八年级数学下册第十九章一次函数知识总结例题(带答案)

八年级数学下册第十九章一次函数知识总结例题单选题
1、函数y=√4x−2的自变量x的取值范围是（）
A．x>1
2B．x≤1
2
C．x≠1
2
D．x≥1
2
答案：D
分析：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．即4x-2≥0．
解：依题意，得4x-2≥0，
解得x≥1
2
．
故选D．
小提示：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．2、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°．点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过
的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三
角形的性质可得AD边上的高h是AP的一半，即h=√3
2
x,再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB=AD=BC=4,BE=2√3，当点P在线段BC 上时，△ADP的面积保持不变，当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，
根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是等于√3
2DP，即h=√3
2
(12−x), 再根据三角形面积公式列
出面积表达式即可判断．
解：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，
由30°角所对直角边等于斜边一半,可推导h=√3
2AP=√3
2
x,
所以y=1
2×4×√3
2
x=√3x;
过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：
∵边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=4，
∴∠ABE=30°，
∴AE=2，
∴BE=2√3，
点P与点B重合时，△ADP的面积最大，最大为S△ADP=1
2
AD⋅BE=4√3；当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变，
当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，
根据含30°角直角三角形的性质，可得AD边上的高h是等于√3
2DP，即h=√3
2
(12−x),
所以y =12×4×√32(12−x )=12√3−√3x ;
∴综上可得只有A 选项符合题意；
故选A ．
小提示：本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键．
3、若一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ）
A ．2
B ．32
C ．−12
D ．−4
答案：D
分析：根据一次函数的性质可得k +3<0，即可求解．
解：∵一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，
∴k +3<0．
解得k <−3．
观察各选项，只有D 选项的数字符合
故选D ．
小提示：本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4、小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据8时，输出的数据是（ ）A ．61B ．63C ．65D ．67
答案：C
分析：根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．
解：根据表中数据可得：输出数据的规律为n
n 2+1，
当输入数据为8时,输出的数据为882+1=865.
故答案选：C.
小提示：本题考查的知识点是有理数的混合运算及列代数式，解题的关键是找到规律列出相应代数式．
5、若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（）
A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)
答案：B
分析：直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数
y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
小提示：本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
6、如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，则方程kx+b=2的解是（）
A．x=1B．x=2C．x=3D．无法确定
答案：C
分析：将点P(3,2)代入直线解析式，然后与方程对比即可得出方程的解．
解：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，
∴2=3k+b，
∴x=3为方程2=kx+b的解，
故选：C．
小提示：题目主要考查一次函数与一元一次方程的联系，理解二者联系是解题关键．
7、如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）
A．这一天最低温度是-4℃B．这一天12时温度最高C．最高温比最低温高8℃D．0时至8时气温呈下降趋势答案：A
分析：根据气温变化图逐项进行判断即可求解．
解：A. 这一天最低温度是−4°C，原选项判断正确，符合题意；
B. 这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；
C. 这一天最高气温8℃，最低气温-4℃，最高温比最低温高12°C，原选项判断错误，不合题意；
D. 0时至8时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意．
故选：A
小提示：本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键．
8、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方
程组{y=2x+b
y=−3x+6
的解是（）
A ．{x =2y =0
B ．{x =1y =3
C ．{x =−1y =9
D ．{x =3y =1
答案：B
分析：由图象交点坐标可得方程组的解．
解：由图象可得直线y =2x +b 与直线y =−3x +6相交于点A （1，3），
∴关于x ，y 的二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6
的解是{x =1y =3 ． 故选：B ．
小提示：本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x 与y 的值为方程组的解．
9、下列函数中，自变量x 的取值范围是x >1的函数是（ ）
A ．y =2√x −1
B ．y =√x−1
C ．y =√2x −1
D ．y =√x −2 答案：B
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．
解：A ．y =2√x −1中x ≥1，此选项不符合题意；
B ．y =√x−1中x ＞1，此选项符合题意；
C ．y =√2x −1中x ≥1
2，此选项不符合题意；
D ．y =√x −2中x ≥2，此选项不符合题意；
故答案选：B ．
小提示：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10、在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与y 轴的交点坐标为（）
A．(0,1
2)B．(0,2
3
)C．(0,0)D．(0,−1)
答案：D
分析：先求解y=−2x+3与x,y轴的交点B,A坐标，再求解A关于y=1的对称点A′的坐标即可得到答案．解：如图，∵y=−2x+3，
令x=0,y=3,令y=0,x=3
2
,
∴A(0,3),B(3
2
,0),
作A,B关于直线y=1对称的点A′,B′,
∵直线l1与l2关于直线y=1对称，即上图中的直线AB与直线A′B′关于直线y=1对称，
∴x A=x A′=0,y A−1=1−y A′,
∴y A′=−1,
∴A′(0,−1),
所以直线l2与y轴的交点坐标为：(0,−1).
故选：D.
