冀教版九年级上册数学第24章 一元一次方程 【教学设计】 公式法——公式法解方程

公式法——公式法解方程
课时安排
1课时
从容说课
公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程式化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．
公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c 的值代入求根公式即可求出解．
因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．
课题
公式法
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
(二)能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力． 2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A)
第二张：试一试(记作投影片§2．3B)
第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题(记作投影片§2．3 E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3 A) 1．用配方法解方程2x 2-7x+3＝0． [生甲]解：2x 2-7x+3＝0，
两边都除以2，得x 2
27-x+23
＝0．
移项，得；x 2-27x=-23
．
配方，得x 2-27x+(-47)2
＝-23+(-47)2．
两边分别开平方，得
x-47＝±45
即x-47=45或x-47=-45
．
∴x 1=3，x 2=21
．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3 B)试一试，肯定行： 1．用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2+ax ＝1；(2)x 2+2bx+4ac ＝0． [生乙](1)解x 2+ax ＝1，
配方得x 2
+ax+(2a )2
＝1+(2a )2，
(x+2a
)2=442a ．
两边都开平方，得
x+2a
＝±2
42
a +，
即x+2a ＝242a +，x+2a
=-242
a +.
∴x 1=2
42a a ++-， x 2＝242
a a +--
[生丙](2)解x 2-2bx+4ac ＝0， 移项，得x 2+2bx ＝-4ac ． 配方，得x 2-2bx+b 2＝-4ac+b 2， (x+b)2=b 2-4ac ． 两边同时开平方，得 x+b ＝±ac b 42-，
即 x+b ＝ac b 42-，x+b ＝-ac b 42- ∴x 1=-b+ac b 42-，x 2＝-b-ac b 42-
[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b 2-4ac ．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x 来．所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac ≥0． [师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗? [生齐声]戊同学说得正确．因为负数没 有平方根，所以，解方程x 2+2bx+4ac ＝0 时，必须有条件：b 2-4ac ≥0，才有丁同学求
出的解．否则，这个方程就没有实数解．
[师]同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax ＝1时用不用加条件呢? [生齐声]不用． [师]那为什么呢?
[生齐声]因为把方程x 2
+ax ＝1配方变形为(x+2a )2=442
a
+ ，右边
4
42a +就是一个正数，所以就不必加条件了．
[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式． Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢? 大家可参照解方程2x 2-7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得 x 2+ a
c x a
b
+=0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0． 好，接下来该如何呢? [生丙]移项，得x 2+a
c x a
b -= 配方，得x 2+22)2()2(
a b
a c a
b x a
b +-=+, (x+2
2244)2a
ac b a b -=. [师]这时，可以直接开平方求解吗? [生丁]不，还需要讨论．
因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求
2
244a ac
b -≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4a
c 是非负数即可．
因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2
244a
ac
b -. 大家来想一想，讨论讨论：
±2
244a ac
b -=±a a
c b 242-吗?
……
[师]当b 2-4ac ≥0时，
x+a b 2=±2
244a
ac b -=±||242a ac
b -
因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最
终的结果：±a
ac b 242-
所以x+a b
2=±a ac b 242-,
x=-a b
2±a ac b 242-
=a
ac
b b 242-±-
好，我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C)
这样，我们就得到一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的求根公式：
x=a
ac b b 242-±- (b 2-4ac ≥0)，
即(出示投影片§2．3 D)
−−−−→
−a
两边都除以−−→−配方
−−→
−≥-如果0
42ac b
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
x=
a ac
b b
2
4 2-
±
-
[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．
注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、
b、c时，需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3 E)
[例题]解方程x2-7x-18＝0．
分析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．
解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．
∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)
＝121＞0， ∴x=
2
11
7121217±=⨯±, 却x 1＝9，x 2＝-2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤． [师生共析]其一般步骤是：
(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号) (2)求出b 2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出
a
ac
b b 242-±-的值，最后写出方程的根．
[师]接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法． Ⅲ．课堂练习
(一) 1．用公式法解下列方程： (1)2x 2-9x+8＝0；(2)9x 2+6x+1＝0． 解：(1)这里a ＝2，b ＝-9，c ＝8． ∵b 2-4ac=(-9)2-4×2×8 ＝17>0， ∴x=
417
922179±=⨯± 目x 1=
4179+，x 2＝4
17
9- (2)这里a ＝9，b ＝6，c ＝1．
∵b 2-4ac ＝62-4×9×1＝0， ∴x=
,
31
9206-=⨯±- 即x 1＝x 2=-3
1
,
2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：设中间的数为x ，则另外两数为 x-2，x+2．根据题意，得 (x+2)2＝(x-2)2+x 2． 整理，得x 2-8x=0． 解这个方程，得 x 1＝0，x 2＝8．
因为直角三角形的边长为正数，所以x 1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6，8，10． (二)看课本，然后小结． Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法． (1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用．对于a ≠0，b 2-4ac ≥0。

以及由a ≠0，知4a 2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并
写出a、b、c的数值以及计算b2-4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
Ⅴ．课后作业
(一)课本习题
(二)1．预习
2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
阅读材料：
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4＝0，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1＝y，则(x2-1)2＝y2，原方程化为y2-5y+4=0．①解得y1=4，y2＝1．
当y1＝4时，x2-1＝4，
∴x2＝5，∴x=±5．
当y＝1时，x2-1＝1，
∴x2＝2，∴x=±2．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝-2，
x3=5，x4=-5.
解答问题：
(1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
(2)解方程x 4-x 2-6＝0．
[过程]通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
决问题的能力．
[结果]
解：(1)换元 转化
(2)设x 2＝y ，则x 4=y 2，
原方程可以化为y 2-y-6＝0．
解得y 1=3，y 2＝-2．
当y 1=3时，x 2＝3，∴x ＝±3．
当y 2＝-2时，x 2=-2，此方程无实根．
∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝-3．
板书设计
公式法
一、解：2x 2-7x+3＝0，
两边都除以2，得
x 2-2
327 x =0．
移项，得
x 2-2327-=x .
配方，得 x 2-,)47
(23
)47(2722-+-=-+x (x-1625
)472=x .
两边分别开平方，得 x-45
47±=,
即x- 45
47
=或x-45
47-=.
∴x 1=3，x 2=21．
二、求根公式的推导
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业。