淮南市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)

淮南二中2015-2016学年第二学期高二年级期中考试
数学试题（文科）
请注意：所有答案都要写在答题卡上，2B 铅笔填涂 一、选择题（每题3分，共12题）
1．设椭圆C ：22
221(0)x y a b
a b
+=>>的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C 的标准方
程为（ ）
A ． 2211612x y +=
B ．221164x y +=
C ．221128x y +=
D ．22
1168x y += 2．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ． 3．方程132-=
y x 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分 4．函数()a bx x x x f +-+=ln 22（b ＞0，a ∈R ）在点()()b f b ,处的切线斜率 的最小值是（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．1
5．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ）
A ．
76 B ．3 C ．98 D ．94 6F （c ，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲
线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
7．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足()()0'>+x xf x f 且0)1(=-f ，则f （x ）＞0解集是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1）
B ．（0，+∞）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
D ．（﹣1，0）
8．已知())2
sin(412x x x f ++=
π
，()()x f x f 为'的导函数，则()x f '的图象是（ ）
9．已知函数()x tx x x f 323+-=在区间[]3,1上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（﹣∞，5] C ．[3，+∞） D ．[5，+∞）
10．已知点)022(，Q 及抛物线4
2
x y =上的动点P （x ，y ）
，则PQ y +的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．
11．若函数()x
f x x e m =⋅-在R 上存在两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．1
0m e
-
<< B ．1m e >- C ．m e > D ．0e m -<<
12．已知()m x x x f +-=33，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8 二、填空题（每题4分，共4题）
13．抛物线的焦点恰巧是椭圆 的右焦点，则抛物线的标准方程为 ． 14．已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则
a = .
15．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为a i （i=1，2，3，4），P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为i h ，若
k a a a a ====43214321，则k
S
h h h h 24324321=+++类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的一点，点Q 到第i 个面的距离记为d i ，若k S S S S ====4
3214
321,则4321432d d d d +++等于 ．
1
2
62
2
=+y x
16．函数()ln f x a x x =+，对任意的 时，()0f x ≥恒成立，则a 的范围为 ．
三、解答题（17题8分、18-21题10分） 17．()c bx ax x x f +++=23在1=x 与2
3
x =-时，都取得极值． （1）求b a ,的值； （2）若3
(1)2
f -=，求f （x ）的单调区间和极值；
18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组。

在将两组工人的日平均生产件数分成5组：)100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”组工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为”生产能手“，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有%90的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
1[]
x e e
∈，
附表：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
192
2
，且b a 22=．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线0:=+-m y x l 与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，且P A ⊥底面ABCD 中，AB =1，P A =2．
（1）求证：BD ⊥平面P AC ； （2）求三棱锥B ﹣P AC 的体积；
（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD ，若存在，请证明；若不存在，说明理由．
21．已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求()y f x =的单调区间；
（3）设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，
求a 的取值范围．
参考答案1-6 AACABD 7-12 CADAAC
13. y2=8x14.1 15.16.
17.（1）a＝
1
2
-，b＝－2．（2）递增区间
2
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
和（1，＋∞），递减区间
2
,1
3
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
．极大
值49
27
；极小值
1
2
-．
【解析】
试题分析：（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=1与x＝－2
3
时，都取
得极值，则
2
'(1)0,'()0,
3
f f
==就可得到a，b的值；（2）先由
3
'(1)
2
f-=求出函数中的c值，再求
导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值
试题解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－2
3
为f′（x）＝0的解．
∴－2
3
a＝1－2
3
，
3
b
＝1×
2
3
-．∴a＝
1
2
-，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－
2
3
都是极
值点．
（2）f（x）＝x3－1
2
x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－
1
2
＋2＋c＝
3
2
，得c＝1．∴ f （x）＝
x3－1
x2－2x＋1．
1
+
递增
∴f（x）的递增区间为
2
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
和（1，＋∞），递减区间为
2
,1
3
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
．当x＝
2
3
-时，f（x）
有极大值f
2
3
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
＝
49
27
；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝
1
2
-．
18.【答案】（1）7
10
；（2）没有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有（人），记为，
25周岁以下组工人有（人），记为，下面可用列举法列举出随机制取2人的所有组合共10种，其中至少有1名25周岁以下组工人的可能结果共有种，由概率公式计算可得；（2）同样由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），填入表格计算出各空格数字，由给出的公式计算出，可得结论．
试题解析：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人名，25周岁以下组工人名，所以样本中日平均生产件数不足件的工人中，25周岁以上组工人有（人），记为，
25周岁以下组工人有（人），记为，
从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，
它们是：
其中至少有1名25周岁以下组工人的可能结果共有种，
它们是：
故所求的概率.
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得
列联表如下：
所以得，因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.考点：频率分布直方图，古典概型，独立性检验．
19.【答案】（1）x2+
2
2
y
=1；（2）实数m不存在，理由见解析
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，c进而得到椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，代入圆的方程，解方程可得m，进而判断不存在．
解：（1）由题意得e=c
a
=，a2=2b，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+
2
2
y
=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，所以x0==﹣，y0=x0+m=，即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m2＜3矛盾．故实数m不存在．
考点：椭圆的简单性质．
20.试题分析：（1）由P A⊥底面ABCD得P A⊥BD，由正方形的性质得AC⊥BD，故BD⊥平面P AC；
（2）以△ABC为棱锥底面，P A为棱锥的高，代入体积公式计算即可；
（3）过D作DM⊥PC，垂足为M，则PC⊥平面BDM．
解：（1）证明：因为P A⊥底面ABCD，DB⊂面ABCD，
所以P A⊥DB．
又因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥DB
在平面P AC中，P A∩AC=A，
所以DB⊥平面P AC．
（2）因为P A⊥底面ABCD，
所以点P到平面ABC的距离为P A的长．
又因为四边形ABCD是正方形，且AB=1，P A=2，
所以=．
（3）在△PDC中，过点D作DM⊥PC，交PC于点M．
由（1）已证DB⊥平面P AC，
因为PC⊂面P AC，
所以DB⊥PC．
因为在平面DMB中，DM∩DB=D
所以PC⊥平面DMB．
所以在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面DMB．
21.【答案】（1）；（2）①当时的单调递增区间是，单调递减区间是
②当时的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当时故的单调递增区间是．
④当时的单调递增区间是和，单调递减区间是．
（3）
【解析】
试题分析：（1）先求导，由导数的几何意义可知，从而可求得的值．（2）求导并将其化简．讨论的正负和0时的情况．当为正时还要进一步讨论导数等于0根是否在定义域内．当导数大于0时得增区间，导数小于0时得减区间．
（3）可将问题转化为在上有．
由（2）可求得．结合二次函数图像可知．解不等式可得的范围．试题解析：解：．
（1），解得．
（2）．
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是．
②当时，，在区间和上，；在区间上
，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当时，，故的单调递增区间是．
④当时，，在区间和上，；在区间上
，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．
（3）由已知，在上有．
由已知，，由（2）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故．
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故．
由可知，，，所以，，，综上所述，．
考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质．。