高等数学练习题(附答案)

《高等数学》
专业
年级
学号
姓名
一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（）1.收敛的数列必有界.
（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.
（）5.若f (x )在x 0
点可导，则f (x )也在x 0
点可导.
（）6.若连续函数y =f (x )在x 0
点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0
,f (x 0
))点没有切
线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.
（
）8.若z =f (x ,y )在（x 0
,y 0
）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在
（x 0
,y 0
）处可微.
（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（
）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且
f ''(0)=f '(0)+1,则
f (0)为f (x )的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=
.
22.若f (x )=
2-12+1
1x
1x
，则lim +
=
.
x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),
f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
g '(3)=
.
4.设u =xy +2x
,则du =
.
y
35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为
.
6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=
.
7.若1
x
2⎰
f (x )0
t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=
.
8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.
9.广义积分⎰
+∞0
e -2x dx =
.
2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D
1+x 5dxdy =
.
三、计算题（每题5分，共40分）
111+Λ+).1.计算lim(
2
+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.
23103.求不定积分⎰
1x (1-x )
dx .
4.计算定积分
⎰π
sin 3x -sin 5xdx .
3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =
x ,y =x 围成，计算⎰⎰
D
sin y
dxdy .y
7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.求微分方程y '=y -2x
的通解.
y
四、证明题（每题10分，共20分）
1.证明：arc tan x
=arcsin
x 1+x 2
(-∞<x <+∞).
2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,
F (x )=⎰f (t )dt +⎰
x x
b
1dt f (t )
证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√；
2.×；
3.×；
4.×；
5.×；
6.×；
7.×；
8.×；
9.√；10.√.
二、填空题.（每题2分，共20分）
21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；
4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；2
5.2/3；
6. 1；
7.
3
36；
8.8；
9.
1/2；
10.0.
三、计算题（每题5分，共40分）
n +1111n +1
<++L +<1.解：因为
(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2
且
lim 由迫敛性定理知：lim(
n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2
111
++Λ+)=02
22n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10
∴y '=(x +1)Λ(x +10)(
3.解：原式=21210
++Λ+)x +1x +2x +10
⎰
1
1-x
d x =2⎰
11-(x )2
d x
=2arcsin
4.解：原式=x +c
⎰
π
sin 3x cos 2xdx
π
32
=
⎰
π
20
20
cos x sin xdx -
⎰
cos x sin xdx
2
32
ππ
32
=
⎰
sin xd sin x -
⎰
ππ
2
sin xd sin x
32
2
22-[sin 2x ]π
=[sin 2x ]0π55
2
=4/5
25.解：
f x
'=3x -8x -2y =0
f y
'=2x -2y =0
5π5故
⎨
⎧x =0
⎧x =2或⎨
⎩y =0⎩y =2
当
⎨⎧x =0
''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx
⎩y =0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0
∴（0，0）为极大值点且
f (0,0)=0
当
⎨⎧x =2
''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xx
y =2
⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0
∴无法判断
6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y
{}∴⎰⎰D
1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dy
y 20y 0
y y y =
⎰(sin y -y sin y )dy
1=
[-cos y ]+10
⎰1
yd cos y 1=
1-cos1+[y cos y ]0
-⎰cos ydy 0
1
=1-sin1
7.解：令u =xy ，v =y
；则1≤u ≤2，1≤v ≤3
x
1
x u
J =y
u
x
v =2uv y v
v
-
u 2v v =1
2v u
2u v
231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰
11
2v D
8.解：令
y =u ，知(u )'=2u -4x
由微分公式知：
u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )
=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设
f (x )=arctan x -arcsin
x 1+x 22
1
Θf '(x )=-
2
1+x 1x 1-
1+x 2
2
1+x -⋅
1+x 2
x 21+x 2
=0
∴f (x )=c
-∞<x <+∞
令x =0Θf (0)=0-0=0
∴c =0即：原式成立。

