3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)

复数代数形式的四则运算
3．2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义
预习课本P107～108，思考并完成下列问题
(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？
(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？
1．复数的加、减法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，
则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，
z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.
2．复数加法运算律
设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，
(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
3．复数加、减法的几何意义
设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→
的向量所对应的复数．OZ 1――→
[点睛]　对复数加、减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处
理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )
A ．8i
B ．6
C ．6＋8i
D ．6－8i
答案：B
3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )
A ．0
B ．2i
C ．6
D ．6－2i 答案：D
4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→
则||等于( )AB ――→
A.
B ．22C. D ．410答案：B
复数代数形式的加、减运算
[典例]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.
[解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.
(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，
所以Error!解得x ＝1，y ＝0，
所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，
所以|z 1＋z 2|＝.
2
[答案]　(1)－2－i (2)2
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
[活学活用]
已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3
复数加减运算的几何意义
[典例]　如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别
表示0,3+2i ，-2+4i.求：
(1) 表示的复数；AO ――→
(2)对角线表示的复数；CA ――→
(3)对角线表示的复数．OB ――→
[解]　(1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→
(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→
－2i.
(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→
4i)＝1＋6i.
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
[活学活用]
　复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→
向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→
解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→
∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→
又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→
∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
复数模的最值问题
[典例]　(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )
A ．1
B.12C ．2 D.5
(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．
3
[解析]　(1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z+i|+|z-i|=2，
|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.
所以|z+i+1|min=1.
[答案]　A
(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→
(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.
[一题多变]
1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)
的最小值．
解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：
所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.
22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．
3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→
P 为圆面上任一点，z P ＝z ，
则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→
平方和等于对角线的平方和)，
所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|
z －32
－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －3
2－i |432min ＝|O ′M |－1＝
－1.
|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343
层级一　学业水平达标
1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )
A ．z －1
B ．z ＋1
C ．－10＋18i
D ．10－18i
解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )
A ．－2
B ．4
C ．3
D ．－4
解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.
3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．
4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.
5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→
A ．z 1＋z 2＋z 3＝0
B ．z 1－z 2－z 3＝0
C ．z 1－z 2＋z 3＝0
D ．z 1＋z 2－z 3＝0
解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→
6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.
解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i
∴Error!解得Error!
答案：6　11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：5
8．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝32
33________.
解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32
a ＋33
b )
3由复数相等的条件知Error!
解得Error!∴a ＋b ＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015
－2 016)i ＝1 008－1 009i.
10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.
解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，
∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，
∴Error!解得Error!
∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，
∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二　应试能力达标
1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )
A ．0
B ．1C. D.221
2
解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.22
2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→
为( )
A ．3＋4i
B ．5－2i
C ．－2＋6i
D ．2－6i
解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→
4i)＝2－6i.
3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．
4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→
的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→
A ．2＋4i
B ．－2＋4i
C ．－4＋2i
D ．4－2i
解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→
对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→
5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.
解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .
x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.
x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34
答案：＋i 34
6．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→
那么对应的复数为________．BC ――→
解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→
(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.
答案：4－4i
7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→
(2)判断△ABC 的形状．
(3)求△ABC 的面积．
解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→
对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→
对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→
82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→
(3)S △ABC ＝××2＝2.12
22
8．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．
解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，
33
∴Error!∴Error!∴z ＝
＋i ，3212∴z －ω＝
－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝
(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ
＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。