小提示：本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．
填空题
11、若对于所有的实数x，都有f(2x)+xf(2−x)=x2，则f(2)=______．
答案：0
分析：令x =1和x =-1，得到f(2)+f(12)=1①，f(12)−f(2)=1②，两个等式相减，即可得到答案． 解：∵对于所有的实数x ，都有f(2x )+xf(2−x )=x 2，
∴当x =1时，f(2)+f(12)=1①，
当x =-1时，f(12)−f(2)=1②， ①-②，得：2f(2)=0，解得：f(2)=0．
故答案是：0．
小提示：本题主要考查抽象函数求值，掌握赋值法以及等式的性质，是解题的关键．
12、一次函数y =−3x +6的图象与y 轴的交点坐标是________.
答案：(0,6)
分析：根据y 轴上点的坐标特征：横坐标为0，将x=0代入一次函数解析式中即可求出结论．
解：根据题意，令x =0，解得y =6，
所以一次函数y =−3x +6的图象与y 轴的交点坐标是(0,6)．
所以答案是：(0,6)．
小提示：此题考查的是求一次函数的图象与y 轴的交点坐标，掌握y 轴上点的坐标特征是解决此题的关键．
13、如图，A (−2,1),B (2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y =kx −1的图象与线段AB 有交点，则k 的取值范围是_______．
答案：k <-1或k >2
分析：将A 、B 点坐标分别代入计算出对应的k 值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k 的范围． 解：当直线y =kx -1过点A 时，得-2k -1=1，解得k =-1，
当直线y =kx -1过点B 时，得2k -1=3，解得k =2，
∵一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
所以答案是：k<-1或k>2．
小提示：此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大，越靠近y轴正半轴k值越大；当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小越靠近y轴正半轴k值越小．14、某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，
超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．
答案： 3 y=4x+2##y=2+4x
分析：根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
解：∵14>10，
∴超过2千克，
设购买了a千克，则2×5+(a−2)×0.8×5=14，
解得a=3，
设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：
y=2×5+(x−2)×5×0.8=10+4x−8=4x+2，
所以答案是：3，y=4x+2．
小提示：本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
15、已知f(x)=2−x
x−1
，则f(√2)=_________．
答案：√2
分析：由题意可知把自变量x=√2代入函数解析式求解即可．
解：由题意得：
把x=√2代入f(x)=2−x
x−1
得：
f（x)=√2
√2−1=√2(√2−1)
√2−1
=√2．
所以答案是：√2．
小提示：本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．
解答题
16、如图一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,5)，与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求AB的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD=1
3
S△BOC，求点D的坐标．
（3）若kx+b<3x，请直接写出x的取值范围．
答案：（1）y=−x+4；（2）D(0,−4)；（3）x>1
分析：（1）由题意可先求出点C的坐标，然后再把点A与点C的坐标代入一次函数解析式进行求解即可；（2）可先求出△BOC的面积，然后可得△COD的面积，进而根据面积计算公式可进行求解；
（3）直接根据图象可进行求解．
解：（1）∵一次函数y=kx+b与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1，
∴把x=1代入正比例函数得：y=3，
∴点C(1,3)，
∴把点A(−1,5)、C(1,3)代入一次函数得：
{−k+b=5 k+b=3，解得：{
k=−1
b=4
，
∴AB的函数解析式为y=−x+4；
（2）由（1）得：C(1,3)，AB的函数解析式为y=−x+4，∴令y=0时，则有x=4，
∴点B(4,0)，∴OB=4，
令x C表示点C的横坐标，y C表示点C的纵坐标，则由图象可得：S△BOC=1
2OB⋅y C=1
2
×4×3=6，
∵S△COD=1
3
S△BOC，
∴S△COD=2，
∴S△COD=1
2
OD⋅x C=2，
∴OD=4，
∵点D在y轴负半轴，
∴D(0,−4)；
（3）由图象可得：
当kx+b<3x时，则x的取值范围为x>1．
小提示：本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
17、已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
答案：（1）y=7
3
x；（2）(6,0)或(−4,0)．
分析：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），过点A作AD⊥x轴于点D，从而可得AD=7，设点C的坐标为(a,0)，从而可得BC=
|a−1|，再根据三角形的面积公可求出a的值，由此即可得出答案．解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，
将点A(3,7)代入得：3k=7，解得k=7
3
，
则正比例函数的解析式为y=7
3
x；
（2）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A(3,7)，
∴AD=7，
设点C的坐标为(a,0)，则BC=|a−1|，
∵△ABC的面积是17.5，
∴1
2BC⋅AD=17.5，即1
2
×7|a−1|=17.5，
解得a=6或a=−4，
故点C的坐标为(6,0)或(−4,0)．
小提示：本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．
18、为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
答案：（1）y=x−0.5；（2）当x<2时，手机支付比较合算；当x=2时，两种方式都一样；当x>2时，会员卡支付比较合算；
分析：（1）设y=kx+b，代入点的坐标求解即可；
（2）求出会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式，两者比较即可求解．
解：（1）设y=kx+b，将点(0.5,0)、(1,0.5)代入得：
{0.5k+b=0 k+b=0.5，解得{
k=1
b=−0.5
，即y=x−0.5
故手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y=x−0.5
（2）设会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式为y=k1x
将(1,0.75)代入得，k1=0.75，即y=0.75x
令0.75x=x−0.5，解得x=2
由图像可得，当x<2时，手机支付比较合算；
当x=2时，两种方式都一样；
当x>2时，会员卡支付比较合算；
小提示：此题考查了一次函数和正比例函数的应用，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的有关性质．。