2.解：ΘF (x )在[a ,b ]上连续
且
F (a )=⎰a
b b 1
dt <0,F (b )=⎰f (t )dt >0
a f (t )
故方程F (x )=0在(a ,b )上至少有一个实根.
又
F '(x )=f (x )+
1
Θf (x )>0
f (x )
∴F '(x )≥2
即
F (x )在区间[a ,b ]上单调递增
∴F (x )在区间(a ,b )上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业
学号
姓名
一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.f (x )在点x 0
处有定义是f (x )在点x 0
处连续的必要条件.
2.若y =f (x )在点x 0
不可导，则曲线y =f (x )在(x 0
,f (x 0
))处一定没有切线.
3.若f (x )在[a ,b ]上可积，g (x )在[a ,b ]上不可积，则f (x )+g (x )在[a ,b ]上必不可积.
4.方程xyz =0和x +y +z =0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5.设y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则
*222y =y +y *为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设f (3x )=
2.设f (x )=2x +1,f (a )=5,则a =
.
ln(1+2x )
，当f (0)=
时，f (x )在点x =0连续.
arcsin 3x
t →∞
3.设f (x )=lim x (1+)
4.已知1
t 2xt ，则f ''(x )
.f (x )在x =a 处可
导
，
且
f '(a )=A
，则
lim h →0
f (a +2h )-f (a -3h )
=
.
h d
[f (x )]2，并且f (0)=1，则f (x ).dx
6.若f (x ),g (x )在点b 左连续，且f (b )=g (b ),f '(x )>g '(x )(a <x <b )，
则f (x )与g (x )大小比较为f (x )
g (x ).5.若2f (x )cos x =7.若y =sin x ，则8.设f (x )=x
2dy dy
==.
；2d (x )dx 1
'f ()=
.
，则ln tdt ⎰x 2
2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9.设z =e x 2y ，则dz (1,1)
=
.
f (x 2-y 2)dy 化为极坐标下的累次积分为
.
10.累次积分⎰
R 0
dx ⎰
1t
R 2-x 2
三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
⎰
1.lim
x →0
sin x 0
x
(1+t )dt
t ⎰0sin t
dt 2e 2x
;
2.设y =ln
，求y ';
3.2x e -1
x sin x -cos x
⎰
1+sin 2x
dx ;4.⎰
20
x 24-x dx ; 5.设z =
∂z ∂2z ,求
.,22
∂y ∂x ∂y
x +y sin y
dxdy .y
6.求由方程2y -x =(x -y )ln(x -y )所确定的函数y =y (x )的微分dy .
7.设平面区域D 是由y =
x ,
y =x 围成，计算⎰⎰
D
8.求方程y ln ydx +(x -ln y )dy =0在初始条件y
x =1
=e 下的特解.
四、（7分）
已知f (x )=x +ax +bx 在x =1处有极值-2，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.
32五、应用题（每题7分，共14分）
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km /h )时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1km 所消耗的费用最小？
2.过点(1,0)向曲线y =图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x -2作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）
六、证明题（7分）
设函数f (x )在0≤x <a 上的二阶导数存在，且f (0)=0,f ''(x )>0.证明
g (x )=f (x )
在0<x <a 上单调增加.
x
高等数学参考答案
一、判断题 1.√；
2.×；
3.√ ；
4.× ；
5.√.
二、填空题
1.36；
2.7.cos x ,π
22
2x ； 3.4(1+x )e ； 4.5A ； 5.1+sin x ； 6.<；
3
2x cos x 2
；8.
ln 2
；9.
2dx +dy
；
10.
⎰
20
d θ⎰f (r cos 2θ)rdr .
R 三、计算题
1.原式=lim
(1+sin x )cos x
x →0
x sin x
1sin x
=e =e 1
2.y '=
1
e e 2x 2x e 2x
2
2x -1e -1
⋅
1
2e 2x (e 2x -1)-e 2x ⋅2e 2x
⋅
(e 2x -1)2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e 2x -1-2e 2x =⋅
