为
,2
a -c
b -ac
2 , 2b
,2
a -c
b - a
c 八
m+n= ------ + ------ <0 ,即
2b
即(a+b)(b—c)M0,所以b wc,于
2
2 c e =a
1 ,2
>-,gp —<e<1.
2 2
b
,y 一
2
2 2 2 , 2 2 c 2
b <
c 即a=b+cE2c,
(ll)当e='2时，a=J2b=J2c,此时椭圆的方程为
2
设P(x,y),则->/2c<x<>/2c ,
1 2 2
PF PO = (—x —c, —y) (—x, -y) x cx c
2
当x= — c时，上式有最小值
人1 2 1 /曰
令一c =一,得
所以椭圆的方程为
2
x 2 .
—y =1.
12分
(1)证明：易知，AB, AD , AA i两两垂直，如图所不以
为坐标原点, AB, AD, AA i所在直线分别为x轴,
y轴，z
示。

・
轴建立空间直角坐标系如
设AB= t ,则相关各点的坐标为A(0 , 0, 0),
B(t , 0, 0), B(t, 0, 3), C(t, i,0)，
G(t, 1, 3), 以0, 3, 0), D(0 , 3,
uuu
从而B1D =(-t, 3, —3), AC = (t,
2
x
2c2
1 2 1 2 ...= -(x +c) +- c . (9)
分
3)
1, 0), BD = (-t, 3, 0). Qi
当
D y
因为AC ± BD ,所以AC BD = - t2 + 3+0=0,
解得t = <3或t=一W(舍去)•.............................. 3分uuu
于是B1D = (― W，3, — 3), >AC = (^3, 1,0).
一uuu
因为AC - B1D = - 3+ 3+ 0=0, ............................ 4 分
所以AC^B I D,即AC^B I D. ....................................... 5分
一一uu u
(2)解：由(1)知，AD i = (0, 3, 3), AC=(根1, 0), BG=(0, 1, 0)
■k—
」n AC=0
设n=(x, v, z)是平面ACD1的一个法向量，则小----------
n AD1 =0
rr #x+y=0,人i r r- r-八
即、令x= 1,则n = (1 , —*^3, -\^3). ............. 8 分3y+ 3z= 0.
设直线B1C1与平面ACD1所成角为也则
* 一. ,|n BCJ S 匹、sin 0= |cos〈n , B1C1〉|4- I =专=.^~Z-........... 11 分
|n||BC| 7 7
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为军. ...................... 12分
方法
(1)证明：如图所示，•••ABCD —A1B1C1D1为直三棱柱,
BBJ平面ABCD.
又AC?平面ABCD, ACXBB1. ...... 2 分
又AC± BD , BD A BB1= B 「. AC，平面BB1D ,
而BQ?平面BB[D, ACXB1D. ........... 5 分
(2)因为B1C1//AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面
ACD1所成的角(记为肌
如图所示，联结A〔D,因为棱柱ABCD - A1B1C1D1是直棱柱，且/ B〔A1D1=/BAD = 90°,所以A〔B1,平面ADD1A1,从而A1B1, AD1.又AD = AA1 = 3,
所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1DXAD1,故ADJ平面A1B1D,于是ADJB Q
由(1)知，ACXB1D,所以B〔D,平面ACD1.故/ ADB1 = 90°—Q 在直角梯形ABCD中，因为ACXBD,所以/ BAC = /ADB,
AB BC ------ -
从而RtAABCsRt^DAB,故法=盘，即AB = 4DA BC=^3.
连接AB〔，易知△ ABQ 是直角三角形，且B1D2=BB2+BD2=BB2+AB2 + AD2= 21,
即 B 〔D = ^i.
即 cos(90 °—。

)=耳，从而 sin 0=等. 在 RtAAB i D 中，cos/ADB i =
AD 3 2i B i D - 21
即直线B i C i 与平面ACD i 所成角的正弦值为 2i 7 .
12分
若采用下列解答，得分为:
(2) (i)证明：如图所示， ••• ABCD —A i B i C i D i 为直三棱柱,
BB i ，平面 ABCD.
又 AC?平面 ABCD,
AC ± BB i .
又 AC^BD, BDABB 产 B 所以 AC ，平面 BB i D, 而 B i D?平面 BB i D,所以 ACXB i D.
(2)解：在直角梯形 ABCD 中，因为ACXBD,所以/ BAC=Z ADB,
AB BC
从而 RtAABC^RtADAB ,故 DA =AB ，
即 AB =^/DA BC = 73
又易知，AB, AD, AA i 两两垂直，以 A 为坐标原点,
AB, AD , AA i 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示。

