投影专项练习-九年级数学下册基础知识专项讲练浙教版

专题3.1 投影（专项练习）
一、单选题
1．（2020·绵阳市富乐实验中学九年级期末）下列关于投影的说法中不正确的是（）A．正午，上海中心大厦在地面上的投影是平行投影
B．匡衡借光学习时，他在地面上的投影是中心投影
C．三角形木板的正投影是一个点
D．晚上，小强向路灯走去，他的影子越来越短
2．（2020·广东佛山市·九年级月考）如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（）
A．①②③④B．④③①②C．④①③②D．②①③④3．（2020·甘州区碱滩镇中心学校九年级月考）如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（）
A．②④①③B．①④③②C．②④③①D．①③②④4．（2021·全国九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
1.6
5．（2020·广东揭阳市·九年级月考）身高米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的
1019
高度，上午点，小明在阳光下的影长为米，此时测得旗杆的影长为米，则学校旗杆
的高度是（）
91013.414.4
A．米B．米C．米D．米6．（2020·银川唐徕回民中学九年级二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短B．先变短后变长
C．先变长后变短D．逐渐变长
7．（2020·福建省沙县高砂中学九年级月考）如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
A．B．C．D．
8．（2020·广西南宁市·九年级其他模拟）长方形的正投影不可能是( )
A．正方形B．长方形C．线段D．梯形9．（2020·安徽淮南市·九年级其他模拟）下列现象不属于投影的是（）
A．皮影B．素描画C．手影D．树影10．（2020·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m 11．（2019·广东深圳市·九年级期中）下列说法错误的是（）
A ．高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．方程x 2＝x 的根是x 1＝0，x 2＝1
D ．对角线相等的平行四边形是矩形
二、填空题
12．（2020·四川省新都县第四中学九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光60︒与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）
30°
13．（2020·全国九年级期末）一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高220 1.60度为__________米.
14．（2020·河南平顶山市·九年级期末）如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度()BC 为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，A DE DE BC 和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点AD AE D (2,0)的坐标是_________．
E
15．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学九年级其他模拟）如图，小明在A 时测得旗杆的影长是2米，B 时测得旗杆的影长是8米，两次的日照光线恰好互相垂直，则旗杆的高度是______米．
16．（2020·贵溪市第二中学九年级期末）如图是小孔成像原理的示意图，点与物体O 的距离为，与像的距离是，. 若物体的高度为，AB 30cm CD 14cm //AB CD AB 15cm 则像的高度是_________.
CD cm
17．（2019·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠且高度恰好相同．此时测得墙上影子高，CD =1.2m ，（点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明身高EF 是1.6m ，则楼高CE =0.6m CA =30m AB 为______m ．
1.8 18．（2019·陕西西安市·高新一中九年级月考）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的
影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为24m，那么这根旗杆的高度为_____m．19．（2019·全国九年级单元测试）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0,5)处，线段CD 垂直于x轴，D为垂足，C(3,1)，则CD在x轴上的影子长________，点C的影子E的坐标为________．
20．（2019·全国九年级单元测试）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.5 m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2 m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1 m，则塔高AB是__________米．
21．（2018·山西实验中学九年级月考）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为___．
三、解答题
22．（2020·陕西西北工业大学附属中学九年级其他模拟）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C，并在点C处安装了测倾器CD，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B，顶部作为点A，现测得古
树的项端A的仰角为37°，再在BC的延长线上确定一点F，使CF＝5米，小华站在F处，测得小华的身高EF＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG＝3米，此时，大树AB在太阳光
下的影子为BF．已知测倾器的高度CD＝1.5米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于BG，求小河的宽度BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°
≈0.8，tan37°≈0.75）
23．（2020·湖南长沙市·九年级其他模拟）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地
面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡
的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
参考答案
1．C
【分析】
A B C
由平行投影的定义判断，由中心投影的定义判断，由正投影的含义判断，由物体与
D
光源的远近判断投影的变化可判断．
A
解：太阳光下的投影是平行投影，故的说法正确；
B
匡衡借光中的光是灯光，灯光下的投影是中心投影，故的说法正确；
C
三角形木板的正投影不可能是一个点，故的说法不准确；
D
路灯下，离路灯越近，影子越短，故的说法正确；
C
故选：．
【点睛】本题考查的是投影的定义，平行投影与中心投影，掌握以上知识是解题的关键，2．B
【分析】
根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长．
解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②．
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
3．B
【分析】
根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断，太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向；
太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始时应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列为：
①④③②，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影的判定，准确分析判断是解题的关键．
4．C
【分析】利用中心投影，延长PA 、PB 分别交x 轴于A′、B′，作PE ⊥x 轴于E ，交AB 于D ，如图，证明△PAB ∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】
延长PA 、PB 分别交x 轴于A ′、B ′，作PE ⊥x 轴于E ，交AB 于D
，如图
∵P （2，2），A （0，1），B （3，1）．
∴PD ＝1，PE ＝2，AB ＝3，
∵AB ∥A ′B ′，
∴△PAB ∽△PA ′B ′，∴，即AB AD A B AE =''312
A B =
''∴A ′B ′＝6，
故选：C ．
【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键．
5．D
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
【详解】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故选D.