2x 2x 2
2e (e -1)=
11-e 2x
sin x -cos x
dx 3．原式=⎰(sin x +cos x )2
1
⎰(sin x +cos x )2
d (sin x +cos x )
=-=1
+C sin x +cos x
π
4．设x =2sin t 则dx =2cos tdt
原式=
⎰
20
4sin 2t ⋅2cos t ⋅2cos tdt
π
=16⎰2sin 2t ⋅cos 2tdt
π
20
π
=4⎰2sin 2tdt =2⎰2(1-cos 4t )dt
π1
2=π
=2(t -sin 4t )04
-x ⋅
∂z
=5．∂y
2y 2x 2+y 2x 2+y 2
2232
=-
xy (x 2+y 2)
32
13
y (x +y )-xy ⋅(x
2+y 2)2⋅2x 2∂z 2=-2∂x ∂y (x +y 2)3
=
(2x 2y -y 3)x 2+y 2
(x +y )223
6．两边同时微分得：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2dy -dx =(dx -dy )ln(x -y )+(x -y )1
(dx -dy )
x -y
即
2dy -dx =ln(x -y )dx -ln(x -y )dy +(dx -dy )
2+ln(x -y )dx 3+ln(x -y )
（本题求出导数后，用dy =y 'dx 解出结果也可）故
dy =7．1y sin y sin y dxdy =dy dx 2⎰⎰⎰⎰0y y y
D
=⎰(sin y -y sin y )dy
1=-cos y 0
+y cos y 0
-⎰cos ydy
111=1-cos1+cos1-sin y 0
1
=1-sin1
dx 11+x =8．原方程可化为
dy y ln y y
通解为
x =e
-
⎰
y ln y
dy 1
⎰
y ln y
dy 1
[⎰e
⋅dy +C ]y
1
=e -ln ln y 1
[⎰e ln ln y
⋅dy +C ]y
==1111[⎰ln ydy +C ]=[(ln y )2+C ]ln y y ln y 21C ln y +2ln y
y
x =1
=e 代入通解得C =1
故所求特解为：
(ln y )-2x ln y +1=0
2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
四、解：f'(x)=3x2+2ax+b
因为f(x)在x=1处有极值-2，所以x=1必为驻点故f'(1)=3+2a+b=0
又f(1)=1+a+b=-2
解得：a=0,
3b=-3
2
于是f(x)=x-3x f'(x)=3(x-1)
f''(x)=-6x
由f'(x)=0得x=±1，从而
f''(1)=6>0，在x=1处有极小值f(1)=-2
f''(-1)=-6<0，在x=-1处有极大值f(-1)=2
五、1.解：设船速为x(km/h)，依题意每航行1km的耗费为
y=1
(kx3+96) x
3
又x=10时，k⋅10=6故得k=0.006，所以有
y=令y'=1
(0.006x3+96)，x∈(0,+∞) x
0.012
3
(x-8000)=0，得驻点x=20
2
x
由极值第一充分条件检验得x=20是极小值点.由于在(0,+∞)上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为20(km/h)时，每航
行1km的耗费最少，其值为y
min =0.006⨯20+
2
96
=7.2（元）
20
2.解：（1）设切线与抛物线交点为(x
0,y
)，则切线的斜率为
2
y
0，x
-1
又因为y=x-2上的切线斜率满足2y⋅y'=1，在(x
0,y
)上即有2y
y'=1
所以2y
0⋅
y
0'=x
-1
=1，即2y
x
-1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
又因为(x 0
,y 0
)满足y
=x 0
-2，解方程组
2⎧⎧x 0
=3⎪2y 0
=x 0
-1⎨
得⎨2⎪⎩y 0=1
⎩y 0
=x 0
-22所以切线方程为
y =1
(x -1)
2
1
6则所围成图形的面积为：
S =⎰1
[2+y 2-(2y +1)]dy =
（2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：
3
1π(x -1)2dx -π⎰(x -2)dx =
042
6f (x )xf '(x )-f (x )xf '(x )-[f (x )-f (0)]
六、证：[]'==
x x 2x 2
在[0,x ]上，对f (x )应用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(0,x )，使得
f (x )-f (0)=xf '(ξ)V =π⎰1
f (x )xf '(x )-f (ξ)]'=2
x x 由假设f ''(x )>0知f '(x )为增函数，又x >ξ，则f '(x )>f '(ξ),
代入上式得
[于是f '(x )-f '(ξ)>0,从而[
f (x )f (x )
在(0,a )内单调增加.
]'>0，故x x
《高等数学》试卷
专业
学号
姓名
一、填空题（每小题1分，共10分）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1．函数y =arcsin 1-x +
x 2
11-x 2
的定义域为_______________。

