2015-2016学年四川省资阳市高二下学期期末质量检测数学(理)试题(图片版)

资阳市2015—2016学年度高中二年级第二学期期末质量检测
数学参考答案及评分意见（理工类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A
8.B
9. B
10.D
11.B
12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. －20
14. －1
15.
2
1
3- 16.(2,)-+∞ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

17．（本小题满分10分）
解析：设2
()4
x P x ，，其中0>x ，
（Ⅰ）由题，F 坐标为(0,1)，
由2PF =
2，化简得428480x x +-=，
解得2x =±，又0>x ，所以2x =．
所以点P 的坐标为(21)，. ·································································································· 5分
（Ⅱ）设点P 到直线10y x =-的距离为d ，
则d
21(2)36
4x -+=2x =时等号成立），
所以点P 到直线10y x =-
，此时点P 为(21)，. (10)
分
18．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）记甲获奖为事件A ，
事件A 发生的概率3222()5454P A =⨯+⨯101
202==． ·
····················································· 4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为012，
，， 221
(0)545
P ξ==⨯=；
22321
(1)54542
P ξ==⨯+⨯=；
323
(2)5410
P ξ==⨯=．
所以ξ的分布列为
数学期望()0125210E ξ=⨯+⨯+⨯10
=. (12)
分
19．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由3()2a f x x '=
-，则31
(1)22
f a '=-=，得2a =， 所以3()2ln 32f x x x =-+，3
(1)2
f =，
把切点3(1,)2代入切线方程有31
22
b =+，解得1b =，
综上：2a =，1b =. ········································································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有2343()22x
f x x x
-'=-=
， 当3
40<
<x 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当4
3x >时，()0f x '<，()f x 单调递减．
所以()f x 在43
x =时取得极大值44
()2ln 133f =+，()f x 无极小值. (12)
分
20．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题得
(7595)P X <<1(75)(95)P X P X =-≤-≥0.4= ··························································· 4分
（Ⅱ）ξ可能值为0123.，
，， 则03
311(0)()28
P C ξ===；
13
313(1)()28
P C ξ===；
23313
(2)()28
P C ξ===；
33
311(3)()28
P C ξ===．
所以ξ的分布列为
数学期望1331()01238888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯3
2=. (12)
分
21．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题2
222
222
3413
14c a b c
a a
b ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，
，，解得222
413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，，，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ····················································································· 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,0)B -．
①当直线MN 斜率存在时，设直线MN 方程为y kx n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 联立直线与椭圆方程22
44y kx n x y =+⎧⎨+=⎩，
，
整理得222(41)8440k x knx n +++-=， 则122841kn
x x k -+=+，21224441
n x x k -⋅=+， ··········································································· 6分
判别式2222Δ644(41)(44)k n k n =-+-226416160k n =-+>，即2241n k <+，()* 因为12,l l 互相垂直，所以0BM BN ⋅=
，即1212(2)(2)0x x y y +++⋅=，
整理得221212(1)(2)()40k x x kn x x n +⋅+++++=， ······················································ 8分
所以22222(1)(44)8(2)(4)(41)041
k n kn kn n k k +--++++=+，
即22516120n kn k -+=，解得2n k =或6
5
n k =.
当2n k =时，直线MN 方程为2y kx k =+过点(2,0)B -，不合题意应舍去；
当65n k =时，满足不等式()*，直线MN 方程为6
5y kx k =+，过定点6(,0)5-. (10)
分
②当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 方程为x n =，
则M 坐标为(,2)n n +，代入椭圆方程得2
2(2)14n n ++=，解得65n =-，2n =-（舍去）.
此时直线MN 过点6
(,0)5-. (11)
分
综上所述：直线MN 过定点6
(,0)5-. (12)
分
22．（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ) 当4a =-时，211()4ln 22f x x x =-+-(0x >)，则244
()x f x x x x -'=-=．
当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 递减区间是(02)，；递增区间是(2)+∞，． ····················································· 4分
(Ⅱ) 2()a x a
f x x x x
+'=+=(0x >)，
（1）当0a ≥时，在[1
)+∞，上()0f x '>，此时()f x 单调递增， 所以()(1)0f x f ≥=，故0a ≥满足条件． ····································································· 6分
（2）当0a <时，2()x a f x x
+'=2()x a x --=
， 令()0f x '=，可得x =舍去)，或x
当0x <<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当x ()0f x '>，
此时()f x 单调递增．········································································································ 8分
①1，即10a -≤<时， 函数()f x 在[1
)+∞，上单调递增， 所以()(1)0f x f ≥=，故10a -≤<满足条件．······························································ 10分
②1>，即1a <-时，
函数()f x 在(1上单调递减；在)+∞上单调递增，
不妨取
0x ∈，则0()(1)0f x f <=，所以1a <-不满足条件． 综上所述，函数()0f x ≥在区间[1
)+∞，上恒成立时，1a ≥-， 所以()0f x ≥在区间[1)+∞，上恒成立时a 的最小值为－1． (12)
分。