变分法解薛定谔方程

变分法解薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程是描述微观粒子的运动的基本方程之一。

薛定谔方程的解决需要使用变分法，这是一种数学方法，用于寻找使得函数取得极值的情况。

本文将介绍变分法如何应用于解薛定谔方程。

薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化。

它的一般形式如下：
$$
\hat{H}\psi = E\psi
$$
其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，描述粒子的能量和势能；$\psi$是波函数，描述粒子的位置和动量分布；$E$是粒子的能量。

为了解决薛定谔方程，我们需要找到使得波函数取得极值的情况。

变分法是一种能够解决这类问题的数学方法。

首先，我们引入一个变分函数$\delta\psi$，表示波函数的微小变化。

我们的目标是找到使得$\delta\psi$为零的情况，即波函数的极值点。

为了达到这个目标，我们可以通过最小化波函数的能量来寻找波函数的极值点。

波函数的能量可以通过以下公式计算：
$$
E[\psi] = \int \psi^* \hat{H} \psi dV
$$
其中，$\psi^*$表示波函数的共轭复数，$dV$表示微元体积。

通过对能量泛函$E[\psi]$求导，并令导数为零，我们可以找到波函数的极值点。

我们首先对波函数的变分进行展开：
$$
\delta\psi = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \delta\psi_n
$$
其中，$\delta\psi_n$是基函数的变分，$c_n$是系数。

将波函数的展开形式代入能量泛函的表达式，我们可以得到：
$$
E[\psi] = \sum_{n=1}^{\infty} c_n^* \int \psi_n^* \hat{H} \psi dV
$$
我们可以看出，能量泛函$E[\psi]$的极值点只依赖于波函数的展开系数$c_n$，而与基函数的形式无关。

因此，我们可以选择适当的基函数，将波函数展开为有限项的形式，从而简化计算。

接下来，我们对能量泛函$E[\psi]$求导，并令导数为零，即$\frac{\partial
E}{\partial c_n^*} = 0$。

通过求导，我们可以得到一系列的线性方程，形如：$$
\sum_{m=1}^{\infty} H_{nm}c_m = E c_n
$$
其中，$H_{nm}$是哈密顿矩阵的元素，定义为：
$$
H_{nm} = \int \psi_n^* \hat{H} \psi_m dV
$$
通过求解这些线性方程，我们可以得到波函数的展开系数$c_n$和能量$E$的值。

这就是变分法解薛定谔方程的基本思路。

需要注意的是，为了保证解的收敛性和精确性，我们需要选择适当的基函数。

通常，我们选择具有一定解析性质的函数作为基函数，例如平面波、高斯函数等。

同时，我们需要对基函数进行归一化处理，以确保波函数的归一性。

总结起来，变分法是一种解薛定谔方程的有效方法。

通过将波函数的展开系数
作为变分，将薛定谔方程转化为一系列的线性方程，我们可以求解出波函数的形式和能量的值。

这为我们研究微观粒子的性质和行为提供了重要的数学工具。