高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程笔记新人教B版选修
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方案(1): 两边直接平方. (太繁琐）
方案(2) :尝试将两个根号分开即移项 先变成 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 再平方（可消去很多项，简单了很多）
方案(2): 考虑两个根号下代数式的相似性
碰到这么有规律的代 数式一定要好好研究， 总结一下，积累下来！
玩转 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
回顾：求曲线方程的步骤
步骤一：建立直角坐标系； 步骤二：设动点坐标； 步骤三：限制条件，列方程； 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程。
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2-c2=b2 (a>b>0)
点 焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在相应变量所对应的那个轴上
随堂练习1
下列方程哪些表示的是椭圆,如果是, 判断它的焦点在哪个坐标轴上？
椭圆及其标准方程
一:认识椭圆
一:认识椭圆
生活中 的椭圆
二:尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
取一条定长的细绳; (1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同
一点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖 在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一 个圆。 (3)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固 定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子 拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出 的轨迹是什么曲线？
F1 o F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a 代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
问题：上式如何化简呢？
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a的化简
(1) x 2 y 2 1 25 16
(2)9x2 25 y2 225 0
(3) 3x2 2 y2 1
(4)
x2 m2
y2 m2 1
1(其中m不等于0）
随堂练习2 已知椭圆方程为
x2
y2
1
,
25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
随堂练习4
方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.
5 4k
变式：
k>0且k≠5/4
(1)方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆,求k的取
值范围5.
4k
k>5/4
(2)方程 x2 y2 1表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆， 求k的值5 . 4k k＝1/4
随堂练习5
设F1(－3, 0)、F2(3, 0)，且|MF1|＋|MF2|＝6，
则点M的轨迹是
.
随堂练习6 方程
x2 m2
y2 (m 1)2
1表示焦点在y
轴上的椭圆，
求实数m的取值范围.
随堂练习7 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0, 2),
求m的值.
c:表示半焦距.且有关系式a2 b2 c2 成立。
五:知识整理，形成系统
探究定义
不
图形
同
点
标准方程
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a
y （2a>2c）} y
M
F2
M
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
观察左图， 你能从中找出表示
x a 、 c、 a2 c2 的线段吗？
思考？
| OP |
a2
c2
令
b
则方程可化为
x2 y2 a2 b2
1
(a b 0)
椭圆的标准方程
数学中的 求美、求简
意识
焦点在x上
y
o
思考？
如右图,如果焦点
F1、F2在y 轴上,且 坐标分别为(0,c),
建构数学
椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 y
平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
M
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
三:概念透析
椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离
的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的
轨迹叫椭圆。
F1
M F2
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
两个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
三:概念透析
①为什么要强调在平面内？
为表述方便记： x c2 y 2 m x c2 y2 n
则 m +n= 2a ①
又因为: m - n= 2c x ②
a
① + ② 得 2m=2a+ 2c x 得m=a+ c x 两边平方得
m2
(a
c
x)2
a
即(x c)2 y2
a
(a
c
x)2
展开得
x
(0,c),a，b的意义
同上，那么此时椭
圆的方程是什么？
焦点在y上
Y
F2(0 , c)
M
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1 a
b
0
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程（两种形式）
y P
ba
x F1 O c F2
y
F2 c a P
1 25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4), 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的
距离和等于10，结果如何？
当焦点在X轴时，方程为：2x52
y2 9
1
当焦点在Y轴时，方程为：y 2 x 2 1
25 9
演示实验1
二:尝试探究、形成概念
圆的定义
类比
圆
椭圆 P
O
椭圆的定义
M
F1
F2
圆的定义： 平面内与一个定点
的距离等于常数(大于0) 的点的轨迹叫作圆.
这个定点叫做圆的圆心,
定长叫做圆的半径.