2．函数y =x +e 上点（０，１）处的切线方程是______________。

3．设f (x )在x 0可导且f '(x 0)=A ，则lim h →0
f (x 0+2h )-f (x 0-3h )＝ _______。

h 4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(x ,y )的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。

5．x
⎰
1-x 4
dx ＝_____________。

x →∞
６．lim x sin 1
＝___________。

x 7．设f (x ,y )=sin xy ，则f x
(x ,y )＝____________。

8．累次积分⎰
R
dx ⎰
R 2-x 2
f (x 2+y 2)dy 化为极坐标下的累次积分为________。

d 3y 3d 2y
2 9．微分方程
3+(2
)=0的阶数为____________。

dx x dx 10．设级数
∑a
n =1
∞n
发散，则级数
n =1000
∑
∞a n
_______________。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（
）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．设函数f (x )=①1-
1
,g (x )=1-x ，则f (g (x ))＝
（）
x
111②1+
③
④ｘ
x
x
1-x
2．x →0时，x sin 1
+1是
（）
x
①无穷大量
②无穷小量
③有界变量
④无界变量
3．下列说法正确的是
（）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
①若f (x )在x =x 0
连续，则f (x )在x =x 0
可导
②若f (x )在x =x 0
不可导，则f (x )在x =x 0
不连续
③若f (x )在x =x 0
不可微，则f (x )在x =x 0
极限不存在
④若f (x )在x =x 0
不连续，则f (x )在x =x 0
不可导
4．若在(a ,b )内恒有f '(x )<0,f ''(x )>0，则在(a ,b )内曲线弧y =f (x )为（）.
①上升的凸弧
②下降的凸弧
③上升的凹弧
④下降的凹弧
5．设F '(x )=G '(x )，则
（）
①F (x )+G (x )为常数②F (x )-G (x )为常数
③F (x )-G (x )=0
④6．
d d
F (x )dx =
G (x )dx ｘ⎰⎰dx dx
⎰1-1
x dx ＝
（）
① ０
② １
③ ２
④ ３
7．方程2x =3y =1在空间表示的图形是（）
①平行于xOy 面的平面②平行于Oz 轴的平面③过Oz 轴的平面
④直线
8．设f (x ,y )=x +y +x y ，则f (tx ,ty )=（）
①tf (x ,y )
②t f (x ,y )
③t f (x ,y )
④233321
f (x ,y )t 2
∞a n +19．设a n
≥0，且lim ＝ｐ，则级数
∑a n （）
n →∞a
n =1
n
①在p >1时收敛，p <1时发散
②在P ≥1时收敛，p <1时发散
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
③在p ≤1时收敛，p >1时发散④在p <1时收敛，p >1时发散
10．方程y '+3xy =6x y 是
（）
①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是
（
）
①y =e ②y =x +1
③y =x cos x
④y =ln x
12．设f (x )在(a ,b )可导，a <x 1
<x 2
<b ，则至少有一点ξ∈(a ,b )使
（）
①f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )②f (b )-f (a )=f '(ξ)(x 2
-x 1
)
③f (x 2
)-f (x 1
)=f '(ξ)(b -a )
④f (x 2
)-f (x 1
)=f '(ξ)(x 2
-x 1
)
13．设f (x )在x =x 0
的左右导数存在且相等是f (x )在x =x 0
可导的
（）
①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
14．设2f (x )cos x =x
332d
[f (x )]2，则f (0)=1，则f (x )=（）
dx
①cos x
②2-cos x
③1+sin x
④1-sin x
15．过点（１，２）且切线斜率为4x 的曲线方程为ｙ＝
（）
①ｘ②ｘ＋ｃ
③ｘ＋１
④4x 4
4433
16．设幂级数
∑a x
n n =0
∞
n
在x 0
（x 0
≠0）收敛，则
∑a x
n n =0
∞
n
在x <x
（）
①绝对收敛②条件收敛③发散
④收敛性与a n
有关
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17．设Ｄ域由y =x ,y =x 所围成，则①③
2sin x
d σ=（）
⎰⎰
x
D
⎰1
01dx ⎰1y
sin x
sin x
dy ；②⎰dy ⎰
dx ；x
0y
x x 1
x
1
x
sin x
sin x
dy ；④
⎰dy ⎰
dx .0
x
x
x
⎰0
dx ⎰
x
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．设y =
x -1求y ' .
x (x +3)
sin(9x 2-16)
２．求lim .
x →4
3x -43
３．计算４．设x =５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.
６．设u =e ７．计算
x +
y +sin z
dx
⎰(1+e x )2
.
⎰
t 0
(cos u )arctan udu ,y =⎰
1t
(sin u )arctan udu ，求dy
.
dx
，求ｄｕ .
⎰⎰
x a sin θ
r sin θdrd θ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
８．求微分方程dy =(９．将f (x )=y +1
2)dx 的通解 .x +13
展成的幂级数.
(1-x )(2+x )
四、应用和证明题（共15分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为k >0）求速度与时间的关系。

