华东师大版八年级上册 11.1 平方根 讲义

华东师大版八年级上册11.1 平方根讲义
解：（1）∵ 9)3(2=±
∴9的平方根是3±，即39±=±．
（2）∵4916949223
=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.7
1349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=±
∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．
说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．
②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．
③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．
例5 求下列各数的平方根和算术平方根．
（1）0.0064 （2）4922 （3）2)13
12(1- （4）2)7(- 解答：（1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．
（2）因为491004922
=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是7
10． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而169
25)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是13
5． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．
说明：本题考查求平方根和求算术平方根的方法．
因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．
例6 求下列各式中的x ：
（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ．
分析：根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a a x ，其中（2）中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．
解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892=x ．
（2）∵ 81)1(2=+x ，
当91=+x 时，8=x ；
当91-=+x 时，10-=x ．
例7 已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．
分析：只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程．
解答1：由0144252=-x 得251442=
x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.10252135
12521352==+⨯=+x 解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，
∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．
分析：已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．
解答： ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x
∴应有⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x
解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=.231z y x
说明：求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．
例9 选择题：下列命题中真命的个数是（ ）．
（1）;2.04.0= （2）;4
3169±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；
（5）5
7±是25241的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根； （7）21的算术平方根是41． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义．
（1）4.004.0)2.0(2≠=
2.0∴不是4.0的算术平方根．
故（1）是假命题．
（2）题中
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9是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题．
（3）题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根． 所以（3）也是假命题．
（4）中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义． 故（4）也是假命题．
（5）,25
2412549)57(2==± 25241∴的平方根是57±． 此为真命题． （6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确．
（7）求21的算术平方根，应是对2
1进行开方运算，而非平方运算． 故此命题也不是真命题．
解答：应选（A ）
说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念．
其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根．
例10 如果一个数的平方根是3
a，那么这个数是多少？
2-
+
a与15
分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0．
解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以0
-
+
+a
a，
)3
(=
15
)
2(
解得4
+
a，即两个平方根分别为7和7
3=
a,当4
a时，7
=
=
-，故原数为49 说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解．。