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F1, F2 的
距离和等于常数( 大于 F1F2 )的 点的轨迹叫作椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦距为 6 。
(3)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6， 则点P到右焦点的距离是 4 ； C
(4)若CD为过左焦点F1的弦，
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
随堂练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)， 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；x2 y2
a
a
x2
2cx c2
y2
a2
2cx
c2 a2
x2
化简得
a c a 2 c 2
a2
x2
y2
a2
c2
两边除以
2
2
x2
y2
a2 a2 c2 1
这样化 简可以 减少平 方次数,
而且为 后面学 习第二 定义作 了铺垫
y
ba
oc
即
a2
y2 a2 c2
1
平面内：
P圆
平面内： F1
O
M
椭圆
F2
空间中
球面
空间中
椭球面
②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
绳长＝ F1F2
绳长＜F1F2
理解定义的 内涵和外延
注：定长 F1F2 : 所成曲线是椭圆 定长 F1F2 : 所成曲线是线段 定长 F1F2 : 无法构成图形
四:椭圆的标准方程的推导 （坐标法）
Ob x
F1
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y上
方 (1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
(2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
特 点
(4)a:表示椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半(长半轴长)
方案(2) :尝试将两个根号分开即移项 先变成 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 再平方（可消去很多项，简单了很多）
方案(2): 考虑两个根号下代数式的相似性
碰到这么有规律的代 数式一定要好好研究， 总结一下，积累下来！
玩转 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
回顾：求曲线方程的步骤
步骤一：建立直角坐标系； 步骤二：设动点坐标； 步骤三：限制条件，列方程； 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程。
学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
a2-c2=b2 (a>b>0)
点 焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在相应变量所对应的那个轴上
随堂练习1
下列方程哪些表示的是椭圆,如果是, 判断它的焦点在哪个坐标轴上？
椭圆及其标准方程
一:认识椭圆
一:认识椭圆
生活中 的椭圆
二:尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
取一条定长的细绳; (1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同
一点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖 在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一 个圆。 (3)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固 定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子 拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出 的轨迹是什么曲线？
F1 o F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a 代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
问题：上式如何化简呢？
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a的化简
(1) x 2 y 2 1 25 16
(2)9x2 25 y2 225 0
(3) 3x2 2 y2 1
(4)
x2 m2
y2 m2 1
1(其中m不等于0）
随堂练习2 已知椭圆方程为
x2
y2
1
,
25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
随堂练习4
方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.
5 4k
变式：
k>0且k≠5/4
(1)方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆,求k的取
值范围5.
4k
k>5/4
(2)方程 x2 y2 1表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆， 求k的值5 . 4k k＝1/4
随堂练习5
设F1(－3, 0)、F2(3, 0)，且|MF1|＋|MF2|＝6，
则点M的轨迹是
.
随堂练习6 方程
x2 m2
y2 (m 1)2
1表示焦点在y
轴上的椭圆，
求实数m的取值范围.
随堂练习7 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0, 2),
求m的值.
c:表示半焦距.且有关系式a2 b2 c2 成立。
五:知识整理，形成系统
探究定义
不
图形
同
点
标准方程
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a
y （2a>2c）} y
M
F2
M
F1 O F2
x
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
观察左图， 你能从中找出表示
x a 、 c、 a2 c2 的线段吗？
思考？
| OP |
a2
c2
令
b
则方程可化为
x2 y2 a2 b2
1
(a b 0)
椭圆的标准方程
数学中的 求美、求简
意识
焦点在x上
y
o
思考？
如右图,如果焦点
F1、F2在y 轴上,且 坐标分别为(0,c),
建构数学
椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 y
平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
M
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
三:概念透析
椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离
的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的
轨迹叫椭圆。
F1
M F2
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
两个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
三:概念透析
①为什么要强调在平面内？
为表述方便记： x c2 y 2 m x c2 y2 n
则 m +n= 2a ①
又因为: m - n= 2c x ②
a
① + ② 得 2m=2a+ 2c x 得m=a+ c x 两边平方得
m2
(a
c
x)2
a
即(x c)2 y2
a
(a
c
x)2
展开得
x
(0,c),a，b的意义
同上，那么此时椭
圆的方程是什么？
焦点在y上
Y
F2(0 , c)
M
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 1 (a b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1 a
b
0
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程（两种形式）
y P
ba
x F1 O c F2
y
F2 c a P
1 25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4), 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的
距离和等于10，结果如何？
当焦点在X轴时，方程为：2x52
y2 9
1
当焦点在Y轴时，方程为：y 2 x 2 1
25 9
演示实验1
二:尝试探究、形成概念
圆的定义
类比
圆
椭圆 P
O
椭圆的定义
M
F1
F2
圆的定义： 平面内与一个定点
的距离等于常数(大于0) 的点的轨迹叫作圆.
这个定点叫做圆的圆心,
定长叫做圆的半径.
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F1, F2 的
距离和等于常数( 大于 F1F2 )的 点的轨迹叫作椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦距为 6 。
(3)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6， 则点P到右焦点的距离是 4 ； C
(4)若CD为过左焦点F1的弦，
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
随堂练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)， 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；x2 y2
a
a
x2
2cx c2
y2
a2
2cx
c2 a2
x2
化简得
a c a 2 c 2
a2
x2
y2
a2
c2
两边除以
2
2
x2
y2
a2 a2 c2 1
这样化 简可以 减少平 方次数,
而且为 后面学 习第二 定义作 了铺垫
y
ba
oc
即
a2
y2 a2 c2
1
平面内：
P圆
平面内： F1
O
M
椭圆
F2
空间中
球面
空间中
椭球面
②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
绳长＝ F1F2
绳长＜F1F2
理解定义的 内涵和外延
注：定长 F1F2 : 所成曲线是椭圆 定长 F1F2 : 所成曲线是线段 定长 F1F2 : 无法构成图形
四:椭圆的标准方程的推导 （坐标法）
Ob x
F1
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y上
方 (1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程
(2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； (3)焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
特 点
(4)a:表示椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半(长半轴长)