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1时，2x >3-
1。

x
高等数学参考答案
一、填空题（每小题1分，共10分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ＋１
５．21
arctan x 2+c
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
2
π
８．⎰
2
d θ⎰f (r 2)rdr ９．三阶１０．发散
π二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（
）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．③2．③3．④4．④5．② 6．②7．②8．⑤
9．④
10．③
11．④
12．④
13．⑤
14．③
15．③ 16．①17．②
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．解：ln y=1
[ln(x-1)-ln x-ln(x+3)] 2
11111
y'=(--) y2x-1x x+3
y'=1x-1111
(--) 2x(x+3)x-1x x+3
18x cos(9x2-16)
２．解：原式＝lim
x→43
3
44
18()cos(9()2-16)
33
＝＝８
3
(1+e x-e x)dx
３．解：原式＝⎰
x2
(1+e)
dx d(1+e x)
＝⎰-⎰
x x2
(1+e)(1+e)
(1+e x-e x)dx1
＝⎰+
x x
1+e1+e
1
x
＝x-ln(1+e)++c
x
1+e
４．解：因为dx=(cos t)arctgtdt,dy=-(sin t)arctgtdt
dy-(sin t)arctgtdt
==-tgt
dx(co s t)arctgtdt ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝
所求直线方程为
６．解：du=e x+y+sin z x-1y-1z-2
==
10-3 d(x+y+sin z)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=e
x +y +sin z
(dx +
12y
dy +co s zdz )
７．解：原积分＝
⎰
π
02sin θd θ⎰
π
20
a sin θ
π1
rdr =a 2⎰sin 3θd θ
22
2
a ⎰3dy dx
2=
８．解：两边同除以(y +1)得
22
(1+y )(1+x )＝a sin 3θd θ=两边积分得
dy dx =⎰(1+y )2⎰(1+x )2
11
-=c x +1y +1
亦即所求通解为
９．解：分解，得
f (x )＝
=11+1-x 2+x
111+
1-x 21+x
2
n
x
1∞n
x <1）＝∑x
+∑(-1)n
（x <1且2
2n =02n =0∞n
1n ＝∑[1+(-1)n -1
]x （x <1）
2n =0
∞
n 四、应用和证明题（共１５分）
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足m =解方程得u =由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得u =２．证：令f (x )=2x +du
=mg -ku dt
1
(mg -ce -kt )
k
mg
(1-e -kt )k
1
-3则f (x )在区间［１，＋∞］连续
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
而且当x>1时，f'(x)=11
-
2
>0
x x
(x>1)
因此f(x)在［１，＋∞］单调增加从而当x>1时，f(x)>f(1)＝０
即当x>1时，2x>3-1 x
《高等数学》
专业学号姓名
一、判断正误（每题2分，共20分）
1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.
2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.
3.y=f (x)
在点x
连续，则y=f
(x)
在点x
必定可导.
4.若x
O 点为y=f
(x)
的极值点，则必有f'x
=0.
5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.
6.方程x+y=1表示一个圆.
7.若z=f (x,y)
在点M
(x
,y
)
可微，则z=f
(x,y)
在点M
(x
,y
)
连续.
x
8.(y')=-2x-e
是二阶微分方程.
2
() 22
d
x sin tdt=sin x-sin1.
9.
dx ⎰1
10.若y=f (x)
为连续函数，则⎰f
(t)dt
必定可导.
a
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
二、填空题（每题4分，共20分）
1.dx
⎰
1+sin x
=___________.2.lim sin 2x
=_______.x →∞
x 3.设f '(x )=1，且f (0)=1，则⎰f (x )dx =___________.
4.z =xy 2，则dz =___________.
5.
d b
2sin x =____________.dx ⎰a
三、计算题与证明题（共计60分）
⎛n -2⎫
（5分）；
1.(1)lim ⎪，n →+∞n +1⎝⎭
(2)lim n 1⎫
⎛1-
x （5分）。

⎪，x →0
x
e -1⎝⎭
cos x 2.求函数y =(sin x )+(cos x )sin x 的导数。

（10分）
3.若在(-∞,+∞)上f ''(x )>0,f (0)<0.证明：F (x )=单调增加.（10分）
f (x )在区间(-∞,0)和(0,+∞)上
x
4.对物体长度进行了n 次测量，得到n 个数x 1,x 2,Λ,x n。

现在要确定一个量x ，使之与
测得的数值之差的平方和最小.x 应该是多少？（10分）
5.计算x sin x dx .（5分）
⎰26.由曲线y =ln x 与两直线y =e +1-x ,y =0所围成的平面图形的面积是多少.（5分）
7.求微分方程x
dy
=x -y 满足条件y x =dx
2
（5分）
=0的特解。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.计算二重积分⎰⎰
x 2dxdy ,
D 是由圆x 2+y 2=1及x 2+y 2=4围成的区域.（5分）
D
高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20分）
1-5．╳，╳，╳，╳，√. 6-10.╳，√，╳，╳，√.
二、填空题（每题4分，共20分）
1.tan x -1
1
+c ；
2.0；
3.x 2+c ；
4.y 2dx +2xydy ；
5.0.
cos x
2
n +1-3n
•3n +1
三、计算题与证明题。