【点睛】本题主要考查了平行投影的知识点.
6．B
【分析】小亮由A 处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B 处，他的影子则由短
【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选B．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
7．B
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】A、影子的方向不相同，故本选项错误；
B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；
D、影子的方向不相同，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
8．D
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故长方形的正投影不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键．
9．B
【分析】根据投影的概念，皮影、树影、手影都是由光线照射形成的，都是投影，而素描画不满足，不是投影，即可得到答案．
【详解】根据平行投影的概念可知，素描画不是光线照射形成的，
故选：B．
【点睛】本题考查了投影的概念，掌握知识点是解题关键．
【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【详解】如图，设BD 是BC 在地面的影子，树高为x ，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
而CB=1.2，
10.8CB BD =∴BD=0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
13.560.8x =
∴x=4.45，
∴树高是4.45m ．
故选B ．
【点睛】抓住竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同是关键.
11．B
【分析】根据中心投影的性质、菱形的判定定理、矩形的判定定理及解一元二次方程的方法对各选项进行判断即可.
【详解】A.高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，正确，不符合题意，
B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项错误，符合题意，
C.方程x 2＝x 的根是x 1＝0，x 2＝1，正确，不符合题意，
D. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查中心投影的性质、菱形和矩形的判定及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.
12．【分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．【详解】如图
在中，设AB 为x
Rt ABC A ，tan ∠=
AB ACB BC ∴，
tan tan 60AB x BC ACB =
=∠︒同理：，tan 30x
BD =∵两次测量的影长相差8米，∴，
8
tan 30tan 60x x -=︒︒
∴x =
则树高为
故答案为：【点睛】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．13．16
【分析】易得△AOB ∽△ECD ，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度．
【详解】
解：∵OA ⊥DA ，CE ⊥DA
，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD ∥OE ，
∴∠CDA=∠OBA ，
∴△AOB ∽△ECD ，∴，CE OA 16OA ,DE AB 2
20==解得OA=16．
故答案为16．
14．(4,0)
【分析】先证明△ABC ∽△ADE ，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【详解】∵BC ∥DE ，
∴△ABC ∽△ADE ，∴，20.8=2BC DE
-∵BC=1.2，
∴DE=2，
∴E （4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
15．4
【分析】如图，∠CPD=90°，QC=2m ，QD=8m ，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D ，
则可判断Rt △PCQ ∽Rt △DPQ ，然后利用相似比可计算出PQ ．
【详解】
解：如图，∠CPD=90°，QC=2m ，QD=8m
，
∵PQ ⊥CD ，
∴∠PQC=90°，
∴∠C+∠QPC=90°，
而∠C+∠D=90°，
∴∠QPC=∠D ，
∴Rt △PCQ ∽Rt △DPQ ，∴
=PQ QC QD PQ 即，8=2
PQ PQ ∴PQ=4，
即旗杆的高度为4m ．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，也考查了平行投影，找准相似三角形是解答此题的关键．
16．7
【分析】
根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案.
【详解】
作OE ⊥AB 与点E ，OF ⊥CD 于点F
根据题意可得：△ABO ∽△DCO ，OE=30cm ，OF=14cm ∴OE AB OF CD
=即
301514CD =解得：CD=7cm
故答案为7.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也成比例，周长同样成比例，均等于相似比.
