平方差公式与完全平方公式试题(含答案)
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乘法公式的复习
一、复习:
(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b)2
=a 2
-2ab+b 2
(a+b)(a 2
-ab+b 2
)=a 3
+b 3
(a-b)(a 2
+ab+b 2
)=a 3
-b 3
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,x y y x x 2y 2 ② 符号变化,x y x y
x
2
y 2 x 2y 2
③ 指数变化,x 2
y 2x 2
y 2x 4
y 4 ④ 系数变化,2a
b 2a
b 4a
2
b 2 ⑤ 换式变化,
xy z
m
xy
z
m
xy 2
z
m 2
x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zm
zm m 2
x 2y 2
z 22zm
m 2 ⑥ 增项变化,x y
z x
y
z
x y 2
z 2 x y x
y z 2 x 2xy
xy y 2z 2
x 2
2xy
y 2z 2 ⑦ 连用公式变化,x y
x
y x 2
y 2
x 2y 2x 2
y 2
x 4
y 4 ⑧ 逆用公式变化,x
y z 2
x y z 2
x
y
z
x
y
z
x y z x y z
2x 2y 2z
4xy
4xz
例1.已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值。
解:∵=+2)(b a
222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+
∵2=+b
a ,1=a
b ∴22b a +=21222=⨯-
例2.已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值。
解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a
=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -
∵8=+b
a ,2=a
b ∴=-2)(b a 562482=⨯-
例3:计算19992
-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
解:19992
-2000×1998 =19992
-(1999+1)×(1999-1) =19992
-(19992
-12
)=19992
-19992
+1 =1
例4:已知a+b=2,ab=1,求a 2
+b 2
和(a-b)2
的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解:a 2
+b 2
=(a+b)2
-2ab=4-2=2 (a-b)2
=(a+b)2
-4ab=4-4=0
例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x 2
-z 2
的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值,比较麻烦,考虑到x 2
-z 2
是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只要求出x-z 的值即可。
解:因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2
-z 2
=(x+z )(x-z)=14×4=56。
例6:判断(2+1)(22
+1)(24
+1)……(2
2048
+1)+1的个位数字是几?
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循。
观察到1=(2-1)和上式可构成循环平方差。
解:(2+1)(22
+1)(24
+1)……(2
2048
+1)+1 =(2-1)(22
+1)(24
+1)……(22048
+1)+1
=24096
=16
1024 因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数
字必为6。
例7.运用公式简便计算
(1)1032(2)1982
解:(1)10321003 2 10022100332100006009 10609 (2)19822002 2 2002220022240000800 4 39204
例8.计算
(1)a4b3c a4b3c(2)3x y23x y2
解:(1)原式a3c4b a3c4b a3c24b2a26ac 9c216b2
(2)原式3x y23x y29x2 y24y49x2y24y 4
例9.解下列各式
(1)已知a2b213,ab6,求a b2,a b2的值。
(2)已知a b27,a b24,求a2b2,ab的值。
(3)已知a a1a2b2,求
22
2
a b
ab
+
-的值。
(4)已知
1
3
x
x
-=,求4
4
1
x
x
+的值。
分析:在公式a b2a2b22ab中,如果把a b,a2b2和ab分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。
解:(1)∵a2b213,ab 6
a b2a2b22ab132625 a b2a2b22ab13
26 1
(2)∵a b27,a b2 4
a22ab b27 ①a22ab b2 4 ②
①②得 2a2b211,即2211 2
a b
+=
①②得 4ab3,即
3
4 ab=
(3)由a a 1a 2b 2 得a b 2
()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22
112222a b =-=⨯-=
(4)由13x x -=,得19x x 2
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+=
221121x x 2
⎛⎫
∴+= ⎪⎝
⎭ 即4412121x x ++= 441119x x +=
例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?为什么? 分析:由于12341255
2
23451121112
3
4
5
6
1
361
192
…… 得猜想:任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数。
解:设n ,n
1,n 2,n
3是四个连续自然数
则n
n
1n 2n
3 1 n n 3n 1n 2 1
n 23n
2
2
n 2
3n
1
n 2
3n n 2
3n 2 1 n 23n 1
2
∵n 是整数,
n 2,3n 都是整数 n 2
3n
1一定是整数
n 2
3n 1
是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11.计算 (1)x 2
x 1
2
(2)3m
n p
2
解:(1)
x 2x
12
x 2
2
x
2
12
2 x 2
x 2x 212
x 1x 4
x 2
1
2x
3
2x
2
2x
x 4
2x 3
3x
2
2x 1
(2)
3m n p 2
3m 2
n 2
p
2
23m n 23m p 2n
p
9m
2
n 2
p 2
6mn
6mp
2np
分析:两数和的平方的推广
a
b
c
2
a b c
2
a b
2
2a b c c 2 a 22ab
b 22ac
2bc
c 2 a 2
b 2
c 2
2ab
2bc
2ac 即
a b c
2
a 2
b 2
c 22ab 2bc 2ac
几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力。
例1.