（共计60分）
1.
⎛n -2⎫(1)n lim ⎪
→+∞
⎝n +1⎭n
=lim ⎢1-n →+∞n +1⎥-3n n →+∞n +1
lim
⎡
⎣3⎤⎦-
=e ⎛e x -1-x ⎫⎛e x -1-x ⎫1⎫
⎛1⎪⎪(2)lim =lim -
x ⎪=lim x 2 ⎪ ⎪x →0
x
x →0x →0e -1x e -1x ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
⎛e x -1⎫⎛e x
⎪=lim =lim x →0 2x ⎪⎝⎭x →0⎝
22.令y 1
=(sin x )cos x
⎫1
⎪⎪=2⎭
cos x ln sin x
y 2
=(cos x )sin x
则y 1
=e '
'
'y 1
=e
cos x ln sin x
=e
cos x ln sin x
(cos x ln sin x )=sin x cos x +1cot 2x -ln sin x
()同理
y 2
=cos x
sin x +1
ln cos x -tan 2
x y '=sin x cos x +1'
()
(cot 2x -ln sin x +cos x sin x +1ln cos x -tan 2x
)()
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.
ΘF (x )=
f (x
)x
f (x )'xf '(x )-f (x ))=2
x x 令
g (x )=xf '(x )-f (x )则g '(x )=xf ''(x )>0∴当x >0时，g (x )为单调递增；x <0时，g (x )为单调递减。

∴F '(x )=(则
当x >0时g (x )>g (0)>0∴F '(x )>0当x >0时，F (x )为单调递增当x <0时g (x )>g (0)>0∴F '(x )>0当x <0时，F (x )为单调递增
故命题成立。

