2024届山东名校考试联盟高三下学期开学考试数学试题+答案

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山东名校考试联盟 高三年级下学期开学联考
数学试题2024.试卷类型A 2
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.二项式4(32)x +的展开式中常数项为( ) A .4 B .8 C .16 D .32
2.欧拉公式cos isin i e θ
θθ=+(e 是自然对数的底数,i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.已知i ie z θ=,则z =( ) A .1 B
.2 D

3.已知非零向量,a b 满足a b = ,且2a b += a 与b 夹角为( )
A .
6
π
B .
3
π
C .
23π D .56
π
4.已知函数(
))
ln
f x ax =+是定义在R 上的奇函数,则实数a 的值是( )
A .1
B .1±
C .2
D .2±
5.已知数列{}n a 是以1a 为首项,q 为公比的等比数列,则“()110a q −>”是“{}n a 是单调递减数列”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 6.若曲线()e x f x =在1x =处的切线与曲线()ln g x x a =+也相切,则a =( ) A .
12 B .1 C .3
2
D .2 7.已知点P 是直线:40l x y ++=上一动点,过点P 作圆22:(1)(1)1C x y +++=
的两条切线,切点分别
为,A B ,则PA PB ⋅
的服小值为( )
A .0
B .1
C
D .2
8.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
−=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为原点,以12F F 为直径的圆与双
曲线交于点P ,且224
tan 7
POF ∠=,则双曲线C 的离心率为( ) A .2 B .3 C .4 D.5
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.进入冬季哈尔滨旅游火爆全网,下图是2024年1月1.日到1'月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则( )
A .中央大街日旅游人数的极差是1.2
B .冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3
C .冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D .冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ
=+><
的部分图像如图所示,则( )
A .2ω=
B .6
x π=
是()f x 图象的一条对称轴
C .()()()210f x a f x a −++=在0,
2x π

上有两个不相等的解,则11,22a
∈−
D .已知函数()
()21sin 2g x f x x =+,当()g x 取最大值时,sin2x =
11.在长方体1111ABCD A B C D −中,1
2,1,AB
AA AD E ===为11A B 的中点,点P 满足
1(01)DP DB λλ=<< ,则( )
A .若M 为1A D 的中点,则三棱锥P BEM −体积为定值
B .存在点P 使得AP BE ⊥
C .当2
3
λ=
时,平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D −
D .若Q 为长方体1111ABCD A B C D −外接球上一点,2
3
λ=,则3QE QP +
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.从2,3,4,5,6,7,8中任取两个不同的数,事件A 为“取到的两个数的和为偶数”,事件B 为“取到的两个数均为偶数”,则()
P B A =______.
13.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()1cos 2cos b A a B +=−,2b c ==,则
ABC △外接圆的半径为______.
14.已知函数()ln f x a x x =−()e 2e a x x x f x ≥+恒成立,则实数a 的取值范围为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)()(1)1n n n b a n =−+−,求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
16.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜,比赛结束),每一局比赛中两人都要决出胜负,不出现平局,且甲获胜的概率为(01)p p <<.
(1)若2
3p =
,求甲以3:2获胜的概率; (2)若1
2
p =,求比赛结束时,比赛局数X 的分布列及数学期望.
17.(15分)已知四棱锥,P ABCD PA −⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为梯形,AD BC ∥,
24,2BC
AD AB DC PA =====.
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ;
(2)平面PAB 与平面PCD 的交线为l ,求直线l 与平面PCB 夹角的正弦值. 18.(17分)已知函数()()ln 1f x x =+.
(1)讨论函数()()()F x ax f x a =−∈R 的单调性; (2)设函数()()1111g x x f f x x
=+−+
. (ⅰ)求()()12g g −−的值;
(ⅱ)证明:存在实数m ,使得曲线()y g x =关于直线x m =对称.
19.(17分)已知抛物线2
:4,,,W x y A B C =是W 上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,,A B C ′′′,则称三角形A B C ′′′为抛物线的外切三角形.
(1)当点C 的坐标为()2,1,B 为坐标原点,且BA BC =时,求点B ′的坐标;
(2)设外切三角形A B C ′′′的垂心为H ,试判断H 是否在定直线上,若是,求出该定直线;若不是,请说明理由;
(3)证明:三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一参考答案
项是符合题目要求的.
题号 1 2
3 4 5 6 7 8
答案 C A C B B D A D
6.【解析】由题意得,()e x f x =在1x =处的切线为e y x =,设该直线与曲线()ln g x x a =+相切的切点为()()0
0001
,ln
,e x x a g x x ′+=
=,所以01e x =,所以切点1,1e
a −
在直线ex y =上,所以2a =,故选:D . 7.【解析】圆22:(1)(1)1C x y +++=的圆心为()1,1−−半径为1,点C 到直线:40l x y ++=的距离
d
=.
解法一:PA PB
==,设2APB θ∠=
,则在Rt PAC △中,1
sin
AC PC PC
θ==
,所以22
2
cos cos212sin 1APB PC
θθ∠==−=−
,所以()
2
22cos 11PA PB PA PB APB PC
PC
⋅=∠=−−=
2223PC PC +−
, 因为min
PC =,所以2
2min 23PC PC +=
,所以PA PB ⋅ 的最小值0. 解法二:当CP l ⊥时,APB ∠取得最大值
2
π
,此时0PA PB ⋅=
取得最小值0,其他位置0PA PB ⋅> ,所以
PA PB ⋅
的最小值0.
故选:A .
8.【解析】解法一:由题意得,1212190,,22F PF OP OF POF PF O θ∠=°=∠==∠,
22
2tan 24
tan tan271tan POF θθθ
∠==
=−,所以13tan tan 4PF O θ=∠=,即2134PF PF =, 又122PF PF a −=,所以128,6PF a PF a ==∣ .在12PF F △中,由勾股定理得:
222(8)(6)(2)a a c +=,解得225e =,所以双曲线C 的离心率为5.
解法二:点P 一定在右支上,不妨设点P 在第一象限,由于224
tan 7
POF ∠=,所以724,2525c c P
, 一定满足22221x y a b −=,即22
22
72425251c c a b
−=, 化简得,22222249576625b c a c a b −=,
结合2
22c a b =+,整理得,42244926256250c a c a −×+=,同除4a 得,
424926256250e e −×+=,解得,225e =或225
49
e =
(舍),所以双曲线C 的离心率为5, 故选:C .
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
题号 9
10
11
答案 BC ABD ACD
10.【解析】对于A :因为周期,0T πω=>,所以2ω=.
对于B :代入2,13π −
得4sin 13πϕ
+=−
,所以()43232k k ππϕπ+=+∈Z , 则()
26
k k π
ϕπ=+
∈Z ,因为2
πϕ<
,所以6
π
ϕ=
,则()sin 26f x x π
=+
,其对称轴为()126x k k π
π=
+∈Z ,所以6
x π=是()f x 的对称轴. 对于C :因为()()()210f x a f x a −++=,所以()1f x =或()f x a =, 因为0,
2x π

