2018-2019版高中数学苏教版选修1-1课件：2.2.1 椭圆的标准方程

类型二
椭圆定义的应用
命题角度1 由椭圆的定义确定轨迹方程 例3 如图， P 为圆 B ： (x ＋ 2)2 ＋ y2 ＝ 36 上一动点，
点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线 BP于
点Q，求点Q的轨迹方程． 解答
反思与感悟
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化 为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、 对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
1 1 若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则n>m>0，可得 m>n>0.
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x2 y2 5.设P是椭圆 上一点， P 到两焦点 F1 ， F2 的距离之差为 2 ， ＋ ＝ 1 16 12 6 答案 解析 则△PF1F2的面积是________.
由椭圆定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，
不妨设PF1>PF2.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
3 5 (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点 (－ ， )； 2 2
解答
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解答
(3)经过点 P(－2 3，1)，Q( 3，－2)． 解答
命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)
(1)定义法
即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求 a ，b ，c的等量关系；④求a，
b的值，代入所设方程．
特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两
种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
∵PF1－PF2＝2，∴PF1＝5，PF2＝3，
又∵F1F2＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形，
则S
P F1 F 2
1 ＝2×4×3＝6.
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规律与方法
1. 对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求
解，也可以通过椭圆的定义进行求解.
2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设
知识点二
椭圆的标准方程
思考1
在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什 么关系？ 答案 在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两
焦点间的距离之和的一半，可借助图形
帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一
个直角三角形的三条边，a是斜边，c
是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
第2章 §2.2
椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程
学习目标
1.掌握椭圆的标准方程. 2.会求椭圆的标准方程. 3.能用标准方程判断曲线是否是椭圆．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 常数(大于F1F2) 的 点 两焦点间 的轨迹叫做椭圆，这两个 定点F1，F2 叫做椭圆的焦点，____________ 的距离 叫做椭圆的焦距．
例2
x2 y2 若方程m－ 2 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 m 的 m －2
解析
0<m<1 ． 答案 取值范围是________
x2 y2 ∵方程m－ 2 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， m －2
y x 将方程改写为 2＋ ＝1， 2－m m
2 2 － m >m ， ∴有 解得 0<m<1. m>0，
思考2
怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？ 答案
谁的分母大焦点在谁轴上．
梳理 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1 (a>b>0)
焦点在y轴上
x2 y2 b2＋a2＝1 (a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)与(c,0) c2＝a2－b2
(0，－c)与(0，c)
4 又其一个焦点坐标为(0,1)，故k－1＝1，解得 k＝2.12来自345
2. 在 椭 圆 的 标 准 方 程 中 ， a ＝ 6 ， b ＝ 35 ， 则 椭 圆 的 标 准 方 程 是 x2 y2 x2 y2 答案 36＋35＝1 或35＋36＝1 ______________________.
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4.“m>n>0” 是 “ 方 程 mx2 ＋ ny2 ＝ 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 ” 的 充要 条件. __________
答案 解析
x2 y2 方程可化为 1 ＋ 1 ＝1. m n 1 1 若 m>n>0，则 0<m<n，可得方程为焦点在 y 轴上的椭圆.
解得7<k<10.
x2 y2 3或5 答案 (2)若椭圆 4 ＋m＝1 的焦距为 2，则 m＝________.
解析
当焦点在x轴上时，∵a2＝4，b2＝m，由2c＝2，得c＝1，
∴4－m＝1，∴m＝3.
当焦点在y轴上时，
∵a2＝m，b2＝4，由2c＝2，得c＝1，
∴m－4＝1，则m＝5.
综上可知，m＝3或5.
x2 y2 跟踪训练 2 (1)已知方程 － ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， k－4 k－10 (7,10) ． 答案 解析 则实数 k 的取值范围为________
x2 y2 将方程化成椭圆的标准形式为 ＋ ＝1. k－4 10－k
k－4>0， 根据其表示焦点在 x 轴上的椭圆，得10－k>0， k－4>10－k，
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3.若△ABC的两个顶点坐标分别为 A( －4,0) ，B(4,0)，△ABC的周长为18， x2 y2 答案 解析 则顶点C的轨迹方程为________________. 25＋ 9 ＝1(y≠0)
由题意知，顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点 间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5. 因为2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9. 又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0. x2 y2 所以顶点 C 的轨迹方程为25＋ 9 ＝1(y≠0).
a，b，c的关系
题型探究
类型一 命题角度1 求椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
例1
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
3)； 解答
1 (1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)，B(2，
x2 y2 (2)经过点(3， 15)，且与椭圆25＋ 9 ＝1 有共同的焦点． 解答
反思与感悟
求椭圆标准方程的方法
2
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反思与感悟
(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
m>0， x2 y2 (2)m＋ n ＝1 表示椭圆的条件是n>0， m≠n； m>0， 表示焦点在 x 轴上的椭圆的条件是n>0， m>n； m>0， 表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是n>0， n>m.
出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设 Ax2 ＋
By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的
目的.
本课结束
跟踪训练3
已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过
点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 解答
命题角度2 椭圆中的焦点三角形
例4
x2 y2 如图所示，点 P 是椭圆 5 ＋ 4 ＝1 上的一点，F1
和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
点，已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且 PF1>PF2，求 PF1 解答 的值． PF2
当堂训练
1. 已 知 椭 圆 4x2 ＋ ky2 ＝ 4 的 一 个 焦 点 坐 标 是 (0,1) ， 则 实 数 k 的 值 是 ________. 2
答案 解析
2 y 由题意得椭圆标准方程为 x2＋ 4 ＝1. k
解答
引申探究
在本例中，若图中的直线 PF1 与椭圆相
交 于 另 一 点 B ， 连 结 BF2 ， 其 他 条 件 不 变 ， 求 △BPF2的周长． 解答 由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为PB＋PF2＋BF2 ＝(PF1＋PF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝4a＝4 5.
反思与感悟
(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF1(或PF2)的 方程求得 PF1( 或 PF2) ；有时把 PF1· PF2 看成一个整体，运用公式 PF2 1
2－2PF · ＋PF 2 ＝ ( PF ＋ PF ) PF2，而无需单独 1 2 1 PF2及余弦定理求出PF1· 2
求出，这样可以减少运算量．
(2)焦点三角形的周长等于 2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积 θ 为 b tan 2.
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跟踪训练 4
x2 y2 设 F1、F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一