则 A (0,0,0) , Bib/3,0,3) , C (V3,i,0),。

(513) , 以0,3,0) , D(0,3,3)
一
一
uuim
从而 A Di=(0, 3, 3), A C=(V3, i, 0), BG=(0, i, 0) (I)
J n AC=0 设n=(x, v, z)是平面ACD i 的一个法向量，则由 ---------- ► n AD i = 0
即 </X +y
=0
'令 x=i ,则 : =(i ,-如也).
3y+3z=0.
设直线B i C i 与平面ACD i 所成角为0,则
:、1 q |n …^Qi| __3__2i sin 0= |cos 〈 n ,
BiCi 〉|，—=厂=.
|n||BC| 7
7
即直线B i C i 与平面ACD i 所成角的正弦值为 手.
i2分
氏
D
A
8分 i0分
20.解：（I ）将（1, — 2）代入 y 2
= 2px,得（一2）2 = 2p 1 ,所以 p= 2 .......... 3 分
故所求的抛物线 C 的方程为y 2 = 4x,其准线方程为 x= —1. ............ 5分
（n ）假设存在符合题意的直线 l ,其方程为y = -2x+t
，y= —2x+t
2
由 《 2
得 y + 2y - 2t = 0
y = 4x
因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以△ =4+8t>0 .一 1
解得t> — 2 ........................................ 8分 另一方面，由直线 OA 与t 的距离d =匕5可得」tL = -，，解得t=土［ •10 5
.5.5 2
分
因为-1星一；产I E ,+上］
所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y —1 = 0
............. 12分
21.解析：（1）法一：.「PA=PD, Q 为 AD 中点，・•. PQXAD 又
••・平面PAD ，平面ABCD,
平面PAD n 平面ABCD = AD
PQ ，平面 ABCD
•••底面ABCD 为菱形，N BAD =60
——
AD ±BQ
*
故以Q 为坐标原点，分别以 QA, QB,QP 所在直线为x, y,z 轴,
建立空间直角坐标系如图所示, 则 Q （0,0,0）,P （0,0,73）,B （0,V3,0）,C （-2,V3,O ）, A （I ,
0, 0）
•. M 为 PC 中点， M （-1, f, 13）
设平面 MQB 的一个法向量为 m = （x, y, z ）,
一T
3
3
则q 2r o IP ^-x+T y+T z=0
QB m
=0
"0
uuu QM =（-
味言时（0,3,0）
4分
令z=2,则x= 73 , y=0，平面MQB 的一个法向量 m=(J3, 0, 2)
uir ur
QAgm d= '-ur — m J3 = Y21 ,即点A 到平面MBQ 的距离为Y21。

法二：等体积法，略 uuu _ (2)由(1)知：PQL 面CBQ, QP = (0,0 , J 3)为平面 CBQ 勺一个法向量……7分 设 PM = >U PC(0 <九<1), .•・ M (一2九,s/3兀 V3(1 — ?J )
设平面MQB 的一个法向量为n 2 = (x, y, z),
QM 叫=0 QB n 2
=0
3 - 3 1 一
取 n2 =(
----------------------
,0,V3)
，
2
由二面角M -BQ -C 大小为60°,可得:
1
三小工《，解得九=1 , 2
|必||&| 3 PM 1 PC 3 11分
12分
2 2 22.解：(1)设椭圆方程为 =+4=1 (a>b>0)
a 2
b 2 则a 2 -b 2=1 将y = x -73代入椭圆方程整理得：
/ 2,2
2
尸 2 2 ,2
(a -b ) x —2。

3 a x + a (3 — b ) = 0
2
2
二 2
2 2 ..
即 (2a —1)x —2V 3 a x + a (4 — a ) = 0 - ............. 2 分 又直线与椭圆相切，， _ 2 △ = (—2^3a 2 ) —4a 2 (2a 2 —1) (4 — a 2
) = 0
2
.
2
. 2
斛得 a =1 (舍)或 a =2 b =1
2
故所求的椭圆方程为 —y 2
=1
2
综上所述：S PMQN e [ , 2]
91
(2)① 若直线li的斜率存在时，设为k (kw。

)，则12的斜率为——
k
所以直线l i方程为y= k (x+1),设PQ与椭圆的交点坐标为：P (x i, y i), Q (x2, y2),
则
化简得2 k2+i)x2+4k2x + 2 k2—2= 0
-4k2
X x2 二——2—
2k 1
2k2—2
x i ?x2 =二—;
2k + i 2、
(4k2)2-4(2k2i)(2k2-2)
2
2k2i
同理可得MN =2.2 k2+i k2+2
旱S i 7H S PMQN =一
2 PQ MN =-
2后裳- 2、. 2 k丁二
4
k2+2
k42k2
2k45k22
4X
2 2k45k22
k2
_ 4 _ 2
2 4k i0k 4
i i 、
--------- ：--- )
2 2 4
2 4k2 T2 i0 k2
4 k2+42-+i0> 2
v
r4k2?
k
4
k2
2 4 2
+i0=i8当且仅当4k == 即k =i k 时取等号
4k2i0
k2
e (0, —]
i8
••• 4( i-
一
2 4k2
i 、~i6 ~
―;----- )e [一，2)
4 9
—i0 9
k2
即直线l i的斜率存在时, S PMQN C[I0分②若直线11的斜率不存在(或为0)时,
,八i 则S PMQN =一
2 PQ MN =
i i
2 2..2?2.- 2=2
ii分
9
所以四边形PMQ画积的最大值为2,,最小值为I6
i2分
9。