,所以令72,666
t x π
ππ
=+

,所以sin 1t =或sin t
a =有两个解, 结合sin
y t =的图象,1y
=与sin y t =有一个交点,12y =与sin y t =有一个交点,共两个交点,所以1
2
a =符合题意,答案错误. 对于D :(
)
11
1cos244
4g x x x x x =++=++ , 令cos θθ=
()()124
g x x θ=++.
所以当()222
x k k π
θπ+=+∈Z 时取到最大值,此时sin2sin 2cos 2x k ππθθ
=
+−==
答案:ABD 11.【解析】
对于A :因为M 为1A D 的中点,E 为11A B 的中点,所以1DB EM ∥,所以1DB ∥面BEM ,
则P 到面BEM 的距离为定值,所以体积为定值.
对于B :AP 在平面11ABB A 的投影为1AB ,由三垂线定理得,若AP BE ⊥,则1AB BE ⊥,因为四边形11ABB A 为正方形,所以1AB 与BE 不垂直,所以B 错.
对于C :平面PCD 与平面1B CD 重合,平面1B CD 与平面11DCB A 重合,所以延长CP 会与11A B 有交点,因
为123
DP DB =
,所以延长CP 与11A B 交于点E ,取11C D 中点F ,则平面PBC 截长方体1111
ABCD A B C D −
所得截面为矩形BCFE D :长方体1111ABCD A B C D −外接球球心为1B D 中点,半径
为132,23
DP DB =
,由阿氏球得,在直线1B D 上必存在一点N ,使得3QP QN =,此时点N 在1DB 延长线上,且满足13B N =,以D 为原点,建系如图,13,6DB DN ==所以12DN DB =
,则()4,2,4N ,因为
()
1,1,2E ,所以min min (3)()QE QP QE QN NE +=+=.答案:ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
23; 13; 14.[]0,e . 13.【解析】解法一:由正弦定理得,()()sin 1cos sin 2cos B A A B +=−, 化简得,sin sin cos 2sin sin cos B B A A A B +=−,
所以()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2sin B B A A B B A B B C A ++=++=+= 由正弦定理得2b c a +=,因为2b c ==,所以ABC △为正三角形,
由22,2sin sin sin sin 3
a b c
R R A B C
π=
====
所以ABC △
解法二:由余弦定理得,222
222
1222b c a a c b b a bc ac
+−+−+
=

