2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（ ）
A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}
2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（ ）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（ ）
A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx
4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4
5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（ ）
A．（0，1）B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（ ）
A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）
9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（ ）
A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b
10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）
11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）
12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）
没有最小值．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数y＝的定义域为 ．
14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点 ；
15．已知函数，则f（log23）＝ ．
16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝ ．
三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：
（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）log3+lg25+lg4+7．
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．
21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．
（1）求函数g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最值．
22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．
（1）求f（0），f（﹣1）的值；
（2）判断该函数的单调性，并证明；
（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（ ）
A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}
【分析】根据补集的定义，写出∁U M．
【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，
则∁U M＝{x|2≤x＜3}．
故选：B．
【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（ ）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1
即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．
【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）
又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1
∴N＝（﹣3，1），
又∵log23＞1，∴M∩N＝∅
故选：D．
【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．
3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（ ）
A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4
【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然
k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．
【解答】解：∵f（x）的定义域为R；
∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；
①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；
②k≠0时，；
解得0＜k≤4；
综上得，0≤k≤4．
故选：B．
【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．
5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（ ）
A．（0，1）B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．
【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，
∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，
∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．
【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D
又3﹣2a＞0得a＜，排除B，
故选：C．
【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．
7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．
8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（ ）
A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足
，解出x的范围即可．
【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；
∴要使g（x）有意义，则；
解得1＜x＜2；
∴g（x）的定义域为（1，2）．
故选：A．
【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．
9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（ ）
A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b
【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．
【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，
b＝log2＜log21＝0，
c＝log23＞1，d＝log45＞1．
且．
∴b＜a＜d＜c．
故选：C．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．
10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）
【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，
本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．
再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）
【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．
【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：
∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，
∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，
∴﹣1＜m＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．
12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）
没有最小值．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．
【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，
设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；
x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；
x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，
可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；
由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数y＝的定义域为 ．
【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数y＝有意义，
可得，
即为0＜5x﹣3≤1，
解得＜x≤，
则定义域为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被
开方数非负，考查运算能力，属于基础题．
14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点　（1，3）　；
【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x＝1，y＝3，
可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
15．已知函数，则f（log23）＝ ．
【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用
进行求解．
【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，
∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）
＝f（log224）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．
16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝　1　．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，
进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，
∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，
∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，
∴f（lg）＝a（﹣）+g+3
＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3
＝﹣2+3
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：
（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）log3+lg25+lg4+7．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，
（2）根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，
（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．
【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，
∵B⊆A，∴，
∴﹣1≤a≤1．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．
（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．
（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，
又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1
得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，
所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，
故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，
所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，
则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．
20．（12分）已知函数．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．
【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；
（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）f（x）是增函数．
证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，
任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，
则．
∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，
∴，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即对任意实数x恒成立，化简得，
∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，
∵2x+1＞1，∴，∴，∴．
故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，
属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．
（1）求函数g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最值．
【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．
【解答】解：（1）由题意可得
g（x）＝，且，
进一步得：，且定义域为【2，8】，
（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，
h（t）＝﹣t2+t+1，
∵h（t）在【1，3】递减
∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，
∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，
当x＝2时，g（x）有最大值1．
【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．
22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．
（1）求f（0），f（﹣1）的值；
（2）判断该函数的单调性，并证明；
（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f（0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而
有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；
（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；
令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，
f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），
则f（x2）﹣f（x1）＞0，
即函数f（x）为增函数；
（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，
则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，
解可得：x＜1，
即不等式的解集为（﹣∞，1）．
【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。