中考数学复习第30课时 图形的相似与位似
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考点4 相似多边形
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
返回
(三) 中考题型突破
题组一 相似三角形的证明及性质的相关计算
1. (中考乌鲁木齐二模)如图，不等长的两对角线AC，BD相 交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三 角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角 形的关系，下列叙述中正确的是( B ) A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
A，B选项利用“两角对应相等的两个三角形相 似”可判定两三角形相似．D选项利用“两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定两三角形 相似．C选项无法判定两三角形相似，故选C.
(一)中考真题练测
2．(中考巴中)如图，点D，E分别为△ABC的边 AB，AC 的中点，则△ADE的面积与四边形 BCED的面积的比为( B )
__位__似__比__．
(二) 中考考点梳理
3. 找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接 起来，若它们所在的直线相交于一点，则该点即是 位似中心．
4. 画位似图形的步骤： (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点； (3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
(三) 中考题型突破
(2)∵△ABC∽△DHC，
∴
AB
AC
3 ,
∴AB＝3DH.
DH DC 1
∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，
∴△ABC∽△BHD， BC AB ,
∴
3
3DH ,
DH BH ∴DH＝2，∴AB＝6.
DH 4
(三) 中考题型突破
规律点拨 判定两个三角形相似的四种方法： (1)当图形中有平行线时，多用两角对应相等判定；(2)当已 知两个三角形的一组角相等时，可以再找一组角，尝试证 明相等，或是证明夹相等的这组角的两边对应成比例；(3) 当已知两个三角形中三边的长度时，可以用三组边的比相 等来证明两个三角形相似；(4)当条件中给出比例式时，可 考虑证三边对应成比例，或者用两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似证明．
(三) 中考题型突破
方法点拨
两个图形位似：若在位似中心同一侧，则位似 图形上对应点的横、纵坐标的比都为k；若不在位 似中心同一侧，则位似图形上对应点的横、纵坐标 的比都为－k.
(二) 中考考点梳理
3．判定： (1)__两__角___对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且__夹__角___相等，两三角形相似； (3)三边__对__应__成__比__例___，两三角形相似； (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
两直角三角形相似．
返回
(二) 中考考点梳理
第一部分 教材知识梳理
第七单元 图形的变化
第30课时 图形的相似与位似
中考真题练测 中考考点梳理 中考题型突破
第一部分 教材知识梳理
中考考点梳理
考点1
平行线分线 段成比例
考点2
比例的相关 概念及性质
考点3 相似三角形 的判定及性
质(必考)
考点4
考点5
相似多边形
位似图形
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第一部分 教材知识梳理
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1
(一)中考真题练测
3．(中考临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F 分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若 AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为__1_2_ ． 5
返回
(二) 中考考点梳理
考点1 平行线分线段成比例
1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的
那么点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄
金比．
返回
(二) 中考考点梳理
考点3 相似三角形的判定及性质(必考)
1. 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角 形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相 似比．
2. 性质：(1)相似三角形的对应角__相__等___； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分 线)_成__比__例__； (3)相似三角形的周长比等于__相__似__比__，面积比等于 __相_似__比__的__平__方__．
(三) 中考题型突破
解：(1)∵DH∥AB，
∴∠BHD＝∠ABC＝90°，
又∵∠ACB＝∠DCH，
∴△ABC∽△DHC，∴ AC BC . DC HC
∵AC＝3CD，BC＝3，
∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.
在Rt△BHD中，cos∠HBD＝
BH . BD
∴BD·cos ∠HBD＝BH＝4.
对应线段成比例．如图，两条直线AC，DF被三
条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则
AB DE . BC EF
(二) 中考考点梳理
2. 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图，因
为DE∥BC，所以 AD AE , 也可以说 AD BD ,
DB EC
＝⇔___a_d__＝bc(a，b，c，d≠0)
如果
a b
c d
，那么
a
b
b
＝__c___d_ d
性质3
如果
a b
c d
m n
(b＋d＋…＋n≠0)，
a ac m 则 b d n ＝___b___
(二) 中考考点梳理
4. 黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使
AC AB
BC , AC
∴∠ADC＝∠CDB＝90°. 又∵ AD CD , ∴△ACD∽△CBD.
CD BD 解：(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，
在△ACD中, ∵∠ADC＝90°, ∴∠A＋∠ACD＝90°, ∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
(三) 中考题型突破
5. (中考洛阳模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D 作DH∥AB，交BC的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．
返回
(三) 中考题型突破
题组二 位似图形
1. (中考烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 相似比为 1 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的 3 边长为6，则C点坐标为( A ) A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
(三) 中考题型突破
2. (中考唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中， EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4， EF＝3，则CD的长为( B ) A．4 B．7 C．3 D．12
(三) 中考题型突破
3．(中考乐山)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB， AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周 长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝___2_．
中考题型突破
题组一
相似三角形的 证明及性质的
相关计算
题组二 位似图形
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(一)中考真题练测
中考真题练测
1. (中考河北)如图1，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6. 将△ABC沿图中的虚 线剪开，剪下的阴 影三角形与原三角
形不相似的是( C )
图1
(一)中考真题练测
AE EC
还可以说 AD AE .