,化简得2b c a +=
, 因为2b c ==,所以ABC △为正三角形, 由2sin sin sin a b c
R A B C
=
==
,得
22sin 3
R π==ABC △
14.【解析】只需保证2ln 10e e
a a
x x x x −−≥恒成立.
令()2ln 1g x x x =−−,则()g x 在()0,2上递减,在()2,+∞上递增,
当x →+∞时()(),322ln30g x g →+∞=−<,故存在03x >,使得()00g x =.
又()10g =,故01e
a
x x <≤或0e a x x x ≥恒成立.
又当x →+∞时0e
a
x x →,则0e a x x x ≥不恒成立,于是01e a x x <≤恒成立.
当0a <时,若0x →,显然不成立; 当0a =时,满足题意;
当0a >时,ln a x x ≤,若01x <≤,显然成立; 若1x >时,则ln x
a x

恒成立,求导可得0e a <≤. 综上所述,实数a 的取值范围为[]0,e .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】
因为1
2n n a a n +=+,所以()121n n a a n −=+−, ()122122,2,n n a a n a a −−=+−=+
累加得:()2112
12
n n n
a a n n −=+=−+,
经检验1n =时符合,所以2
1n a n n −+ 【注:丢捕对1n =的检监不扣分】
(2)因为()(1)1n n n b a n =−+−,所以()
22(1)11(1)n n n b n n n n =−−++−=−, 所以2
2
2
2
2
2
2
21234(21)(2)12322n S n n n n n =−+−++−−+=++++=+ 【注:此处没有使用并项法求和,而是使用不完全归纳法得出规律求和,不扣分】 16.【解析】(1)记A 表示甲以3:2获胜,则前4局两人比分为2:2平,第5局甲获胜,
所以()22
24
2121633381
P A C =×××= ;
【注:浸有列出式子,直接给出答束,扣3分】 (2)X 的可能取值为3,4,5
()3
1211324P X C === , ()4
1
22
3
13428P X C C
==⋅×=

()5
12
2413528P X C C ==⋅×=

故()13333
3454888
E X =×
+×+×=; 【注:1.不列出分布列的㐘格,不扣分;
2.没有单独给出随机变童的取值,后面求概时有体现,不扣分; 3.每一个概值的计算只有结来没有式子,各和1分; 4.数学期望只有结果,没有式子,和1分; 5.结果没有化成最简分数,不扣分】 17.【解析】
(1)证明:连接AC ,过A 做BC 的垂线交BC 于点F ,
所以1BF =,因为2AB =,所以AF =

又因为3FC =,所以AC =90BAC ∠=°,所以AB AC ⊥ 【注:其他方法证得AB AC ⊥,同样得分】
因为PA ⊥面,ABCD AC ⊂面ABCD ,所以AC PA ⊥,
PA 与AB 交于点A ,所以AC ⊥面PAB ,
因为AC ⊂面PAC ,所以面PAB ⊥面PAC
【注:1.此处铁少AC ⊥面PAB ,直接得面PAB ⊥面PAC ,扣1分;
2.证得PA ⊥面ABCD 后建系,由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】 (2)延长,BA CD 交于点E ,
因为E ∈面PAB ,且E ∈面PCD ,所以E l ∈,
PE 即为面PAB 与面PCD 的交线,
以A 为原点建系如图:
(
)(
)()()0,2,0,,0,2,0,0,0,2B C E P −, (
)()
()0,2,2,2,0,2,2PB PC PE =
−=
−=
−−

设面PCB 的方向量为(),,n x y z =

则22020y z z −=
−=
,取(n = , 设直线l 与平面PCB 的夹角为α,所以
sin |cos ,PE α= 所以直线l 与平面PCB
. 解法二:延长,BA CD 交于点E ,
因为E ∈面PAB ,且E ∈面PCD ,所以E l ∈,
PE 即为面PAB 与面PCD 的交线
如图建立空间直角坐标系:
(
)()
()()2,0,0,0,,2,0,0,0,0,2,B C E P −
所以(
)()
()2,0,2,0,2,2,0,2PB PC PE =−−=
−=−

设面PCB 的方向量为(),,n x y z =

则22020x z z −−= −=
,取(n = , 设直线l 与平面PCB 的夹角为α,
所以sin cos ,PE α= , 所以直线l 与平面PCB
. 解法三:延长,BA CD 交于点E ,因为E ∈面PAB ,且E ∈面PCD ,所以E l ∈, PE 即为面PAB 与面PCD 的交线
做AF BC ⊥于点F ,连接PF ,因为PA ⊥面ABCD ,由三垂线定理可知:BC PF ⊥. 在Rt PAF △
中,2AF PA =
,所以PF =.
设点E 到平面PBC 的距离为h ,由E PBC P BCE V V −−=
,得h =