4.令f (x )=(x -x
1
)+(x -x 2
)+Λ+(x -x n
)222
f '(x )=2[nx -(x 1
+x 2
+Λx
n
)]
则
令f '(x )=0⇒x
=x 1
+Λ+x
n 为驻点n
f ''(x
)=2n >0∴x 0
点为f (x )的极小值点
∴x 应为5.x 1
+Λ+x n n
2x sin x dx =
⎰x ⎰
1-cos 2x 1dx =⎰(x -x cos 2x )dx
2
2
=6.S =11211x -x sin 2x -cos 2x +c 448
y
1
⎰
(e +1-y -e )dy =(e +1)y
-12y 2
10
-e
y 10
=32
7.方程变形为
y '+1
y =1
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11⎤c 1⎰x dx ⎡⎰x dx
而
y =e dx +c ⎥=+x
⎢⎰1•e ⎣⎦x 2
-
初始条件：
y
∴y *=-x =2
=0⇒c =-1
11
+x
x 2
8、
D *=(r ,θ)1≤r ≤2,0≤θ≤2π∴22223x dxdy =r cos θrdrd θ=cos θd θ•r ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
dr =D
D *
1
2π
2{}15
π
4
《高等数学》
专业
学号
姓名
一、判断（每小题 2分，共 20分）
1.f(x)在点x 0
处有定义是f(x)在点x 0
处连续的必要条件. ( )
2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.(
)
3. y=f(x)在x 0
处可导,则y=|f(x)|在x 0
处也可导. ( )4.初等函数在其定义域内必连续.( )
5.可导函数f(x)的极值点一定是f(x)的驻点.( )
6.对任意常数k,有kf (x )dx =k ⎰⎰f (x )dx .( )
7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.( )
8.若f(x,y)在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称,则当f(x,y)为关于x 的奇函数
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
时,⎰⎰f (x ,y )dxdy =0. ( )
D
2x 9.(y ')=-2x -e 的通解中含有两个独立任意常数.( )
10.若z=f(x,y)在P o
的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P 0
连续.( )
二、填空（每空 2分，共20分）
1.lim [xsin x →∞
112+x
x +sinx+()]= .
x x x 2.函数f(x)=x 3-x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξ=
.
⎧e x
x <03.设f(x)=⎨
当a=时,f(x)在x=0处连续.
⎩a +x
x ≥0
4.设z=e x 2+2y ,则dz | (0,0)=.
5.函数f(x)=e -x -1在
内单调增加;在
内单调减少.
6.函数y =ax +bx +cx +d 满足条件
时,这函数没有极值.
32x d 7.
dx ⎰b
a
sin x 2dx =其中a,b 为常数.
8.f '(x)=1且f (0)=0,则9.若I=
⎰f (x )dx =.
⎰10
dx ⎰
2
f (x ,y )dxdy 交换积分次序后得
.
x x 三、计算（每小题 5分,共 40分）
y e x ln t 11dt +⎰(cos t +3)dt =2,求dy ；1.求lim (2
-)； 2.⎰11x →0x xtgx t ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.求⎰1+∞11
dx； 4.求⎰3dx； 5.求⎰xe-2x dx；