17．21.2
【解析】过点D 作DN ⊥AB ，可得四边形CDME 、ACDN 是矩形，即可证明△DFM ∽△DBN ，从而得出BN ，进而求得AB 的长．
解：过点D 作DN ⊥AB ，垂足为N ．交EF 于M
点，
∴四边形CDME 、ACDN 是矩形，
∴AN=ME=CD=1.2m ，DN=AC=30m ，DM=CE=0.6m ，
∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m ，
依题意知EF ∥AB ，
∴△DFM ∽△DBN ， ，DM DN
=MF BN 即：，解得：BN=20，
0.630=0.4BN
∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2，
答：楼高为AB 为21.2米.
【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．18．14.4米
【解析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【详解】设旗杆高度为x 米，
由题意得, 1.8324x 解得：x =14.4
故答案为14.4.
【点睛】考查平行投影，掌握同一时刻，物高与影长成比例是解题的关键.
19． (，0)
3415
4
【解析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△ECD ∽△EAO 的性质解答．
【详解】如图：
∵CD ⊥x 轴，
∴CD ∥OA ，
∴△ECD ∽△EAO ，
∴DE ：OE=CD ：OA ，
∵A （0，5），
C 点坐标为（3，1），
∴DE ：（DE+3）=1：5，
∴DE=，
3
4
∴CD 在x 轴上的影长为，点C 的影子的坐标为（，0）．
34154故答案是：，（，0）．
3415
4【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，还考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例．
20．22.5
【分析】过D 点作DF ∥AE ，交AB 于F 点，设塔影留在坡面DE 部分的塔高AF ＝h 1，塔影留在平地BD 部分的塔高BF ＝h 2，再根据小明和小华的身高在斜面与平地上的影长特点分别求出h 1， h 2即可.
【详解】过D 点作DF ∥AE ，交AB 于F 点，如图所示：
设塔影留在坡面DE 部分的塔高AF ＝h 1，塔影留在平地BD 部分的塔高BF ＝h 2，则铁塔的高为h 1＋h 2.
∵h 1∶18 m ＝1.5 m ∶2 m ，
∴h 1＝13.5 m ；
∵h 2∶6 m ＝1.5 m ∶1 m ，
∴h 2＝9 m.
∴AB ＝
13.5＋9＝22.5(m)．
∴铁塔的高度为22.5 m.
【点睛】
此题主要考查平行投影的应用，解题的关键是将影长分开两类进行计算
.21．6+【解析】延长AC 交BF 延长线于D 点，则BD 即为AB 的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【详解】延长AC 交BF 延长线于D 点，则∠CFE =30°，作CE ⊥BD 于E ．
在Rt △CFE 中，∠CFE =30°，CF =4，∴CE =2，EF =
．
在Rt △CED 中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE =2，CE ：DE =1：2，∴DE =4，∴BD =BF +EF +ED =12+
在Rt △ABD 中，AB BD （12+
=6
12=
12
=故答案为（6）米．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB 的影长．22．10米
【分析】过点D 作DH ⊥AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，
BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x
，在Rt △ADH 中，用x 表示出AH ，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC ．
解：如图，过点D 作DH ⊥AB 所在直线于点H ，
可得四边形DCBH 是矩形，
∴BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，
设BC ＝DH ＝x ，
根据题意可知：
在Rt △ADH 中，∠ADH ＝37°，
∴AH ＝DH •tan 37°≈0.75x ，
∴AB ＝AH ＋BH ＝0.75x ＋1.5，
BF ＝FC ＋CB ＝5＋x ，
根据同一时刻物高与影长的比相等，∴，
EF AB FG BF =∴，1.80.75 1.535x x +=+解得x ＝10，
所以BC ＝10（米），
答：小河的宽度BC 为10米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．
23．（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是
4.8米．
【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；
（2）根据题意可得＝，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF ，所以可求DE EH 1
0.6大树的高度；
（3
）结合（2）即可得树的影长．
【详解】
（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；（2）根据题意画出图形，如图所示，
根据平行投影可知：＝，DE ＝0.3，
DE EH 1
0.6∴EH ＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH 是平行四边形，
∴FH ＝DG ＝0.2，
∵AE ＝4.42，
∴AF ＝AE +EH +FH ＝4.42+0.18+0.2＝4.8，∵＝，
AB AF 1
0.6∴AB ＝＝8（米）．
4.8
0.6答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF ＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．。