因为PA ⊥面ABCD ,所以在Rt PAE △
中,PE =.
设PE 与平面PBC 得夹角为α
,则sin h PE α==, 所以直线l 与平面PCB

(1)由题意可知()()ln 1F x ax x =−+,则()F x 的定义域为()1,−+∞,
()1111ax a F x a x x +−=−
=′++ 当0a ≤时,()101
F x a x ′=−<+,则()F x 在()1,−+∞上单调递减; 当0a >时,若()11111,01
a ax a x F x a a x ′−+−−<≤−≤+; 若()111,01ax a x F x a x +−−′>=>+, 则()F x 在11,1a
−− 上单调递减,在11,a −+∞
上单调递增. 综上所述,当0a ≤时,()F x 在()1,−+∞上单调递减;
当0a >时,()F x 在11,1a
−− 上单调递减,在11,a −+∞
上单调递增. 【注:1.丢接0a =的情况,扣1分;2.单调区间未用区间表示,共扣1分】
(2)(ⅰ)函数()()111ln 1ln 2g x x x x
=++−+
,则()412ln2ln3ln 3g −, ()13342ln ln ln ln 2243
g −=−−=−=,故()()120g g −−=. (ⅱ)函数()g x 的定义域为()(),10,−∞−+∞ .若存在m ,使得曲线()y g x =关于直线x m =对称,则()(),10,−∞−+∞ 关于直线x m =对称,所以12m =
− 由()()111ln 1ln 211g x x x x
−−=−+−+ −−−−
()211211121ln ln ln ln 1ln ln ln 1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=−−=−=+−++++ ()()1211ln ln x x x g x x x
++=+−=. 可知曲线()y g x =关于直线12
x =−对称. 【注:1.由(ⅰ)的计算结果猜想得出对称轴为直线12
x =−,也得2分; 2.只要出理()()1g x g x −−=或1122g x g x −
+−−
或两者做差等于0等式子,即得2分; 没有最后一句结论,不扣分】
(1)由题意可知()2,1A −,求导得2
x y ′=
,则切线A B ′′的方程为1,y x B =−′为切线A B ′′与y 轴的交点,则点B ′的坐标为()0,1−.
【注:求导正确得1分;正确求解点C 或A 处的切线得1分;正确求得点B ′的坐标得1分】 (2)设222312123,,,,,444x x x A x B x C x

则抛物线在点A 处的切线B C ′′的方程为21124
x x y x =−, 同理可得切线A C ′′的方程为22224
x x y x =−, 【注:得由其中一条切线方程即可得1分】 联立可得交点1212,24x x x x C +
′. 同理可得23233131,,,2
424x x x x x x x x A B ++ ′′ . 【注:得由其中1个顶点的坐标即可得1分】
设垂心H 的坐标为(),x y ,则23311222331
12444,2222
AC B H x x x x x x y x k k x x x x x x x ′−−===+++−−. 由A C B H ′′⊥′可知31231
4122
AC B H x x y x k k x x x ′′−⋅=⋅=−+−, 即12323124
x x x x x y x x +=++. 【注:由现解之积为1−,即得1分】 同理可得12331224
x x x x x y x x +=++. 两式相减可得()3223x x y x x −=−,即1y =−.
因此垂心H 在定直线1y =−上.
【注:出理定直线1y =−,即得1分】
(3)直线AB 的方程为12121,44x x x x y x AB x +=−=−, 点233,4x C x
到直线AB 的距离为
1d 则三角形ABC 的面积()()()112131321128
S AB d x x x x x x =⋅=−−−. 再由切线B C ′′的方程为223233*********,,,,,,242
42424x x x x x x x x x x x x x x y x A B C +++ =− ′′′ 可知1222x x B C x +=−=−′′, 点2323,2
4x x x x A + ′到直线B C ′′的距离为
2d
则外切三角形A B C ′′′的面积()()()2221313211216
S B C d x x x x x x ′′=⋅=−−−. 故()()()()()()21313212213132182116
x x x x x x S S x x x x x x −−−=−−−. 因此三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值2.
解法二:因为222312123,,,,,444x x x A x B x C x
,所以
()()22223121213111224444ABC x x x x S AB AC x x x x =×=−−−−− △ ()()()31213218
x x x x x x =−−−
由②得232331311212,,,,,2
42424x x x x x x x x x x x x A B C +++ ′′ ′ 所以312313122312,,,2424x x x x x x x x x x x x A B A C −−−− = ′′
′ ′ 12233123132111222442A B C x x x x x x x x x x x x S A B A C ′′′−−−−  =×=−    ′′′′ △ ()()()312132116
x x x x x x =−−− 所以2ABC A B C S S ′′=△△.。

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