0 x(1+x)
4
1-x-1
∂z∂2z
6.设z=ln(x+y)求,；
∂x∂x∂y
22
7.计算I=⎰⎰xdxdy.其中D是由圆x
D 2+y=4围成的区域；
2
8.求微分方程-ydx+(x+y3)dy=0的通解.
四、应用题(每题7分,共14分)
1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
2.求由y=1
,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积. x
五、证明(本题6分)
证明:当x>0时,不等式1+1
x>1+x成立. 2
高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20分）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1√； 2√； 3╳； 4╳； 5√； 6╳； 7√； 8√； 9╳； 10╳.
二、填空题（每题4分，共20分）
1.1+e ；
2.2；
3.1；
4.2dx ；
5.[0，+∞)，
（-∞,0]； 6.b -3ac <0；1y
1
27.0； 8.x +c ； 9.⎰
dy ⎰
f (x ,y )dx .
y
2
22三、计算题与证明题（共计60分）
1⎫⎛1⎛tan x -x ⎫⎛tan x -x ⎫
lim lim ==1.lim 2-⎪x →0 2⎪x →0 ⎪3x →0x x tan x ⎭⎝
⎝x tan x ⎭⎝x ⎭⎛2sec 2x tan x ⎫1⎛sec x -1⎫=lim ⎪=⎪
=lim 2x →0x →06x ⎝3x ⎭⎝⎭3
2.方程两边同时对x 求导得：
ln e x
x 则
x
e +(cos y +3)y '=0e x +(cos y +3)=0
y '=-
dy =- 3.
x
cos y +3x
dx
cos y +3
⎰
12
dx =⎰d x
1+x x (1+x )
=2⎰
4、令
1-x =t 当
x =11+(x )2
d x =2arctan x +c
x =1-t 2dx =-2tdt
31
时t =；当x =1时t =0
42
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11t 1-2t
2dt =2⎰21+dt dt =2⎰原式=⎰10t -10
t -1t -12
1=2[t +ln t -1=1-2ln 2
120
5.
⎰
+∞
0xe -2x dx =⎰
+∞
+∞
111x (-e -2x )'dx =x (-e -2x )-⎰(-e -2x )dx
2220
+∞1
=-e -2x
4
6.
+∞
=0
14
∂z 12x 22'=2(x +y )=22
∂x x +y 2x +y ∂2z 2x 4xy
=-22y =-22222
∂x ∂y (x +y )(x +y )⎧x =r cos θ
，⎩y =r sin θ
2π27.令
⎨
I =⎰d θ⎰r cos θ⋅rdr
=1322
2πcos θd θr dr =[sin θ]⋅[r ]0
=0
⎰0
⎰
3
dx 1
-x =y 28.解：
dy y
2π2
x =e
⎰y
dy
1(⎰y 2e
⎰-y
dy
1dy +c )
1
=y (y 2+c )
2
1
∴
原方程的通解为：x =y (y 2+c )
2
四、（每题7分，共14分）
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.解：设长方形的长和宽分别为x 和y ，面积为s ，则x +2y =20即
x =20-2y
s =xy =20y -2y (y >0)
2s '=20-4y =0，得y =5
s ''=-4<0
∴当长x =10M；宽y =5M 时，面积最大。

五、（本题6分）
11
1
>0
令f (x )=1+x -1+x
f '(x )=-221+x
2
∴
f (x )>f (0)=0
即1+1
x >1+x
2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。