AB AC
返回
(二) 中考考点梳理
考点2 比例的相关概念及性质
1. 线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2. 比例中项：如果 a b , 即b2＝__a_c_，我们就把b
bc 叫做a，c的比例中项．
(二) 中考考点梳理
3.比例的性质
性质1 性质2
ac bd
返回
(二) 中考考点梳理
考点5 位似图形
1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所 在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2. 性质： (1)在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为中心, 相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
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(三) 中考题型突破
题组一 相似三角形的证明及性质的相关计算
1. (中考乌鲁木齐二模)如图，不等长的两对角线AC，BD相 交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三 角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角 形的关系，下列叙述中正确的是( B ) A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
A，B选项利用“两角对应相等的两个三角形相 似”可判定两三角形相似．D选项利用“两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定两三角形 相似．C选项无法判定两三角形相似，故选C.
(一)中考真题练测
2．(中考巴中)如图，点D，E分别为△ABC的边 AB，AC 的中点，则△ADE的面积与四边形 BCED的面积的比为( B )
__位__似__比__．
(二) 中考考点梳理
3. 找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接 起来，若它们所在的直线相交于一点，则该点即是 位似中心．
4. 画位似图形的步骤： (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点； (3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.
(三) 中考题型突破
(2)∵△ABC∽△DHC，
∴
AB
AC
3 ,
∴AB＝3DH.
DH DC 1
∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，
∴△ABC∽△BHD， BC AB ,
∴
3
3DH ,
DH BH ∴DH＝2，∴AB＝6.
DH 4
(三) 中考题型突破
规律点拨 判定两个三角形相似的四种方法： (1)当图形中有平行线时，多用两角对应相等判定；(2)当已 知两个三角形的一组角相等时，可以再找一组角，尝试证 明相等，或是证明夹相等的这组角的两边对应成比例；(3) 当已知两个三角形中三边的长度时，可以用三组边的比相 等来证明两个三角形相似；(4)当条件中给出比例式时，可 考虑证三边对应成比例，或者用两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似证明．
(三) 中考题型突破
方法点拨
两个图形位似：若在位似中心同一侧，则位似 图形上对应点的横、纵坐标的比都为k；若不在位 似中心同一侧，则位似图形上对应点的横、纵坐标 的比都为－k.
(二) 中考考点梳理
3．判定： (1)__两__角___对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且__夹__角___相等，两三角形相似； (3)三边__对__应__成__比__例___，两三角形相似； (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
两直角三角形相似．
返回
(二) 中考考点梳理
第一部分 教材知识梳理
第七单元 图形的变化
第30课时 图形的相似与位似
中考真题练测 中考考点梳理 中考题型突破
第一部分 教材知识梳理
中考考点梳理
考点1
平行线分线 段成比例
考点2
比例的相关 概念及性质
考点3 相似三角形 的判定及性
质(必考)
考点4
考点5
相似多边形
位似图形
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第一部分 教材知识梳理
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1
(一)中考真题练测
3．(中考临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F 分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若 AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为__1_2_ ． 5
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(二) 中考考点梳理
考点1 平行线分线段成比例
1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的
那么点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄
金比．
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(二) 中考考点梳理
考点3 相似三角形的判定及性质(必考)
1. 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角 形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相 似比．
2. 性质：(1)相似三角形的对应角__相__等___； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分 线)_成__比__例__； (3)相似三角形的周长比等于__相__似__比__，面积比等于 __相_似__比__的__平__方__．
(三) 中考题型突破
解：(1)∵DH∥AB，
∴∠BHD＝∠ABC＝90°，
又∵∠ACB＝∠DCH，
∴△ABC∽△DHC，∴ AC BC . DC HC
∵AC＝3CD，BC＝3，
∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.
在Rt△BHD中，cos∠HBD＝
BH . BD
∴BD·cos ∠HBD＝BH＝4.
对应线段成比例．如图，两条直线AC，DF被三
条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则
AB DE . BC EF
(二) 中考考点梳理
2. 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图，因
为DE∥BC，所以 AD AE , 也可以说 AD BD ,
DB EC
＝⇔___a_d__＝bc(a，b，c，d≠0)
如果
a b
c d
，那么
a
b
b
＝__c___d_ d
性质3
如果
a b
c d
m n
(b＋d＋…＋n≠0)，
a ac m 则 b d n ＝___b___
(二) 中考考点梳理
4. 黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使
AC AB
BC , AC
∴∠ADC＝∠CDB＝90°. 又∵ AD CD , ∴△ACD∽△CBD.
CD BD 解：(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，
在△ACD中, ∵∠ADC＝90°, ∴∠A＋∠ACD＝90°, ∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
(三) 中考题型突破
5. (中考洛阳模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D 作DH∥AB，交BC的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．
返回
(三) 中考题型突破
题组二 位似图形
1. (中考烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 相似比为 1 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的 3 边长为6，则C点坐标为( A ) A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
(三) 中考题型突破
2. (中考唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中， EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4， EF＝3，则CD的长为( B ) A．4 B．7 C．3 D．12
(三) 中考题型突破
3．(中考乐山)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB， AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周 长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝___2_．
中考题型突破
题组一
相似三角形的 证明及性质的
相关计算
题组二 位似图形
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(一)中考真题练测
中考真题练测
1. (中考河北)如图1，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6. 将△ABC沿图中的虚 线剪开，剪下的阴 影三角形与原三角
形不相似的是( C )
图1
(一)中考真题练测
AE EC
还可以说 AD AE .
AB AC
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(二) 中考考点梳理
考点2 比例的相关概念及性质
1. 线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2. 比例中项：如果 a b , 即b2＝__a_c_，我们就把b
bc 叫做a，c的比例中项．
(二) 中考考点梳理
3.比例的性质
性质1 性质2
ac bd
返回
(二) 中考考点梳理
考点5 位似图形
1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所 在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2. 性质： (1)在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为中心, 相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于