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.
例3.
三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4.
四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5.
五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例6.
例7.
例8. 已知实数x
、y 、z
)
从而
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.
解:原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4.
例2 计算(-a2+4b)2
分析:运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
解:原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y+2yz-z2.
例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析:若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运算法则,则可利用乘法公式,使运算简便.
解:原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=(a9-1)2=a18-2a9+1
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.
解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6 计算(2x+y-3)2
解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
分析:粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简单.
解:(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得100=103-3xy·10,
∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40.
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1.
例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
分析:直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题容易解决.
解:原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
(五)、注意乘法公式的逆运用
例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.
分析:若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多.解:原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.
例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.解:原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2.
四、怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x +2y -3z )2
,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用(a -b )2
=a 2
-2ab +b 2
来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化 如(3x +5y )(5y -3x )交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化 如(-2m -7n )(2m -7n )变为-(2m +7n )(2m -7n )后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化 如98×102,992
,912
等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2
,(90+1)2
后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化 如(4m +
2n )(2m -4n )变为2(2m +4n )(2m -4
n
)后即可用平方差公式进行计算了. 5、项数变化 如(x +3y +2z )(x -3y +6z )变为(x +3y +4z -2z )(x -3y +4z +2z )后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a 2
+1)2
·(a
2
-1)2
,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a 2
+1)(a 2
-1)]2
=(a 4
-1)2
=a 8
-2a 4
+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-
221)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-210
1
),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-21)(1+21)(1-31)(1+31)×…×(1-101)(1+101
)=21×23×32×34×…×109×10
11
=
21×1011=20
11. 有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:a 2+b 2
=(a +b )2
-2ab ,a 2
+b 2
=(a -b )2
+2ab 等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效. 如已知m +n =7,mn =-18,求m 2
+n 2
,m 2
-mn + n 2
的值. 面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m 2
+n 2
=(m +n )2
-2mn =72
-2×(-18)=49+36=85,
m 2-mn + n 2= (m +n )2-3mn =72-3×(-18)=103.
下列各题,难不倒你吧?! 1、若a +
a 1=5,求(1)a 2
+21a
,(2)(a -a 1)2的值. 2、求(2+1)(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)(232
+1)(264
+1)+1的末位数字. (答案:1.(1)23;(2)21.2. 6 )
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:(a +b)(a -b)=a 2
-b 2
,(a ±b)=a 2
±2ab +b 2
,
(a ±b)(a 2
±ab +b 2
)=a 3
±b 3
.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用. 例1计算
(2)(-2x -y)(2x -y).
(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]=y 2
-4x 2
.
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用. 例2计算
(1)19982-1998·3994+19972
;
解(1)原式=19982
-2·1998·1997+19972
=(1998-1997)2
=1
第三层次──活用:根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
例4计算:(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可创造条件─“拆”数:-1=2-3,5=2+3,使用公式巧解.
解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.
第四层次──变用:解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
解:∵a+b=9,ab=14,∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106,
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3·14·9=351
第五层次──综合后用:将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合,
可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.例6计算:(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:原式=1
4
[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-
1
4
[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
2、乘法公式的使用技巧:
①提出负号:对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);(2)(-2m-1)2
解:(1)(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.
(2) (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.
②改变顺序:运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明
显.
例2、运用乘法公式计算:
(1)(13a-14b )(-14b -a 3 ); (2)(x-1/2)(x 2
+1/4)(x+1/2)
解:(1)(13a-14b )(-14b -a 3 )=(-14b+ 13a )(-14b -1
3
a )
=(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b 2- 19
a 2
(2) (x-1/2)(x 2
+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2
+1/4)
=(x 2
-1/4) (x 2
+1/4)= x 2
-1/16.
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2
-b 2
= (a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得a n
b n
=(ab)n
,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算:
(1)(x/2+5)2
-(x/2-5)2
; (2)(a-1/2)2
(a 2
+1/4) 2
(a+1/2)
2
解:(1)(x/2+5)2
-(x/2-5)2
=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]
=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.
(2)(a-1/2)2
(a 2
+1/4) 2
(a+1/2)
2
=[(a-1/2)(a 2
+1/4)
(a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4)] 2
=[(a 2
-1/4
) (a 2
+1/4)] 2
=(a 4
-1/16 )
2
=a 8-a 4
/8+1/256.
④合理分组:对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:(1)(x+y+1)(1-x-y); (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12
-(x+y)
2
=1-(x 2
+2xy+y 2
)= 1-x 2
-2xy-y 2
.
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)
=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]
= (2x+5)2
-(y-z)2
=(4x 2
+20x+25)-(y 2
-2yz+z 2
) = 4x 2
+20x+25-y 2
+2yz-z 2
= 4x 2
-y 2
-z 2
+2yz +20x+25 .
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。
尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。
一. 先分组,再用公式
例1.
运用加法交换律和结合律变形将另一个整形为
二. 先提公因式,再用公式 例2.
简析:通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2
三. 先分项,再用公式 例3.
简析:两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成46分解成4
与2的和,再分组,则可应用公式展开。
解:原式
四. 先整体展开,再用公式
例4.
之相乘,利用平方差公式即可展开。
五. 先补项,再用公式 例5.
方差公式逐步展开,使运算变得简便易行。
六. 先用公式,再展开 例
6.
简析:由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,
其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。
七.
乘法公式交替用 例7.
简析:利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开。
[]=+-=+-=-=-+-()()()()()
x z x z x z x z x z x x z x z z 33
3
2
23
642246
33
八、中考与乘法公式 1. 结论开放
例1. (02年济南中考)请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。
分析:利用面积公式即可列出
()()x y x y x y +-=-22
或
()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2
222
在上述公式中任意选一个即可。
例2. (03年陕西中考)
如图2,在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a
b >),把余下的部分剪成一个矩形,
如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________。
分析:利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-
2. 条件开放
例3.(03年四川中考)
使它能成为一个整式的完全平方,
则加上的单项式可以是____________(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况)。
分析:解答时,可能习惯于按课本上的完全平方公式,得出
3. 找规律
例4.(01年武汉中考)观察下列各式:。
分析:由已知等式观察可知
4. 推导新公式
例5.a分别取1,2,3,……,n时,可得下列n个等式
()
()
()
()
111211
212221
31
3231
121
22
22
22
22
+=+⨯+
+=+⨯+
+=+⨯+
+=++
……
n n n
将这n个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:
(用含n的代数式表示)
分析:观察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式左右两边分别相加,得:
()n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222… 移项,整理得:
()1231
2
1++++=
+…n n n 例6. (04年临汾中考)阅读材料并解答问题:我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如:()()22322a b a b a ab b ++=++
就可以用图4或图5等图表示。
(1)请写出图6中所表示的代数恒等式____________;
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示:
()()a b a b a ab b ++=++34322
(3)请仿照上述方法另写一个含有a ,b 的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形。
解:(1)
()()2222522a b b a a b ab ++=++
(2)如图7。